6.2.3 向量的数乘运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 第三课时 复习回顾——向量的数乘运算 λa |λ||a| λ>0 λ<0 0 0 复习回顾——向量数乘的运算律 设λ，μ为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝______； (2)(λ＋μ)a＝_______； (3)λ(a＋b)＝________． (λμ)a λa＋μa λa＋λb 复习回顾 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝______________． 向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______． 注：向量共线定理可以划分为两个定理： ①判定定理：如果b＝λa(λ∈R)，那么a∥b. ②性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. λμ1a±λμ2b b＝λa 问题引领，深入思考 1．(1)向量与实数可以求积，能求加、减运算吗？ 答：(1)不能，如λ＋a，λ－a无意义． (2)λa＝0⇔λ＝0或a＝0对吗？ (3)数乘运算λa(λa≠0)可以伸缩向量的模，同时也可以改变向量的方向吗？ 答：(2)正确． 答：(3)可以．当λ>0时，不改变方向，当λ<0时，所得向量与原向量反向． 问题引领，深入思考 2．若a与b共线，一定有唯一的λ使a＝λb吗？ 答：不一定，当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有唯一的λ使a＝λb. 3．如何理解向量共线定理中的“存在唯一一个实数λ”？ 答：其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ. 4．若向量a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ，μ有何特征？ 答：λ＝μ＝0. 题型一——向量的线性运算 例 1 计算： (1)2×(－3a)； 　 【解析】　(1)原式＝[2×(－3)]a＝－6a. (2)(a＋b)－3(a－b)－8a； 【解析】　(2)原式＝－10a＋4b. (3)3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，求x. 【解析】　(3)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 总结 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． 巩固练习 (2)已知向量a，b，x，且(x－2a)－(3b－x)＝x－(2a＋3b)，则x＝________． 0 【解析】　因为(x－2a)－(3b－x)＝x－(2a＋3b)，所以2x－2a－3b＝x－2a－3b，即x＝0. 题型二——向量共线定理的应用 例 2 设向量a与b不共线： (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型二——向量共线定理的应用 (2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线． 【思路】　(2)由两向量共线，列出关于a，b的等式，再由a与b不共线知，若λa＝μb，则λ＝μ＝0. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a，b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线． 巩固练习 设向量a，b不共线，向量a＋b与2a－kb共线，则实数k＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 √ 题型三——用已知向量表示相关向量 √ 例 3　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 题型三——用已知向量表示相关向量 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 总结 用已知向量表示相关向量的方法： (1)直接法： 总结 巩固练习 √ 巩固练习 当堂检测 √ √ 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 当堂检测 5．设向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，则实数λ＝________． －4 用数学的眼光看世界 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作______，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝______. (2)λa的方向eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(当____时，与a方向相同，,当____时，与a方向相反.)) 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝___，或λ0＝___． (1)化简：eq \f(1,12)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 【解析】　原式＝eq \f(1,12)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq \f(1,12)[(4－16)a＋(16＋8)b]＝－a＋2b. 【思路】　(1)欲证A，B，D三点共线，即证存在实数λ，使eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(BD,\s\up16(→))，只要由已知条件找出λ即可． 【解析】　(1)证明：∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq \o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)， ∴eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \o(AB,\s\up16(→)). ∴eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))共线，又∵eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))有公共点B，A，B，D三点共线． 【解析】　(2)∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b， ∵a，b是不共线的向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 【解析】　向量a，b不共线，向量a＋b与2a－kb共线，则存在实数λ，使2a－kb＝λ(a＋b)， 即(2－λ)a－(k＋λ)b＝0.由于向量a，b不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－λ＝0，,k＋λ＝0，))解得λ＝2，k＝－2.故选A. 如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量eq \o(CD,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→)) B．－eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→)) C．－eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→)) D.eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→)) 【解析】　方法一：∵D是AB的中点，∴eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))， ∴eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝－eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→)). 方法二：eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)[eq \o(CB,\s\up16(→))＋(eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→)))]＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＝－eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→)). (2)方程法： 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． (3)中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(\o(OA,\s\up16(→))＋\o(OB,\s\up16(→)),2). 在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \o(DF,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up16(→)) B.eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up16(→)) C.eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up16(→)) D.eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up16(→)) 【解析】　如图所示，∵四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，F为AE的中点， ∴eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→)))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up16(→))))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up16(→)).故选A. 1．【多选题】已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是(　　) A．λa∥a　　　　　　　 B．λa与a方向相同 C.eq \f(a,|a|)是单位向量 D．若|λa|>|a|，则λ>1 解析　∵a≠0，∴必有λa∥a，而eq \f(a,|a|)是与a同向的单位向量，故A、C正确；对于B，当λ>0时，λa与a同向，当λ<0时，λa与a反向；对于D，由|λa|>|a|⇒|λ||a|>|a|⇒|λ|>1⇒λ>1或λ<－1，故B、D错误． 2．已知点C在直线AB上，且eq \o(AC,\s\up16(→))＝3eq \o(AB,\s\up16(→))，则eq \o(BC,\s\up16(→))＝(　　) A．－2eq \o(AB,\s\up16(→)) B.eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) C．－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) D．2eq \o(AB,\s\up16(→)) 解析　如图，eq \o(AC,\s\up16(→))＝3eq \o(AB,\s\up16(→))，所以eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝3eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→)). 3．在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，则(　　) A.eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)) B.eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))) C.eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→)) D.eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))) 解析　如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，由平行四边形法则得eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(AO,\s\up16(→))，所以eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))．故选B. 4．已知O，A，B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足2eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝0，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝(　　) A．2eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)) B．－eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→)) C.eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→)) D．－eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(OB,\s\up16(→)) 解析　方法一：∵2eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝0， ∴2(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))＋(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→)))＝0， 即2eq \o(OC,\s\up16(→))－2eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，∴eq \o(OC,\s\up16(→))＝2eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)).故选A. 方法二：由2eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝0，知点C在BA的延长线上，且点A是线段BC的中点，如图，由向量加法的平行四边形法则知，eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝2eq \o(OA,\s\up16(→))，∴eq \o(OC,\s\up16(→))＝2eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)). 解析　因为向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数μ，使得2a－λb＝μ(a＋2b)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝μ，,－λ＝2μ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－4，,μ＝2.)) $