6.2.4 向量的数量积 (第四课时) 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量的数量积，涵盖定义、性质、投影向量等核心内容。通过复习回顾夹角范围、数量积定义及投影向量概念，结合问题引领辨析零向量夹角、数量积与实数积区别等易混点，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，通过例1数量积运算、例2夹角计算等实例，结合“一作二证三算”步骤总结，强化数学语言表达。当堂检测中力做功问题体现用数学眼光观察现实世界，助力学生提升逻辑推理与应用能力，教师可依托清晰结构高效开展教学。

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 第四课时 复习回顾 0 π [0，π] 复习回顾 向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 本质：数量积是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个数量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定． |a||b|cos θ 复习回顾 复习回顾 |a|cos θ e 复习回顾 复习回顾 a·b＝0 |a||b| －|a||b| ≤ 问题引领，深入思考 1．零向量与任一非零向量有没有夹角？ 答：在向量夹角定义中强调了“非零向量”，而向量又不能避开零向量．事实上，由于零向量的方向不定，故零向量与任一向量的夹角就没有什么意义．教材中只是规定：零向量与任一向量的数量积为0. 问题引领，深入思考 2．下列五种情况下，如何作出向量a与b的夹角？ 答： 问题引领，深入思考 3．实数与向量的积与数量积有何区别？ 答：实数与向量的积仍是向量；向量的数量积是实数，而不是向量． 4．若a·b＝0，则a⊥b对吗？ 答：不对，也可能a＝0或b＝0. 题型一——数量积的运算 例 1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为30°，分别求a·b. 　 【思路】　根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ. 【解析】　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 题型一——数量积的运算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 题型一——数量积的运算 －25 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 总结 向量数量积的运算方法： (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)向量共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，注意这三种特殊情况． 巩固练习 3 题型二——向量的夹角 例 2 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 总结 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 巩固练习 √ 巩固练习 题型三——投影向量 例 3 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 20 题型三——投影向量 (2)向量b在向量a上的投影向量． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 21 总结 巩固练习 (1)已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量． 巩固练习 √ 当堂检测 √ 解析　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)．故选B. 当堂检测 当堂检测 等边三角形 －8 当堂检测 4．已知a·b＝16，e是与b方向相同的单位向量．若向量a在向量b上的投影向量为4e，则|b|＝________. 4 解析　设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，∴|a||b|cos θ＝16.又∵向量a在向量b上的投影向量为4e，∴|a|cos θ＝4，∴|b|＝4. 当堂检测 当堂检测 当堂检测 (2)求向量在向量上的投影向量． 用数学的眼光看世界 向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)当θ＝____时，a与b同向；当θ＝____时，a与b反向；如果a 与b的夹角是______，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 特别注意，两向量夹角的范围是________． eq \f(π,2) 投影向量 (1)变换 变换 图示 设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，过eq \o(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up16(→)) (2)定义：称上述变换为向量a向向量b投影，______叫做向量a在向量b上的投影向量． (3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为____________. eq \o(A1B1,\s\up16(→)) 平面向量数量积的性质 (1)若两非零向量的夹角为θ， 当0≤θ＜eq \f(π,2)时，非零向量的数量积为正数； 当θ＝eq \f(π,2)时，非零向量的数量积为零； 当eq \f(π,2)＜θ≤π时，非零向量的数量积为负数． (2)若a，b是非零向量，它们的夹角是θ，则 ①a⊥b⇔_______． ②若a与b同向，则a·b＝_____；若a与b反向，则a·b＝______． ③a·a＝|a|2或|a|＝_______．常用此性质进行实数与向量的转化． ④cos θ＝_______． ⑤|a·b|____|a||b|. eq \r(a·a) eq \f(a·b,|a||b|) 5．在等边△ABC中，向量eq \o(AB,\s\up16(→))与向量eq \o(BC,\s\up16(→))夹角为eq \f(π,3)，对吗？ 答：不对，向量eq \o(AB,\s\up16(→))与向量eq \o(BC,\s\up16(→))夹角为eq \f(2π,3). ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3). (2)已知点A，B，C满足|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq \o(CA,\s\up16(→))|＝5，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))的值是________． 【解析】　如图，根据题意可得△ABC为直角三角形， 且B＝eq \f(π,2)，cos A＝eq \f(3,5)，cos C＝eq \f(4,5)， ∴eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×eq \f(4,5)－15×eq \f(3,5)＝－25. 已知|a|＝1，a与b的夹角为60°，且a·b＝eq \f(3,2)，则|b|＝________． 【解析】　由a·b＝|a||b|cos 60°＝1×|b|×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)可知|b|＝3. 【解析】　如图所示，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，且∠AOB＝60°.以eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))为邻边作平行四边形OACB， 则eq \o(OC,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(BA,\s\up16(→))＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°，所以eq \o(OC,\s\up16(→))与eq \o(OA,\s\up16(→))的夹角为30°，eq \o(BA,\s\up16(→))与eq \o(OA,\s\up16(→))的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，则eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角是(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 【解析】　如图，作向量eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))，则∠BAD是eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°. 【解析】　(1)∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))b＝－eq \f(3,2)b. 【解析】　(2)∵|a|＝3，∴eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,3)a， ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°eq \f(a,|a|)＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \f(1,3)a＝－eq \f(1,6)a. 投影向量的求法： (1)用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量． (2)利用公式．向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ·eq \f(b,|b|)(θ为a与b的夹角)． 【解析】　设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(24,12×8)＝eq \f(1,4)， ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·eq \f(b,|b|)＝12×eq \f(1,4)×eq \f(1,8)b＝eq \f(3,8)b. 【解析】　向量a在b上的投影向量的模为|a||cos〈a，b〉|＝3×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)))＝eq \f(3,2).故选D. (2)已知|a|＝3，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，则a在b上的投影向量的模为(　　) A.eq \f(3\r(3),2) B.eq \f(3\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2) 1. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A．100 J　　　　　　　 B．50 J C．50eq \r(3) J D．200 J 2. 如图，在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，则eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))的夹角为________． eq \f(2π,3) 解析　根据向量夹角定义可知向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))夹角为∠BAC＝eq \f(π,3)，而向量eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))夹角为π－∠BAC＝eq \f(2π,3). 3．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝8，则△ABC的形状是____________，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝________． 解析　eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos∠BAC， 即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq \f(1,2)， 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(BC,\s\up16(→))|cos 120°＝－8. 5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点． (1)求向量eq \o(BA,\s\up16(→))在向量eq \o(CD,\s\up16(→))上的投影向量； 解析　如图，连接AD. 因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝eq \r(3). 由图可知eq \o(BA,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角为∠ABC的补角， 所以eq \o(BA,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角为150°. (1)向量eq \o(BA,\s\up16(→))在向量eq \o(CD,\s\up16(→))上的投影向量为|eq \o(BA,\s\up16(→))|cos 150°eq \f(\o(CD,\s\up16(→)),|\o(CD,\s\up16(→))|)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(\o(CD,\s\up16(→)),\r(3))＝－eq \o(CD,\s\up16(→)). 解析　(2)向量eq \o(CD,\s\up16(→))在向量eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量为|eq \o(CD,\s\up16(→))|cos 150°eq \f(\o(BA,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|)＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(\o(BA,\s\up16(→)),2)＝－eq \f(3,4) eq \o(BA,\s\up16(→)). $