6.2.2 向量的减法（第二课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.2 向量的减法 第二课时 复习回顾——相反向量 与向量a长度相等,_的向量,叫做a的相反向量,记作-a. (1)规定:零向量的相反向量仍是零向量. (2)-(-a)=_. (3)a+(-a)=_. (4)若a与b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=_. 方向相反 a 0 0 复习回顾——向量的减法 差 复习回顾——向量的减法 (3)几何意义:如果把两个向量的_放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为_,被减向量的终点为_的向量. (4)向量减法的三角形法则的记忆规律:作平移,共起点,两尾连,指被减. 起点 起点 终点 问题引领,深入思考 1.相反向量就是方向相反的向量吗? 答:不是.相反向量的方向相反,大小相等;方向相反的向量只是方向相反,大小没有关系. 问题引领,深入思考 2.若a,b是不共线的向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么? 问题引领,深入思考 3.(1)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是什么? 答:(1)a与b同向或a与b至少有一个为零向量. (2)|a+b|=||a|-|b||成立的条件是什么? 答:(2)a与b反向或a与b至少有一个为零向量. (3)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是什么? 答:(3)a与b反向或a与b至少有一个为零向量. (4)|a-b|=||a|-|b||成立的条件是什么? 答:(4)a与b同向或a与b至少有一个为零向量. 问题引领,深入思考 4.||a|-|b||,|a b|,|a|+|b|三者之间有怎样的关系? 答:||a|-|b||≤|a b|≤|a|+|b|. 当a与b共线时,情况如上面3题. 当a与b不共线时,如图. 由a+b=,a-b=知,||a|-|b||<|a b|<|a|+|b|. 题型一——利用向量加减法作图 例 1 如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 9 题型一——利用向量加减法作图 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 10 总结 求作两个向量的差向量的两种思路: (1)用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量. (2)转化为向量的加法运算. 巩固练习 巩固练习 题型二——向量加减法的基本运算 例 2 0 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 14 题型二——向量加减法的基本运算 √ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 15 总结 注意满足下列两种形式的可以化简: (1)首尾相接且为和. (2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式. 同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用. 巩固练习 √ 巩固练习 巩固练习 √ 题型三——用已知向量表示其他向量 例 3 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 20 题型三——用已知向量表示其他向量 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 21 题型三——用已知向量表示其他向量 问题①②③可转化为: ①当边AB,AD满足什么条件时,对角线互相垂直? 答:|a|=|b|. ②当边AB,AD满足什么条件时,对角线相等? 答:a,b互相垂直. ③当边AB,AD满足什么条件时,对角线平分内角? 答:|a|=|b|. ④不可能,因为对角线方向不同. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 22 题型三——用已知向量表示其他向量 【讲评】灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师应引导学生注意领悟. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 23 题型三——用已知向量表示其他向量 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 24 总结 表示向量时要考虑以下问题:它是某个平行四边形的对角线吗?是否可以找到由起点到终点的恰当途径?它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点? 巩固练习 巩固练习 √ 当堂检测 √ √ √ 解析 非零向量a,b互为相反向量,则a,b大小相同,方向相反,所以a∥b,|a|=|b|,b=-a,a≠b. 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 当堂检测 √ √ √ 当堂检测 用数学的眼光看世界 (1)定义:求两个向量_的运算叫做向量的减法. (2) 减法法则:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作eq \o(OA,\s\up16( ))=a,eq \o(OB,\s\up16( ))=b,则eq \o(BA,\s\up16( ))=a-b,如图所示. 答:如图所示,设eq \o(OA,\s\up16( ))=a,eq \o(OB,\s\up16( ))=b.以OA,OB为邻边作平行四边形,根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义,有eq \o(OC,\s\up16( ))=a+b,eq \o(BA,\s\up16( ))=a-b.所以|a+b|=|eq \o(OC,\s\up16( ))|,|a-b|=|eq \o(BA,\s\up16( ))|,即|a+b|与|a-b|分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 【解析】 方法一:在平面内任取一点O,作eq \o(OA,\s\up16( ))=a,eq \o(AB,\s\up16( )) =b,eq \o(OC,\s\up16( ))=c,作eq \o(OB,\s\up16( )),eq \o(CB,\s\up16( )),则eq \o(CB,\s\up16( ))=eq \o(OB,\s\up16( ))-eq \o(OC,\s\up16( ))=(a+b)-c=a+b-c.如图1所示. 方法二:利用a+b-c=a+b+(-c). 在平面内任取一点O,作eq \o(OA,\s\up16( ))=a,eq \o(AB,\s\up16( ))=b,eq \o(BC,\s\up16( ))=-c,作eq \o(OC,\s\up16( )), 则eq \o(OC,\s\up16( ))=a+b-c,如图2所示. (1)已知 ABC,试用几何法作出向量eq \o(BA,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( )). 【解析】 如图,延长BA到G,使BA=AG,则eq \o(BA,\s\up16( ))=eq \o(AG,\s\up16( )),连接CG,那么eq \o(CG,\s\up16( ))就是eq \o(AG,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( )),即eq \o(BA,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( )). (2)已知正方形ABCD,eq \o(AB,\s\up16( ))=a,eq \o(BC,\s\up16( ))=b,eq \o(AC,\s\up16( ))=c,求作向量①a+b+c;②a-b+c. 【解析】 ①延长AC至E,使AC=CE,则eq \o(AE,\s\up16( ))即为所求. ②延长AB至F,使AB=BF,则eq \o(AF,\s\up16( ))即为所求. (1)化简:(eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( )))-(eq \o(AC,\s\up16( ))-eq \o(BD,\s\up16( )))=_. 【解析】 方法一:(eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( )))-(eq \o(AC,\s\up16( ))-eq \o(BD,\s\up16( )))=eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))=eq \o(AB,\s\up16( ))+eq \o(DC,\s\up16( ))+eq \o(CA,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))=eq \o(AB,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))+eq \o(DC,\s\up16( ))+eq \o(CA,\s\up16( ))=0. 方法二:(eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( )))-(eq \o(AC,\s\up16( ))-eq \o(BD,\s\up16( )))=eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))=(eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( )))-eq \o(CD,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))=eq \o(CB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))=eq \o(DB,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))=0. (2)在平行四边形ABCD中,eq \o(BA,\s\up16( ))-eq \o(CB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( ))等于( ) A.eq \o(BD,\s\up16( )) B.eq \o(AD,\s\up16( )) C.eq \o(AB,\s\up16( )) D.eq \o(AC,\s\up16( )) 【解析】 在平行四边形ABCD中,可得eq \o(BA,\s\up16( ))-eq \o(CB,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( ))=eq \o(CD,\s\up16( ))+eq \o(BC,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( ))=eq \o(BC,\s\up16( ))=eq \o(AD,\s\up16( )).故选B. (1)给出下列各式: ①eq \o(AB,\s\up16( ))-(eq \o(CB,\s\up16( ))-eq \o(CA,\s\up16( ))); ②eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( )); ③eq \o(OA,\s\up16( ))-eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(AD,\s\up16( )); ④eq \o(NQ,\s\up16( ))+eq \o(QP,\s\up16( ))+eq \o(MN,\s\up16( ))-eq \o(MP,\s\up16( )). 其中化简结果为0的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ①eq \o(AB,\s\up16( ))-(eq \o(CB,\s\up16( ))-eq \o(CA,\s\up16( )))=eq \o(AB,\s\up16( ))+eq \o(BC,\s\up16( ))+eq \o(CA,\s\up16( ))=eq \o(AC,\s\up16( ))+eq \o(CA,\s\up16( ))=0. ②eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(AC,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( ))-eq \o(CD,\s\up16( ))=(eq \o(AB,\s\up16( ))+eq \o(BD,\s\up16( )))-(eq \o(AC,\s\up16( ))+eq \o(CD,\s\up16( )))=eq \o(AD,\s\up16( ))-eq \o(AD,\s\up16( ))=0. ③eq \o(OA,\s\up16( ))-eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(AD,\s\up16( ))=eq \o(DA,\s\up16( ))+eq \o(AD,\s\up16( ))=0. ④eq \o(NQ,\s\up16( ))+eq \o(QP,\s\up16( ))+eq \o(MN,\s\up16( ))-eq \o(MP,\s\up16( ))=eq \o(NP,\s\up16( ))+eq \o(PN,\s\up16( ))=0. 以上各式化简后结果均为0.故选D. (2) ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则eq \o(AD,\s\up16( ))-eq \o(CE,\s\up16( ))等于( ) A.eq \o(AC,\s\up16( )) B.eq \o(BF,\s\up16( )) C.eq \o(DE,\s\up16( )) D.eq \o(AE,\s\up16( )) (1)若eq \o(AC,\s\up16( ))=a+b,eq \o(DB,\s\up16( ))=a-b(a与b不共线). ①当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直? ②当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? ③当a,b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角? ④a+b与a-b可能是相等向量吗? 【解析】 如图,用向量构建平行四边形,其中AC,DB恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得 eq \o(AC,\s\up16( ))=eq \o(AB,\s\up16( ))+eq \o(AD,\s\up16( ))=a+b,eq \o(DB,\s\up16( ))=eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(AD,\s\up16( ))=a-b. (2) 如图,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为a,b,c,试用向量a,b,c表示eq \o(OD,\s\up16( )). 【解析】 在 AOD中,eq \o(AD,\s\up16( ))=eq \o(OD,\s\up16( ))-eq \o(OA,\s\up16( ))=eq \o(OD,\s\up16( ))-a. 在 BOC中,eq \o(BC,\s\up16( ))=eq \o(OC,\s\up16( ))-eq \o(OB,\s\up16( ))=c-b. 又在 ABCD中,eq \o(AD,\s\up16( ))=eq \o(BC,\s\up16( )), 故eq \o(OD,\s\up16( ))-a=c-b,即eq \o(OD,\s\up16( ))=a-b+c. (1)已知两个不同的定点A,B,点M是AB的中点,点O为任意一定点,求证:eq \o(OM,\s\up16( ))=eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16( ))+eq \o(OB,\s\up16( ))). 【证明】 ∵eq \o(OM,\s\up16( ))=eq \o(OA,\s\up16( ))+eq \o(AM,\s\up16( )), 又eq \o(AM,\s\up16( ))=eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16( ))=eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16( ))-eq \o(OA,\s\up16( ))), ∴eq \o(OM,\s\up16( ))=eq \o(OA,\s\up16( ))+eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16( ))-eq \o(OA,\s\up16( )))=eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16( ))+eq \o(OB,\s\up16( ))). (2)已知|a|=|b|=1,|a+b|=1,则|a-b|=( ) A.1 B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D.2 【解析】 如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,当|a|=|b|=1时,平行四边形ABDC为菱形.又|a+b|=1,∴ ABD为正三角形.∴∠ABD=60 .容易得出|a-b|=|eq \o(CB,\s\up16( ))|=2|eq \o(OB,\s\up16( ))|=2eq \r(AB2-AO2)=2 eq \r(12-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up22(2))=eq \r(3). 1.【多选题】若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法正确的是( ) A.a∥b B.a≠b C.|a|≠|b| D.b=-a 2.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) A.eq \o(EF,\s\up16( ))=eq \o(OF,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( )) B.eq \o(EF,\s\up16( ))=eq \o(OF,\s\up16( ))-eq \o(OE,\s\up16( )) C.eq \o(EF,\s\up16( ))=-eq \o(OF,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( )) D.eq \o(EF,\s\up16( ))=-eq \o(OF,\s\up16( ))-eq \o(OE,\s\up16( )) 3.在平行四边形ABCD中,|eq \o(AB,\s\up16( ))+eq \o(AD,\s\up16( ))|=|eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(AD,\s\up16( ))|,则必有( ) A.eq \o(AD,\s\up16( ))=0 B.eq \o(AB,\s\up16( ))=0或eq \o(AD,\s\up16( ))=0 C.四边形ABCD是矩形 D.四边形ABCD是正方形 解析 在平行四边形ABCD中,|eq \o(AB,\s\up16( ))+eq \o(AD,\s\up16( ))|=|eq \o(AB,\s\up16( ))-eq \o(AD,\s\up16( ))|,即|eq \o(AC,\s\up16( ))|=|eq \o(DB,\s\up16( ))|,可得四边形ABCD是矩形. 4.设a表示向西走10 km,b表示向北走10eq \r(3) km,则a-b表示( ) A.南偏西30 方向走20 km B.北偏西30 方向走20 km C.南偏东30 方向走20 km D.北偏东30 方向走20 km 解析 设eq \o(OA,\s\up16( ))=a,eq \o(OB,\s\up16( ))=b,则a-b=eq \o(OA,\s\up16( ))-eq \o(OB,\s\up16( ))=eq \o(BA,\s\up16( )), 又tan∠OBA=eq \f(|\o(OA,\s\up16( ))|,|\o(OB,\s\up16( ))|)=eq \f(10,10\r(3))=eq \f(1,\r(3)),∴∠OBA=30 ,且|eq \o(BA,\s\up16( ))|=eq \r(|\o(OA,\s\up16( ))|2+|\o(OB,\s\up16( ))|2, )=eq \r(102+(10\r(3))2)=20(km).故选A. 5.【多选题】下列说法正确的是( ) A.若eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )),则eq \o(OM,\s\up16( ))-eq \o(OE,\s\up16( ))=eq \o(OD,\s\up16( )) B.若eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )),则eq \o(OM,\s\up16( ))-eq \o(OD,\s\up16( ))=eq \o(OE,\s\up16( )) C.若eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )),则eq \o(OD,\s\up16( ))-eq \o(EO,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )) D.若eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )),则eq \o(DO,\s\up16( ))+eq \o(EO,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )) 解析 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知A、B正确;由相反向量的定义可知eq \o(OE,\s\up16( ))=-eq \o(EO,\s\up16( )),所以若eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )),则eq \o(OD,\s\up16( ))-eq \o(EO,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )),C正确;若eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( ))=eq \o(OM,\s\up16( )),由相反向量定义知,eq \o(DO,\s\up16( ))+eq \o(EO,\s\up16( ))=-eq \o(OD,\s\up16( ))-eq \o(OE,\s\up16( ))=-(eq \o(OD,\s\up16( ))+eq \o(OE,\s\up16( )))=-eq \o(OM,\s\up16( )),故D错误.故选ABC. $