专题02 四边形22大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材北京版

专题02 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形的基本概念 题型02 多边形的对角线问题 题型03 多边形内角和问题 题型04 正多边形 题型05 多边形内角和与外角和综合 题型06 平面镶嵌 题型07 平行四边形的判定 题型08 平行四边形的性质 题型09 添一个条件证明四边形是平行四边形 题型10 矩形的判定 题型11 矩形的性质 题型12 矩形与折叠问题 题型13 斜边的中线等于斜边的一半 题型14 菱形的判定 题型15 菱形的性质 题型16 正方形的判定 题型17 正方形的性质 题型18 （特殊）平行四边形的存在性问题 题型19 三角形中位线定理 题型20 中点四边形 题型21 中心对称图形 题型22 图形的旋转 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 掌握多边形、正多边形的概念与内角和、外角和公式，能进行角度计算与简单应用。 基础考查点，一般在小题考查，2分 多边形内角和 熟记并运用多边形内角和公式，准确计算内角、边数及相关角度问题。 基础考查点，牢记多边形的内角和公式，一般在小题考查，2分左右 平行四边形的判定与性质 熟练掌握平行四边形性质与判定定理，能灵活互推、证明边 / 角 / 对角线关系并解决几何计算与证明题。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 矩形的判定与性质 掌握矩形特殊性质与判定定理，结合平行四边形知识，灵活证明矩形并进行边角与对角线计算。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 斜边的中线等于斜边的一半 掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质与逆定理，能用于角度、线段计算及直角判定。 重要考查点，一般在小题中考查 菱形的判定与性质 掌握菱形定义、性质与判定，灵活运用四边相等、对角线垂直平分等特征进行证明与计算。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 正方形的判定与性质 掌握正方形兼具矩形与菱形的所有性质，能从平行四边形、矩形、菱形出发正确判定正方形，并进行几何计算与证明。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 三角形的中位线定理 掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半的定理，能用于证明平行、线段倍分及计算边长。 重要考查点，一般在解答题考查，3分左右 中点四边形 掌握中点四边形形状由原四边形对角线决定，能判断形状并进行相关证明与计算。 重要考查点，一般在小题考查，2分左右 中心对称图形 理解中心对称图形的定义，能识别常见图形，并利用中心对称性质解决简单几何问题。 基础考查点，一般在小题考查，2分左右 图形的旋转 理解图形旋转的性质，掌握旋转前后对应点、对应线段、对应角相等，能进行旋转作图与角度、边长计算。 基础考查点，一般在小题考查，2分左右 知识点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 知识点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 知识点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 知识点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点07 中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2、成中心对称的两个图形全等； 3、只有一个对称中心. 1、有对称中心; 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点08 旋转 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3、旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2、找出原图形的关键点； 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 题型一 多边形的基本概念 1．下列图形中，是四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是由四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形， ∴是四边形的是选项． 2．长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是_____． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】此题考查了四边形存在的条件，所有边中最大的边必须小于其余三边之和，据此确定a的值即可． 【详解】解：根据四边形存在的条件，所有边中最大的边必须小于其余三边之和， 当时， 需要，即，故可取5或6， 当时， 需要，即，故可取2，3或4， 因此符合条件的整数为2，3，4，5，6，任选其一即可． 故答案为：4（答案不唯一）． 3．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】(1)21 (2)32 【分析】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 【详解】（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 题型二 多边形的对角线问题 易｜错｜点｜拨 n 边形对角线条数公式：，别漏除以 2，别写成n(n−3) 从一个顶点出发有n−3 条对角线，不是n−2 三角形没有对角线，别乱算 已知对角线数求边数时，只取正整数解，舍去负数 4．如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条． (1)请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (2)五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (3)由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？ 【答案】(1)1 (2)2 (3)根 【分析】（1）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答； （2）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答； （3）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，据此解答． 【详解】（1）解：如图①根据三角形具有稳定性可知：要使木架不变形，则需要将四边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条； （2）解：如图②五边形木架钉木条转化为三角形，至少需再钉（根）木条； （3）解：四边形木架至少需再钉1根木条，五边形木架至少需再钉2根木条，综上可得要使n边形木架不变形，至少需要再钉根木条． 5．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 【答案】(1)7，8 (2)，， (3)不存在这样的多边形 【分析】（1）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （2）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （3）设这个多边形的边数为m（，且m为整数），列出方程， 解得，再根据，且m为整数，得到不符合题意，即可解答． 【详解】（1）解： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 按此规律，从十边形的一个顶点可以引出条对角线，对角线将十边形分割成了个三角形； （2）解：从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出条对角线，这些对角线将边形分割成了个三角形，边形的内角和为． （3）解：设这个多边形的边数为（，且为整数）， 依题意，得， 解得， ∵，且m为整数， ∴不符合题意． 答：不存在这样的多边形． 6．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 题型三 多边形内角和问题 易｜错｜点｜拨 内角和公式：(n−2)⋅180°，别漏乘180°，别写成n⋅180° 外角和恒为360°，与边数无关，别当成随边数变化 求边数n时，结果必须是≥3 的整数，小数、负数舍去 截角、少加 / 多加一个角时，先判断内角和变化再算n 7．如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，利用四边形的内角和得到，再细分成，再由三角形内角和得到，，代入运算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴整理可得：． 8．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据正五边形的每个内角的大小和四边形的内角和解题． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵四边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ∴， ， 即． 9．如图①，在中，，，分别是边，上的点（点不与点，重合，点不与点，重合），是平面内一动点（点不与点，在同一直线上）．设，，． 【初步探究】 (1)若点在边上运动（不与，重合），如图①所示，则________；（用含，的式子表示） 【类比思考】 (2)如图②，若点在的外部，则，，之间有何关系？写出结论，并说明理由； 【拓展探究】 (3)当点在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的，，之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)图见解析，或 【分析】（1）根据，，四边形的内角和为，即可表示出∠1，∠2和∠3之间的关系； （2）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （3）画出符合条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即； （2）解：结论：，理由如下： 如图1所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴； （3）解：如图2， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图3， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 题型四 正多边形 10．已知一个正多边形的内角和为， (1)这个多边形是几边形？ (2)这个多边形的一个外角的度数为多少？ 【答案】(1)十边形 (2) 【分析】（1）利用n边形内角和公式列方程求出边数； （2）根据任意多边形外角和为，结合正多边形各外角相等的性质计算得到一个外角的度数． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得：， ∴， 即这个多边形是十边形． （2）解：∵任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等， ∴这个多边形的一个外角的度数为． 11．解答： (1)如图①，等角六边形中，三组正对边与，与，与分别有什么位置关系？证明你的结论； (2)如图②，等角六边形中，如果有，则其余两组正对边与，与相等吗？证明你的结论； (3)如图③，等角六边形中，试判断与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)，，，理由见解答过程； (2)，，理由见解答过程； (3)，理由见解答过程． 【分析】（1）连接，由正六边形的性质可得，再证明，即可得出，同理，，从而得证； （2）连接、，先证明四边形是平行四边形，得出，，再证明，即可得证； （3）延长、相交于点P，延长、相交于点Q，延长、相交于点S，由正六边形的性质可得，再证明是等边三角形．得出，，同理证明是等边三角形，则，从而得证． 【详解】（1）解：，，，理由如下： 连接，如图①， ∵六边形是等角六边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，； （2）解：，，理由如下： 连接、，如图②， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （3）解：，理由如下： 如图③，延长、相交于点P，延长、相交于点Q，延长、相交于点S， ∵六边形是等角六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ∴，， 同理：，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 12．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据周角为进行解答即可； （2）根据正六边形的一个内角为，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值． 【详解】（1）解：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于； （2）解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为， 如果要密铺，则中间需要一个内角为的正多边形， ∴中间正多边形的每个外角为：， ∴． 题型五 多边形内角和与外角和综合 13．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1)360 (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵在五边形中， ∴ ． 14．课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，；（2）小明第一次回到O点时所走过的路程为120米；（3）18 【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可． （2）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得（米）． （3）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得，解方程即可． 本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如下： ． （2）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 故多边形的周长为：（米）． （3）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 15．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【详解】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 题型六 平面镶嵌 16．阅读与思考： 请阅读下面小论文，并完成相应的学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分全覆盖，一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，如果一个内角度数能整除，那么这样的正边形可以进行平面密铺，图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 任务： (1)上面小论文中提到“对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是________．（填出字母代号即可） A．数形结合思想    B．转化思想    C．方程思想 (2)图3中的度数为________． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请你再写出一种可以进行密铺的正多边形． (4)图5是一个基本图形，其中，，求的度数． 【答案】(1)B (2) (3)正六边形（答案不唯一） (4) 【分析】（1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解； （2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解； （3）根据平面镶嵌的正多边形的内角度数能被360度整除，即可求解； （4）先求出五边形的内角和，然后根据求出结果即可． 【详解】（1）解：其中体现的数学思想主要是转化思想； （2）解：； （3）解：∵正六边形的每个内角为， ， 依题意，一种可以进行密铺的正多边形为正六边形； （4）解：， 又， ， ． 17．如图，将图8.1.1①中相邻两行正三角形分开，添一行正方形．它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满地面．正三角形、正方形、正六边形两两结合是否都能铺满地面呢？把正三角形、正方形、正六边形三者结合在一起呢？请你试试看． 【答案】正三角形、正方形结合时，能铺满 正方形、正六边形结合时，不能铺满 正三角形、正六边形结合时，能铺满 正三角形、正方形、正六边形三者结合时，能铺满 【分析】平面镶嵌时，同一顶点处各角的和为． 【详解】解：正三角形的内角为、正方形的内角为、正六边形的内角为． 正三角形、正方形结合时， 正三角形和正方形内角分别为、，，能铺满，如下图． 正方形、正六边形结合时， 正方形和正六边形内角分别为、，不能构成的周角，不能铺满． 正三角形、正六边形结合时， 正三角形和正六边形内角分别为、，，能铺满，如下图． 正三角形、正方形、正六边形三者结合时， ，能铺满地面，如下图． 18．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）； (2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形 D．正六边形    E．正八边形 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【任务二：创作密铺】 (5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”） 【任务三：资金预算】 (6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本． 【答案】(1) (2) (3)A，B，D (4) (5)，无，不可行 (6)铺设广场的总成本为1845元 【分析】（1）根据正多边形内角和可进行求解； （2）根据周角的定义可进行求解； （3）根据密铺的定义及正多边形的性质可进行求解； （4）由题意易得五边形内角和，然后根据图形可进行求解； （5）由题意易得方程，然后问题可求解； （6）设正三角形个，正方形个，正六边形个，则，然后可得该图形由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，进而问题可求解． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，度数是； （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合； （3）解：A．正三角形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面． （4）解：五边形内角和：， ； （5）解：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，根据题意，可得方程； 发现方程无正整数解；结论：由上可得，“挑战小组”方案不可行； （6）解：设正三角形个，正方形个，正六边形个，则， ，，为正整数， ， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图，则三角形，正方形，正六边形的数量之比为， 需要90块正方形地砖，费用：（元）， 需要正三角形数量：（块），费用：（元）， 需要正六边形数量：（块），费用：（元）， 总成本：（元）， 答：铺设广场的总成本为1845元． 题型七 平行四边形的判定 19．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 20．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理，借助全等三角形得出相等的边． 21．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型八 平行四边形的性质 易｜错｜点｜拨 对边平行且相等，只说 “相等” 不写 “平行” 或反过来都扣分 对角相等，邻角互补，别把邻角当成相等 对角线互相平分，不是相等、不是垂直（这是矩形 / 菱形） 是中心对称图形，不一定是轴对称图形 面积 = 底 × 高，别误用对角线乘积（那是菱形） 22．如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，点E在平行四边形的边上，为对角线，平分． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，然后证明即可； （2）先根据平行四边形得到，，即可求出，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解，即可求解的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中， ∴ ∵平分． ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：中，， 又， ， ， ， ， 中， ． 24．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 25．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 26．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 27．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 题型十 矩形的判定 28．如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，即． 在和中， ， ， ． 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 29．如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据中点的定义得，进而得出，然后说明四边形是平行四边形，则此题可证； （2）先说明，进而得出，再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． 30．如图，在矩形中，是对角线，分别以点，为圆心，大于的半径画弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)由作图可知：垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由作图可知：垂直平分，再结合垂直平分线的性质以及矩形的性质即可证明结论； （2）先说明四边形是菱形，设，则，，再运用勾股定理列方程求得即可解答． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 设，则，， 在矩形中，， ∴， ∴，即：， ∴四边形的周长为． 题型十一 矩形的性质 易｜错｜点｜拨 矩形对角线相等且互相平分，别只记平分、忘了相等 四个角都是直角，别和普通平行四边形混淆 既是中心对称，又是轴对称（2 条对称轴） 对角线把矩形分成四个等腰三角形，不是四个全等三角形 有直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用场景，别忘用这条性质 31．如图，在中，是对角线的中点，点，分别在边，上，过点． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使为直角．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到，结合点O是中点的条件，可证明，从而得出结论； （2）由于平行四边形中与相等，要使为直角，需让平行四边形变为矩形，结合矩形对角线的性质，添加与相关的满足矩形判定的条件即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是对角线的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接，添加条件为：，此时为直角； 连接、， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ． 32．如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得即可． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又∵，且， ， ， ， ， ． 33．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，根据勾股定理构造出方程． （1）根据矩形的性质可得，再根据角平分线可得，从而得到，即可求证； （2）根据F为的中点，可得，设，根据线段之间的关系，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴； （2）解：∵F为的中点，， ∴， 设，则，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴，解得，则， 在中，． 题型十二 矩形与折叠问题 34．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，点为边上一点．将矩形沿折叠，若点的对应点落在边上，则此时点的坐标为___________． 【答案】 【分析】折叠前后对应边相等，因此，，先在中利用勾股定理求出的长度，再得到的长度；设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可得到点的坐标． 【详解】解：四边形为矩形，的坐标为， ，，， 由折叠可得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ，解得， 点的坐标为． 35．如图，在矩形中，E是的中点，将折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点H，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，先可证明，可得，设，则，，在中，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即． 36．八年级数学课上孙老师带同学们一起以“矩形的折叠”为主题，开展数学实践活动． 工具与材料：直尺，圆规，矩形纸片，，． (1)【操作发现】 操作一：如图1，沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，求出线段的长度； (2)【实践探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接． ①判断直线是否经过点？______(填“是”或“否”)； ②判断四边形的形状并说明理由，直接写出四边形的面积． (3)【拓展进阶】 操作三：如图3，先折叠矩形，使与重合，折痕分别与，交于，两点，连接． 如图，再次折叠矩形，使，两点重合，折痕与交于，连接，，最后将沿向上翻折，点落在点处，交于点． 请直接写出线段和的长度． 【答案】(1) (2)①是； ②解：四边形是菱形， 理由如下：∵直线是线段的垂直平分线， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 四边形的面积为． (3)， 【分析】（1）利用矩形与折叠性质证等腰三角形，设未知数，根据勾股定理列方程求； （2）①证在的垂直平分线上，判断经过点； ②设未知数列勾股定理方程求，用菱形的面积公式求四边形的面积； （3）由折叠性质确定为中点，设未知数，根据勾股定理列方程求，证明四边形是正方形，设交于点，连接，证明，进而证明，得出，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． 由折叠的性质得：， ∴， ∴ 设，则 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：． 即 （2）①解：直线经过点，理由如下：由操作二的作法可知，直线是线段的垂直平分线， 由（1）知， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线经过点． ②四边形是菱形，． 即四边形的面积为． （3）解：由折叠性质得：为的中点， ∴． 设，则，由折叠得． 在和中，由勾股定理得：，． ∵， ∴， 解得：即． 此时，， ∴， 由折叠性质得：， 在与中， ， ∴． ∴， 又， ∴， ∴ 又∵由折叠性质知， ∴四边形是正方形， 如图，设交于点， ∵是折痕， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十三 斜边的中线等于斜边的一半 37．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，勾股定理求出的长，再根据斜边上的中线的性质，即可得出结果. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴. 38．如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为________． 【答案】20 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再设正方形边长为未知数，利用勾股定理列方程求出边长的平方即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点为边的中点， ， 在中，是的中点， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：，即， 整理得：， 解得：， 正方形的面积为． 39．已知，点，分别在射线，上，以为边向外作，使，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)当点在内部时， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为取值范围内的任意角度，作，交射线于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：如图1， ， ，． 又， ，． ， ， 点是的中点； (2)①证明：如图2， ， ，，， 连接，过A作于P，设于点，则，， ． ． ． 又，， ， ． ∴， ∵， ， ． ． ． ； ②． 证明：如图3，在上取点，连接，使得，取的中点F，连接， 则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ，， ∴， ， ，， ∴是直角三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）利用等角的余角相等得到，由等边对等角可得，，即可证明结论； （2）在上取点，连接，使得，取的中点F，连接，证明，求出，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型十四 菱形的判定 40．如图，平行四边形的对角线相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，   在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由三角形全等的判定定理（SAS）即可证得； （2）可证得，平行四边形是菱形，又，可知是等边三角形，即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，得， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，     ∴． 41．如图，在中，E、F分别为边的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别为边的中点， ∴，． ∴四边形是平行四边形， ∴． (2)∵平行四边形， ∴， ∵， ∴． 又∵F为边的中点， ∴． ∴平行四边形是菱形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，．由E、F分别为边的中点可推出．即可利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形，即得出结果． （2）根据平行四边形得出，由，可推出，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出，所以平行四边形是菱形 【详解】（1）略 （2）略 42．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边证明，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，用勾股定理解，再根据直角三角形斜边中线的性质，得出． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， 是斜边上的中线， ． 题型十五 菱形的性质 易｜错｜点｜拨 四条边都相等，对边平行，别只说对边相等 对角线互相垂直平分，且平分一组对角，别漏 “垂直” 面积 = 底 × 高 = 对角线乘积的一半，两个公式都要会用 是轴对称 + 中心对称图形，对称轴有2 条 对角线分出四个全等直角三角形，别当成等腰三角形 43．已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点，即平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质证明． （2）根据菱形性质结合勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，四边形是菱形，，为菱形对角线，交于点， ∴，，互相平分， ∵，， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得， ， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 44．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边、交于点，连接、，若． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形； (2)． 【分析】先根据矩形的性质和平行线的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形是平行四边形，然后通过垂直平分线的性质可得，所以四边形是菱形； 由得四边形为菱形，通过，，，，然后在中根据勾股定理求的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形，为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵，为对角线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（）得四边形为菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴的长为． 45．如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，根据，得出继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型十六 正方形的判定 46．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)时，四边形是正方形，理由见解析． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是菱形，再根据对角线相等的菱形是正方形，添加条件即可. 【详解】（1）解：证明：平分， ， ，， ， ； （2）解：时，四边形是正方形， 理由：，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． 47．如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，由，即可得到四边形是矩形； （2）根据邻边相等的矩形是正方形即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形， ∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 48．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)当点O是的中点时，四边形是矩形，证明见解析 (3)当满足时，四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，根据等角对等边推出，同理可得，然后运用等量代换即可解答； （2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，据此只需要满足即可，据此可得答案； （3）令，证明四边形是菱形，再结合四边形是矩形，即可证明是正方形． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：当点O是的中点时，四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （3）解：当满足时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形是矩形， ∴， ∴菱形是正方形． 题型十七 正方形的性质 易｜错｜点｜拨 同时具备矩形 + 菱形所有性质，缺一不可 四条边相等，四个角都是直角 对角线相等、互相垂直平分，且平分每组对角 有4 条对称轴，别写成 2 条 对角线把正方形分成4 个全等的等腰直角三角形 49．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 50．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 51．如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3)如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)成立，证明见解析 【分析】（1）利用四边形的内角和定理以及邻补角进行证明； （2）①连接，利用正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质证明； ②根据正方形的性质得出相等的边，利用勾股定理求解； （3）延长交于点G，连接，根据矩形的性质证明和，得出相等的边，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形，是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴； ②，证明如下： 由①得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即； （3）解：线段和之间的数量关系还成立，证明如下： 如图2，延长交于点G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 题型十八 （特殊）平行四边形的存在性问题 52．如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，四边形为平行四边形，平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由见详解 (3)存在，当或时，为等腰三角形，理由见详解 【分析】（1）根据非负性得到，如图所示，过点作于点，则，可证四边形是矩形，则，由勾股定理得到，由此即可得到的长； （2）①根据题意得到，，，，，结合平行四边形的性质列式求解即可； ②根据矩形的性质列式得到，解方程即可； （3）根据点的运动，分类讨论：当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：、满足， ∵， ∴， 解得，， ∴，， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，则运动时间为秒， 点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动，则运动时间为秒， 设运动时间为秒， ∵动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止， ∴运动时间， 根据题意，，， ∴，， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∴如图所示，当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，，不符合题意， ∴不存在四边形是矩形； （3）解：存在，当或时，为等腰三角形，理由如下， 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，，， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴此时点重合，点重合，，即是等腰三角形； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 53．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，恰好平分． (4)当时，点B在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可． （4）如图，连接，过作于，证明，结合，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得． （2）解：当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， 解得：， 当，时，如图， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． （3）解：如图，连接，过作于， ∵恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当时，恰好平分． （4）解：如图，连接，过作于， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：当时，点B在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 54．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与直线交于点，射线上的动点以每秒个长度单位的速度从点出发，沿着方向作匀速运动，运动时间为秒，连结． (1)则点的坐标____________； (2)若是等腰直角三角形，则的值为_________； (3)若平分的面积，求直线对应的函数关系式． (4)若的面积为，则点的坐标为_____________． (5)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (6)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 (5)或或或 (6)或 【分析】（1）根据直线与直线交于点，联立成方程组，解方程组即可求出点的坐标； （2）设的坐标为，由直线与轴的正半轴所夹锐角为，因此当时或当时，是等腰直角三角形，分别求出点的坐标进而得出的值即可； （3）先求出点的坐标，然后运用待定系数法求出直线的解析式即可； （4）过作于，根据三角形的面积公式解答即可； （5）分三种情况讨论：以、为边作菱形；以为边、为对角线作菱形；以为边、为对角线作菱形，分别求解即可； （6）分别两种情况讨论：以为边作矩形，设的坐标为，根据矩形的性质，利用勾股定理得，再根据和表示的长，列出方程求解即可；以为对角线作矩形，根据矩形的性质求得坐标即可． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， 解得： ， 故答案为； （2）解：直线与轴的正半轴所夹锐角为， ， 由题意，设的坐标为， 当时，是等腰直角三角形，此时轴于点， ， ， ， ， ； 当时，是等腰直角三角形，此时， 如图，过作于，则， ， ， ， ，， ； 综上所述：或， 故答案为：或； （3）解：如图： 由， 令，得，， 平分的面积， ， ， 设直线的解析式是， 把，代入得：， 解得：， 直线对应的函数关系式是； （4）解：由（2）于， ，于， ， ， ， ， 的坐标为：或； （5）解：分三种情况讨论： 以、为边作菱形，如图和图， ，，， 设， ，， ，， ， 解得或， 点坐标为或； 以为边、为对角线作菱形，如图， 、关于轴对称，， ； 以为边、为对角线菱形，如图， ，， 设， ，， ，， ， 解得， 坐标为， 综上所述符合条件的的坐标为或或或； （6）解：分别两种情况讨论： 以为边作矩形， 设的坐标为， 四边形为矩形， ， ，， ， 解得， ； 以为对角线作矩形， 四边形是矩形， ， ， ， 的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，菱形的性质，矩形的性质，两点间距离公式以及分类讨论的思想等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强． 题型十九 三角形中位线定理 易｜错｜点｜拨 中位线是两边中点连线，不是中线（顶点到对边中点），别混淆； 定理：平行于第三边，且等于第三边的一半，只写一半不写平行要扣分； 一个三角形有3 条中位线，围成的小三角形与原三角形相似且面积为原四分之一；​ 只在三角形中成立，四边形没有中位线定理（四边形是中点四边形） 55．如图，在中，，，垂足为点，点，分别为，中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的度数为 【分析】（1）由，为中点，得；E，F是，中点，则，结合，等量代换，即可证； （2）先由得，利用内角和算出；由，进而可得；最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴ ， 由（1）知，且是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 56．如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 3 【分析】取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证得三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】解：取中点，连接和， 在矩形中， ， ，， ， 为对角线的中点，为的中点，为中点， 分别为和中位线， ，且， 三点共线， ． 57．如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 【答案】 【分析】在上作点F关于的对称点H，连接，则，，根据折叠的性质可得点H为的中点，从而得到，进而得到，再结合矩形的性质以及勾股定理可得，，从而得到，连接，过点H作于点M，则，可得为等边三角形，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，在上作点F关于的对称点H，连接，则，， 由折叠的性质得：， ∵是的中点，是的中点， ∴，即点H为的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点刚好落在的中点， ∴， 在中， ， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接，过点H作于点M，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十 中点四边形 58．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【分析】连接，，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 59．对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】①连接，利用是等腰直角三角形可得，利用三角形中位线可得；②取的中点，连接，当三点共线时，最小，此时，有最小值为：. 【详解】①解：连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴即：， ∵分别为的中点， ∴； ②取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， 同理：， ∵，分别为的中点， ∴， ∵四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 当三点共线时，最小为， 此时，有最小值为：. 60．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （）先证明可得，，可得四边形是平行四边形，由此即可得出结论. （）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证； 【详解】（1）证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴. （2）证明：连接， ∵点分别为边的中点，    ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 题型二十一 中心对称图形 61．福建拥有许多古朴雅致独具特色的传统建筑，这些建筑巧妙融合艺术美感与几何构造，蕴含着独特的几何美学．下列选项中的图形是由传统建筑装饰纹样抽象得到的，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 62．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 63．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，在边上找一点，在边上找一点，连接，，使四边形为矩形． 【答案】(1)解：作如下所示（作图不唯一）： (2)解：作如下所示： (3)解：作图如下所示： 【分析】（1）分别取A点与B点向右2格和向上2格的格点，连线即可； （2）先确定E点与F点，再连线； （3）取图中C点向左移动4格，向下移动3格的格点记为点E，取A点向右移动4格，向上移动3格的格点为点F．连线即可确定G点与H点． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：略 题型二十二 图形的旋转 64．解决问题 (1)如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． (2)在（1）的条件下，如图2，将绕点C顺时针旋转一定的角度，连接． ①_________； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） (3)如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ， ∴， ∴； (2)①60； ②，理由为： 过点C作，于点M，N， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）①证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题即可； ②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，证明，即可得到，然后利用勾股定理得到长，再推导出解题即可． 【详解】（1）略 （2）解：①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 65．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是____________，位置关系是_____________； (2)探究证明： 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)解：是等腰直角三角形， 证明：由题意知，， ，即， 在和中， ， ， ，， 同（1），是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ； ，， ，， ， ， ， ， ，即， 综上可得是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）先证，利用三角形中位线的性质得，，，，再证，即可求解； （2）先证，推出，，仿照（1）利用三角形中位线的性质，证明，再利用平行线的性质和三角形外角的性质，通过导角证明，即可得出结论； （3）先求出，的直角边长，根据（2）中结论得是等腰直角三角形，推出，可得当点D在的延长线上时，取最大值，的面积最大． 【详解】（1）解：，， ， ， 点、、分别为、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上可得，图1中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）略 （3）解：由题意知，均为等腰直角三角形， ，， ，， 由（2）知是等腰直角三角形，， ， 取最大值时，的面积最大， 绕点在平面内自由旋转， 当点D在的延长线上时，取最大值，最大值， 面积的最大值为：． 66．在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图1，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． (1)矩形__________（填“是”或“不是”）标准矩形； 【深入探究】将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)如图2，当恰好经过点时，旋转角的度数是__________，线段的长是__________； 【拓展应用】 (3)当矩形在平面内绕点旋转到如图3的位置时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)是 (2)， (3) 证明：如图，分别过两点作的垂线，垂足为， 由旋转可知，, , , , 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据标准矩形的定义，分别求出的长度即可判断； （2）由（1）的结论，得出为等腰直角三角形，进而推出，即可； （3）如图，分别过两点作的垂线，通过旋转性质得出相关线段和角相等，先后根据角角边定理证明，，从而得到． 【详解】（1）解：四边形为标准矩形， , ，分别是，的中点， ,且，， 四边形为矩形， ， ，即， 矩形是标准矩形． （2）解：矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ． （3）略． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若一个边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用任意多边形外角和为的性质求解，思路为先求出多边形每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到边数． 【详解】解：∵ 该边形每个内角都是， ∴ 每个外角的度数为 ， ∵ 任意多边形的外角和为， ∴ ． 2．下列说法中错误的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线平分一组对角 C．平行四边形的对边相等 D．矩形的对角线互相平分 【答案】A 【分析】本题考查特殊四边形的判定与性质，根据平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误，符合题意； B、菱形的性质包含对角线平分一组对角，故此选项说法正确，不符合题意； C、平行四边形的性质包含对边相等，故此选项说法正确，不符合题意； D、矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，∴矩形对角线互相平分，故此选项说法正确，不符合题意． 3．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4．如图，在中，，，平分交于点E，则的长是（   ） A．3 B．5 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而利用平行线的性质和角平分线的定义证得，推出，最后根据求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 5．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 【答案】 菱形 【分析】利用三角形中位线定理可得中点四边形对边平行且等于原矩形对角线的一半，结合矩形对角线相等的性质，可得中点四边形邻边相等，根据平行四边形和菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设矩形，，，，分别是，，，的中点，连接，， 根据三角形中位线定理，可得：，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相等， ， ， ， 平行四边形是菱形． 6．小钟读到一篇名为《东方窗棂之美》的文章，文中配了这样一张图片（见图1）．图里满是形态各异、大小不一的多边形，看似毫无规律，却奇妙地交织出一种独特的自然和谐之美，尽显东方窗棂独有的韵味．如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是________． 【答案】/282度 【详解】解：多边形的外角和为， ， ， ． 7．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，的周长比的周长大2，若，则的长是________． 【答案】13 【分析】 本题主要考查平行四边形的性质．根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，用方程思想解答即可．由题意得，和，有两边相等：，，它们周长的差其实就是与的差；这样可设，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长比的周长大2，在这两三角形中，，是公共边， ∴ 设，则， 解得, 即. 8．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 【答案】1 【分析】根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长为． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为1，5， ． ∵点，分别为边，的中点， ∴． ∵，点为的中点， ． 9．如图，中，于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据四边形的内角和以及对顶角的性质，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 10．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 11．如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用推出，结合已知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明是平行四边形； （）利用第（）题的平行四边形性质，得到对边相等，再将四条边长度相加计算出周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）知四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长为：． 12．社区改造平行四边形休闲区域，对角线、相交于点，，． (1)求、的长度； (2)若的周长为，求的长； (3)结合平行四边形性质，写出一条边角结论． 【答案】(1)， (2) (3)，，，，（写出其中一条边角结论即可）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，对角线互相平分即可解答； （2）由（1）知的长，再结合题意，即可求解； （3）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线、交于点，，， ∴，； （2）解：由（1）知， ∵的周长为，即， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，（写出其中一条边角结论即可）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 13．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故A不符合题意； B选项，，，不能推出对角线互相平分，四边形不是平行四边形，故B不符合题意； C选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故C不符合题意； D选项，， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此四边形是平行四边形，故D符合题意． 14．如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，同理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 同理得到， ． 15．如图，点是的对角线上的一个动点，过点作的垂线，分别交边，于点，连接．下列为定值的是（     ） A．的大小 B．的值 C．的周长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】过点作于点，结合直角条件判断两角非定值；利用平行四边形与三角函数证为定值；构造平行四边形转化线段，依据两点之间线段最短，得出无固定值，逐一判断选项；面积判定：过点作交的延长线于点，证明为平行四边形，借助面积等量代换，确定四边形面积为定值；周长判定：构造转化周长，因长度随动点变化，得出其周长不为定值． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴， 是定角， 也是定角． ∵点是上的动点， 的度数不是定值， 的大小不是定值，故A选项错误； ∵四边形是平行四边形， 是定长， ， ∴为定长， 过点作，过点作交于点，则四边形是平行四边形，点为定点， ， ∴， 当点三点共线时，最小， 的值不是定值，故B选项错误； 如图，过点作交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴， 为定值，故D选项正确； 如图，在上取一点，使， 的周长， ∵不是定值， 的周长不是定值，故C选项错误． 16．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（     ） A．24 B．36 C．42 D．48 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，为中点，结合为中点可得为的中位线，从而；利用等面积法在中建立之间的关系，结合已知条件，即可求解的值 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点是边的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 17．如图，矩形的对角线和相交于点O，，则______． 【答案】3 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，进而得到是等边三角形，求解即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 18．已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点E，F，且，则的长为_______． 【答案】或 【分析】利用平行四边形的性质得到，，，根据角平分线定义和平行线的性质推出，由等角对等边得，同理可得，分两种情况讨论点与点的位置，计算的长即可. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴ 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 19．如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，．再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 20．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，是线段的中点，连接， （I）线段的长为____________； （II）为的中点，是的中点，连接，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】（I）根据菱形对角线互相垂直平分求出 的长，由中点定义求出的长，在中利用勾股定理求出； （II）取中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长，进而求出的长，在中利用勾股定理求出． 【详解】（I） 四边形 是菱形，，， ，，． 是线段 的中点， ， 在 中，由勾股定理得： ． （II）如图，取的中点，连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ，， ， ，即． 为的中点，， ． 是的中点，， ， ． 在中，由勾股定理得： ． 21．如图，在中，E、F分别是、的中点，连接、．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，，，再证明，进一步可得结论； （2）证明，，再证明，进一步可得结论. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形. 22．嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： (1)请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 【答案】(1)解：如图，正方形即为所求； (2)①，； ②证明：∵矩形，的长为，的长为 ∴矩形的面积为； 由（1）可知：，， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的面积等于矩形的面积． 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）①根据作图，列出代数式即可；②求出矩形和正方形的面积即可得证. 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， ∴， ∵作线段的垂直平分线，交于点， ∴，； ②略 23．如图，在平行四边形中，与相交于点O，并延长至点F，使，连接，连接交于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点C作于点G，并延长至点M，使，连接，且，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， 且， ， 且， 四边形是平行四边形， ，即，，即， 又， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再证明，根据“对角线相等的平行四边形为矩形”，即可证明结论； （2）连接，首先证明为的中位线，易得且，再证明，进而获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如下图， 四边形是平行四边形， ，， ， 且，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 24．如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 【答案】(1)64 (2)解：，理由如下： 由题意得，， ∴； (3)52 【分析】（1）结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）结合正方形面积公式以及结合图形特征进行列式计算，即可作答． （3）由，得，因为，即，再解得，，结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴； （2）解：，理由略； （3）解：由，得， 故， 化为， 又∵， ∴， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴， ∴这两个正方形的面积之和为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 25．如图，中，点E为的中点，连接，，点F为的中点，连接交为G，若，则的长为（     ）． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】取中点H，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）及三角形中位线得出四边形是平行四边形，利用平行四边形对角线平分且相等进而求出的长． 【详解】解：取中点为H，连接，如图所示， ∵点F为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】构造三角形中位线． 26．如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；根据“”可证明，得到，可对①进行判断；因为，，推出，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵H不是的中点， ∴，故①错误； ∵，， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有②④，共2个． 27．如图，菱形和菱形中，，，点E是的中点，点G在的延长线上，连接、、，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质和已知角度证明是等边三角形，求出的长和的度数；再根据菱形的性质求出的长和的度数，进而证明，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， 是等边三角形， ，， 点在的延长线上， ， 点是的中点， ， 四边形是菱形， ，平分， ，， 如图，连接交于点，    ，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ， 在中，． 28．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，根据，分别是，的中点，可得，，是的中位线，求出，和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ， ∵，，， ， ， ， 是直角三角形，， ． 29．如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，则__________． 【答案】6 【分析】先利用矩形和折叠的性质求出的长度，再通过勾股定理计算的长，最后设，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，． 由折叠的性质得：，，． ∵， ∴． 在中，． 设，则， ∴． 在中， ， 解得． 故． 30．如图，在菱形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为_______________. 【答案】 【分析】连接，设直线交于点F，由菱形的性质可得，．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，则，，，在中，由勾股定理得结论． 【详解】解：连接，设直线交于点F， ∵四边形为菱形， ∴，． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得，． 31．如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为边上一个动点，以为斜边作等腰，使点G和点B在的两侧，若，，则的最小值为________，当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为________． 【答案】 【分析】过作于，于，则四边形是矩形，证明，得出，即可得点在的角平分线上运动，则当时，最小，求出此时的长即可；根据题意得出当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为，如图，当点F与点B重合时，，根据直角三角形的性质得出；当点F与点C重合时，，延长交于点，则四边形是矩形，，证明，得出，设，则，求出，则，延长交于点，则四边形是矩形，求出，再根据勾股定理得出，即可解答​． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵为中点， ∴， 过作于，于， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，且与在两侧， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，点到的距离等于点到的距离， ∴点在的角平分线上运动， 当时，最小， 此时， ∴； ∵点在的角平分线上运动，当点F与点B重合时，点位于点，当点F与点C重合时，点位于点， ∴当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为， 如图，当点F与点B重合时，， ∴； 当点F与点C重合时，， 延长交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 延长交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路径长为​． 32．如图，在菱形中，，，点是边上一动点，连接，是上的中点，连接，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】连接，与交于点O，取的中点M、N，连接，由题意易得是等边三角形，，，则有，然后可得，根据三角形中位线可得，，进而根据等腰三角形三线合一可得垂直平分，则，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，与交于点O，取的中点M、N，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵点M、N是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是上的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点P在上， ∴点N、Q、O三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴要使的值为最小，则需满足的值最小，根据三角形三边不等关系可知，当且仅当点B、Q、D三点共线时，取得最小值，最小值为4； ∴的最小值为4． 33．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点， ∴， ∴． ， ， ， 平分； (2) (3)6 【分析】（1）根据折叠的性质得到，进而可知，根据平行线的性质得到，可知，即可得到平分； （2）证明，进而证明，可知； （3）设正方形的边长为，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点向作垂线，垂足为点． 在和中， ， ，． 在和中， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为． 则，，． 在中， ， ， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为6． 34．已知：点E在正方形的边的延长线上，连接交于点G，过点B作，垂足为点M，的延长线分别交，的延长线于点F，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，连接，过点G作，分别交，于点K，N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段的长度是的长度的2倍． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ． (2)，，， 【分析】（1）由正方形的性质得出，，由直角三角形两锐角互余得出，，由对顶角相等得出，等量代换可得出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）根据正方形得到、和，即可得到，由得到，进一步得到，利用等腰三角形的性质得到和，即可得到，进一步证明，得和，有，可证明，有，则即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， 那么，． 35．探究与应用： (1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； (2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； (3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 在中，由勾股定理得：， 由①知， ∴； (2)的度数为 (3) 【分析】（1）①证明即可证明结论；②证明，根据即可得出结论； （2）证明，得出是直角三角形，且，即可求出结论； （3）证明，得出是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∴的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 36．如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且． (1)求证：； (2)如图，若点为边上一点，且，的周长为，求四边形的面积； (3)如图，在（2）的条件下，与交于点，连接且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）证明，得到，即可得到，即； （2）由，得到，，即可推出的周长为，得到，最后根据，得到； （3）在（2）的条件下，，，连接，过作于，由和得到，，再证明垂直平分，得到，根据三线合一得，则，设，则，，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， 连接，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵中， ∴， 解得， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形的基本概念 题型02 多边形的对角线问题 题型03 多边形内角和问题 题型04 正多边形 题型05 多边形内角和与外角和综合 题型06 平面镶嵌 题型07 平行四边形的判定 题型08 平行四边形的性质 题型09 添一个条件证明四边形是平行四边形 题型10 矩形的判定 题型11 矩形的性质 题型12 矩形与折叠问题 题型13 斜边的中线等于斜边的一半 题型14 菱形的判定 题型15 菱形的性质 题型16 正方形的判定 题型17 正方形的性质 题型18 （特殊）平行四边形的存在性问题 题型19 三角形中位线定理 题型20 中点四边形 题型21 中心对称图形 题型22 图形的旋转 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 掌握多边形、正多边形的概念与内角和、外角和公式，能进行角度计算与简单应用。 基础考查点，一般在小题考查，2分 多边形内角和 熟记并运用多边形内角和公式，准确计算内角、边数及相关角度问题。 基础考查点，牢记多边形的内角和公式，一般在小题考查，2分左右 平行四边形的判定与性质 熟练掌握平行四边形性质与判定定理，能灵活互推、证明边 / 角 / 对角线关系并解决几何计算与证明题。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 矩形的判定与性质 掌握矩形特殊性质与判定定理，结合平行四边形知识，灵活证明矩形并进行边角与对角线计算。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 斜边的中线等于斜边的一半 掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质与逆定理，能用于角度、线段计算及直角判定。 重要考查点，一般在小题中考查 菱形的判定与性质 掌握菱形定义、性质与判定，灵活运用四边相等、对角线垂直平分等特征进行证明与计算。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 正方形的判定与性质 掌握正方形兼具矩形与菱形的所有性质，能从平行四边形、矩形、菱形出发正确判定正方形，并进行几何计算与证明。 核心考查点，一般在解答题考查，5分左右 三角形的中位线定理 掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半的定理，能用于证明平行、线段倍分及计算边长。 重要考查点，一般在解答题考查，3分左右 中点四边形 掌握中点四边形形状由原四边形对角线决定，能判断形状并进行相关证明与计算。 重要考查点，一般在小题考查，2分左右 中心对称图形 理解中心对称图形的定义，能识别常见图形，并利用中心对称性质解决简单几何问题。 基础考查点，一般在小题考查，2分左右 图形的旋转 理解图形旋转的性质，掌握旋转前后对应点、对应线段、对应角相等，能进行旋转作图与角度、边长计算。 基础考查点，一般在小题考查，2分左右 知识点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 知识点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 知识点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 知识点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点07 中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2、成中心对称的两个图形全等； 3、只有一个对称中心. 1、有对称中心; 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点08 旋转 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3、旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2、找出原图形的关键点； 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 题型一 多边形的基本概念 1．下列图形中，是四边形的是（     ） A． B． C． D． 2．长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是_____． 3．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 题型二 多边形的对角线问题 易｜错｜点｜拨 n 边形对角线条数公式：，别漏除以 2，别写成n(n−3) 从一个顶点出发有n−3 条对角线，不是n−2 三角形没有对角线，别乱算 已知对角线数求边数时，只取正整数解，舍去负数 4．如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条． (1)请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (2)五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？ (3)由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？ 5．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 6．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 题型三 多边形内角和问题 易｜错｜点｜拨 内角和公式：(n−2)⋅180°，别漏乘180°，别写成n⋅180° 外角和恒为360°，与边数无关，别当成随边数变化 求边数n时，结果必须是≥3 的整数，小数、负数舍去 截角、少加 / 多加一个角时，先判断内角和变化再算n 7．如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 9．如图①，在中，，，分别是边，上的点（点不与点，重合，点不与点，重合），是平面内一动点（点不与点，在同一直线上）．设，，． 【初步探究】 (1)若点在边上运动（不与，重合），如图①所示，则________；（用含，的式子表示） 【类比思考】 (2)如图②，若点在的外部，则，，之间有何关系？写出结论，并说明理由； 【拓展探究】 (3)当点在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的，，之间的关系式． 题型四 正多边形 10．已知一个正多边形的内角和为， (1)这个多边形是几边形？ (2)这个多边形的一个外角的度数为多少？ 11．解答： (1)如图①，等角六边形中，三组正对边与，与，与分别有什么位置关系？证明你的结论； (2)如图②，等角六边形中，如果有，则其余两组正对边与，与相等吗？证明你的结论； (3)如图③，等角六边形中，试判断与的大小，并证明你的结论． 12．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 题型五 多边形内角和与外角和综合 13．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 14．课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 15．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 题型六 平面镶嵌 16．阅读与思考： 请阅读下面小论文，并完成相应的学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分全覆盖，一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，如果一个内角度数能整除，那么这样的正边形可以进行平面密铺，图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 任务： (1)上面小论文中提到“对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是________．（填出字母代号即可） A．数形结合思想    B．转化思想    C．方程思想 (2)图3中的度数为________． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请你再写出一种可以进行密铺的正多边形． (4)图5是一个基本图形，其中，，求的度数． 17．如图，将图8.1.1①中相邻两行正三角形分开，添一行正方形．它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满地面．正三角形、正方形、正六边形两两结合是否都能铺满地面呢？把正三角形、正方形、正六边形三者结合在一起呢？请你试试看． 18．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）； (2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形 D．正六边形    E．正八边形 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【任务二：创作密铺】 (5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”） 【任务三：资金预算】 (6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本． 题型七 平行四边形的判定 19．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 20．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 21．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 题型八 平行四边形的性质 易｜错｜点｜拨 对边平行且相等，只说 “相等” 不写 “平行” 或反过来都扣分 对角相等，邻角互补，别把邻角当成相等 对角线互相平分，不是相等、不是垂直（这是矩形 / 菱形） 是中心对称图形，不一定是轴对称图形 面积 = 底 × 高，别误用对角线乘积（那是菱形） 22．如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．如图，点E在平行四边形的边上，为对角线，平分． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 24．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 25．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 26．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 27．如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 题型十 矩形的判定 28．如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证：． 29．如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 30．如图，在矩形中，是对角线，分别以点，为圆心，大于的半径画弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 题型十一 矩形的性质 易｜错｜点｜拨 矩形对角线相等且互相平分，别只记平分、忘了相等 四个角都是直角，别和普通平行四边形混淆 既是中心对称，又是轴对称（2 条对称轴） 对角线把矩形分成四个等腰三角形，不是四个全等三角形 有直角三角形斜边中线等于斜边一半的应用场景，别忘用这条性质 31．如图，在中，是对角线的中点，点，分别在边，上，过点． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使为直角．（不需要说明理由） 32．如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 33．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十二 矩形与折叠问题 34．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，点为边上一点．将矩形沿折叠，若点的对应点落在边上，则此时点的坐标为___________． 35．如图，在矩形中，E是的中点，将折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点H，若，，则的长为_________． 36．八年级数学课上孙老师带同学们一起以“矩形的折叠”为主题，开展数学实践活动． 工具与材料：直尺，圆规，矩形纸片，，． (1)【操作发现】 操作一：如图1，沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，求出线段的长度； (2)【实践探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接． ①判断直线是否经过点？______(填“是”或“否”)； ②判断四边形的形状并说明理由，直接写出四边形的面积． (3)【拓展进阶】 操作三：如图3，先折叠矩形，使与重合，折痕分别与，交于，两点，连接． 如图，再次折叠矩形，使，两点重合，折痕与交于，连接，，最后将沿向上翻折，点落在点处，交于点． 请直接写出线段和的长度． 题型十三 斜边的中线等于斜边的一半 37．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 38．如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为________． 39．已知，点，分别在射线，上，以为边向外作，使，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)当点在内部时， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为取值范围内的任意角度，作，交射线于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型十四 菱形的判定 40．如图，平行四边形的对角线相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 41．如图，在中，E、F分别为边的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 42．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 题型十五 菱形的性质 易｜错｜点｜拨 四条边都相等，对边平行，别只说对边相等 对角线互相垂直平分，且平分一组对角，别漏 “垂直” 面积 = 底 × 高 = 对角线乘积的一半，两个公式都要会用 是轴对称 + 中心对称图形，对称轴有2 条 对角线分出四个全等直角三角形，别当成等腰三角形 43．已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 44．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边、交于点，连接、，若． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 45．如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型十六 正方形的判定 46．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 47．如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 48．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 题型十七 正方形的性质 易｜错｜点｜拨 同时具备矩形 + 菱形所有性质，缺一不可 四条边相等，四个角都是直角 对角线相等、互相垂直平分，且平分每组对角 有4 条对称轴，别写成 2 条 对角线把正方形分成4 个全等的等腰直角三角形 49．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 50．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 51．如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3)如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型十八 （特殊）平行四边形的存在性问题 52．如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 53．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 54．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与直线交于点，射线上的动点以每秒个长度单位的速度从点出发，沿着方向作匀速运动，运动时间为秒，连结． (1)则点的坐标____________； (2)若是等腰直角三角形，则的值为_________； (3)若平分的面积，求直线对应的函数关系式． (4)若的面积为，则点的坐标为_____________． (5)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (6)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十九 三角形中位线定理 易｜错｜点｜拨 中位线是两边中点连线，不是中线（顶点到对边中点），别混淆； 定理：平行于第三边，且等于第三边的一半，只写一半不写平行要扣分； 一个三角形有3 条中位线，围成的小三角形与原三角形相似且面积为原四分之一；​ 只在三角形中成立，四边形没有中位线定理（四边形是中点四边形） 55．如图，在中，，，垂足为点，点，分别为，中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 56．如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 57．如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 题型二十 中点四边形 58．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 59．对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 60．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 题型二十一 中心对称图形 61．福建拥有许多古朴雅致独具特色的传统建筑，这些建筑巧妙融合艺术美感与几何构造，蕴含着独特的几何美学．下列选项中的图形是由传统建筑装饰纹样抽象得到的，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 62．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 63．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，在边上找一点，在边上找一点，连接，，使四边形为矩形． 题型二十二 图形的旋转 64．解决问题 (1)如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． (2)在（1）的条件下，如图2，将绕点C顺时针旋转一定的角度，连接． ①_________； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） (3)如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 65．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是____________，位置关系是_____________； (2)探究证明： 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 66．在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图1，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． (1)矩形__________（填“是”或“不是”）标准矩形； 【深入探究】将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． (2)如图2，当恰好经过点时，旋转角的度数是__________，线段的长是__________； 【拓展应用】 (3)当矩形在平面内绕点旋转到如图3的位置时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若一个边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．下列说法中错误的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线平分一组对角 C．平行四边形的对边相等 D．矩形的对角线互相平分 3．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，平分交于点E，则的长是（   ） A．3 B．5 C．4 D．2 5．顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 6．小钟读到一篇名为《东方窗棂之美》的文章，文中配了这样一张图片（见图1）．图里满是形态各异、大小不一的多边形，看似毫无规律，却奇妙地交织出一种独特的自然和谐之美，尽显东方窗棂独有的韵味．如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是________． 7．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，的周长比的周长大2，若，则的长是________． 8．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 9．如图，中，于点，于点．若，求的度数． 10．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 11．如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 12．社区改造平行四边形休闲区域，对角线、相交于点，，． (1)求、的长度； (2)若的周长为，求的长； (3)结合平行四边形性质，写出一条边角结论． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 13．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 14．如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．如图，点是的对角线上的一个动点，过点作的垂线，分别交边，于点，连接．下列为定值的是（     ） A．的大小 B．的值 C．的周长 D．四边形的面积 16．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（     ） A．24 B．36 C．42 D．48 17．如图，矩形的对角线和相交于点O，，则______． 18．已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点E，F，且，则的长为_______． 19．如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 20．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，是线段的中点，连接， （I）线段的长为____________； （II）为的中点，是的中点，连接，则线段的长为____________． 21．如图，在中，E、F分别是、的中点，连接、．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 22．嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： (1)请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 23．如图，在平行四边形中，与相交于点O，并延长至点F，使，连接，连接交于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点C作于点G，并延长至点M，使，连接，且，求的值． 24．如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 25．如图，中，点E为的中点，连接，，点F为的中点，连接交为G，若，则的长为（     ）． A．4 B．5 C．6 D．8 26．如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 27．如图，菱形和菱形中，，，点E是的中点，点G在的延长线上，连接、、，则的长为（     ）    A． B． C． D． 28．如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 29．如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，则__________． 30．如图，在菱形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若，则的长为_______________. 31．如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为边上一个动点，以为斜边作等腰，使点G和点B在的两侧，若，，则的最小值为________，当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为________． 32．如图，在菱形中，，，点是边上一动点，连接，是上的中点，连接，则的最小值为_________． 33．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 34．已知：点E在正方形的边的延长线上，连接交于点G，过点B作，垂足为点M，的延长线分别交，的延长线于点F，H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，连接，过点G作，分别交，于点K，N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段的长度是的长度的2倍． 35．探究与应用： (1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； (2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； (3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 36．如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且． (1)求证：； (2)如图，若点为边上一点，且，的周长为，求四边形的面积； (3)如图，在（2）的条件下，与交于点，连接且，，求的长． 1 / 4 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