专题：万有引力与航天中的追及相遇问题 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版必修第二册

万有引力与航天中的追及相遇问题 1. 模型解读： 两卫星绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题。 2. 模型分类： （1）从相距最近到相距最近 1 ．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足角速度关系：(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。周期关系：同向－＝ n，(n＝1,2,3，…) ②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足角速度关系：(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。周期关系：反向+＝ n，(n＝1,2,3，…) （2）从相距最近到相距最远 1 ．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足角速度关系:(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。周期关系：同向－＝，(n＝1,2,3，…) 2 ．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足角速度关系(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。周期关系：反向+＝，(n＝1,2,3，…)。 一、单选题 1．2026年，人类又可观察到“木星冲日”的天象奇观，所谓“木星冲日”，就是当木星、地球、太阳在一条直线上且木星、地球位于太阳的同侧时，在地球上观察到的木星非常明亮，即发生“木星冲日”现象。已知木星绕太阳的公转周期为12年，可以认为木星、地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．木星与地球公转线速度大小之比为1:12 B．木星与地球公转线速度大小之比为 C．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为年 D．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为年 2．如图所示，两颗卫星M、N都在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，卫星M的轨道半径为2R，卫星N的轨道半径为8R，两卫星M、N两次相距最近的最短时间间隔为t。下列说法正确的是（　　） A．卫星M和卫星N的线速度大小之比为 B．卫星M和卫星N的向心加速度大小之比为 C．卫星M的周期为 D．卫星N的周期为7t 3．图甲所示的“轨道康复者”航天器可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命。图乙是“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动的示意图，此时二者的连线通过地心、轨道半径之比为1∶4。若不考虑卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是（　　） A．在图示轨道上，“轨道康复者”的速度大于7.9 km/s B．某时刻有一个部件从航天器上分离，航天器的周期不变 C．在图示轨道上，“轨道康复者”的加速度大小是地球同步卫星的4倍 D．在图示轨道上，“轨道康复者”的周期为3h，再过3h两卫星连线再次过地心 4．2025年1月16日，火星、地球、太阳三个天体正好依次排成一条直线，如图所示，这一现象被称为火星冲日。已知火星、地球绕太阳公转的轨道半径分别为、，设火星、地球绕太阳均做匀速圆周运动，运动方向如图所示，忽略星球自转，只考虑太阳对行星的引力，则下列说法正确的是（　　） A．地球公转线速度小于火星公转线速度 B．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 C．地球与火星绕太阳运动的周期之比为 D．在一年内可能会发生两次火星冲日现象 5．“木星合日”是指当木星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线的天文现象。把地球与木星绕太阳的运动看作匀速圆周运动且二者绕行方向相同，已知木星公转的周期为，地球公转的周期为，下列说法正确的是（　　） A．木星公转的周期小于地球公转的周期 B．木星的公转速度小于地球的公转速度 C．在单位时间内木星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积 D．相邻两次木星合日的时间间隔为 6．如图所示，A、B为地球的两颗卫星，卫星A在地面附近沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，周期约为1.5h，卫星B绕地球做圆周运动的半径为2R（R为地球的半径），图示时刻两卫星分别与地心O点连线间的夹角为，。下列说法正确的是（　　） A．卫星A的向心加速度为卫星B向心加速度的2倍 B．卫星B的周期约为4.2h C．若卫星B沿顺时针方向运动，则至少经过约两颗卫星相距最远 D．若卫星B沿逆时针方向运动，则至少经过约两颗卫星相距最远 7．长征七号改运载火箭由中国航天科技集团一院抓总研制，是我国新一代中型高轨液体运载火箭，具备一箭一星和一箭双星发射能力；如图长征七号改运载火箭发射的A、B为同一平面内绕顺时针方向运行的两颗卫星。某时刻两卫星的连线与A卫星的轨道相切，已知A、B卫星的运行周期分别为TA、TB，A、B卫星的运行半径分别为r、2r，则（ ） A．卫星A的机械能比B小 B．卫星A的角速度是B的两倍 C．卫星A的向心力比B大 D．经时间两卫星距离最近 8．神舟二十号载人飞船原定于2025年11月5日返回，由于疑似遭碎片撞击，推迟其返回计划。现有碎片A、飞船B绕地球在同一面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，半径，转动周期分别为、。如图，某时刻碎片A、飞船B与地心连线的夹角为，经过一段时间，飞船B与碎片A第一次相距最近，则这段时间内，飞船B转过的圆心角为（　　） A． B． C． D． 9．我国的北斗系统可提供全球导航服务，在轨工作卫星共33颗，包含5颗地球静止同步轨道卫星，7颗倾斜地球同步轨道卫星和21颗中圆地球轨道卫星。如图所示为北斗系统中的两颗卫星，分别是中圆地球轨道卫星A和地球静止同步轨道卫星B，卫星A环绕方向为顺时针，卫星B环绕方向为逆时针。已知地球自转周期为，地球的半径为，卫星A和卫星B到地球表面的距离分别为、，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为120°，下列说法正确的是（　　） A．卫星B的动能一定小于卫星A的动能 B．地球的质量 C．卫星A围绕地球做圆周运动的周期 D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最远 10．2019年9月12日，我国在太原卫星发射中心“一箭三星”发射成功。 现假设三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta =6h、Tb =24h、Tc=12h，下列说法正确的是（　　） A．a、b每经过6h相遇一次 B．a、b每经过8h相遇一次 C．b、c每经过10h相遇一次 D．b、c每经过6h相遇一次 11．如图所示，卫星A、B均绕地心在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻卫星B与地心连线和卫星A与地心连线的夹角为60°。已知卫星A为地球静止轨道卫星，卫星B的周期约为2h。则从该时刻至两卫星第一次相距最远所需的时间约为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 12．三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球的自转周期为，B的运行周期为，则下列说法正确的是（　　） A．C加速可追上同一轨道上的A B．经过时间，A、B相距最远 C．A、C的向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度 D．在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积 13．北京时间2025年11月25日，在我国酒泉卫星发射中心用长征二号遥22火箭发射神舟二十二号飞船并准确送入预定轨道，神舟二十二号飞船采取3.5小时自主快速交会对接方案，与空间站完美对接，对接后，组合体环绕地球做匀速圆周运动，运行周期约为。假设某时刻组合体、该轨道平面内的地球同步卫星与地心的连线在同一直线上且运行方向相同，此时组合体与地球同步卫星的间距最小，下列说法正确的是（　　） A．对接后，组合体的运行速度大于地球同步卫星的速度 B．组合体与地球同步卫星的线速度大小之比约为 C．组合体与地球同步卫星的向心加速度之比约为 D．再经过大约，组合体与地球同步卫星第一次相距最远 14．北斗卫星导航系统是由24颗地球中圆轨道（MEO）卫星、3颗地球静止轨道（GEO）卫星和3颗倾斜地球同步轨道（IGSO）卫星共30颗卫星组成。已知地球半径为，地球表面赤道处重力加速度为，两种地球同步卫星到地心的距离均为，地球中圆轨道卫星周期为同步卫星周期的一半，如图所示。有关地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星与地球中圆轨道卫星，下列说法正确的是（　　） A．地球静止轨道卫星A和倾斜同步轨道卫星B均相对赤道表面静止 B．倾斜地球同步轨道卫星B的动能大于地球静止轨道卫星A的动能 C．地球表面赤道处重力加速度大小 D．某时刻B、C两卫星相距最近，则再经时间两卫星间距离为 三、解答题 15．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 (1)求卫星B环绕地球运动的周期； (2)求在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 16．将地球视为半径为的圆球，绕地球做匀速圆周运动的某卫星的轨道平面与地球赤道共面，该卫星的轨道半径为，其绕行方向未知，可能与地球自转方向相同或相反。已知地球质量为，引力常量为，地球自转周期为.求： (1)该卫星绕地球运行的周期； (2)若，如图所示，若某时刻该卫星位于点，恰好能拍摄到地球赤道上的、两边界点。 a.若卫星的绕行方向与地球自转方向相同。求该卫星能再次拍摄到点所经过的最短时间。 b.若卫星的绕行方向与地球自转方向相反。求该卫星再次同时拍摄到、点所经过的最短时间。 试卷第8页，共8页 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B B D A B B 题号 11 12 13 14 答案 A BCD ACD CD 1．C 【详解】AB．根据万有引力提供向心力有， 所以， 由于木星绕太阳的公转周期为12年，地球绕太阳的公转周期为1年，所以木星与地球公转线速度大小之比为，故AB错误； CD．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为t，则 解得，故C正确，D错误。 故选C。 2．D 【详解】A．根据万有引力提供向心力 解得 则卫星M、N的向心加速度之比为 故A错误； B．根据万有引力提供向心力 解得 卫星M和卫星N的向心加速度大小之比 故B错误； CD．根据开普勒第三定律 两卫星两次相距最近经过的时间为t，则 解得， 故C错误，D正确。 故选D。 3．B 【详解】A．7.9 km/s是第一宇宙速度，从地面发射卫星的速度不小于第一宇宙速度，卫星绕地球做圆周运动的速度不大于第一宇宙速度，故A错误； B．部件从航天器上分离，航天器的轨道半径不变，由开普勒第三定律可知航天器的周期不变，故B正确； C．万有引力提供向心力，有 得加速度 因两者的轨道半径之比为，所以加速度比为，故C错误； D．根据开普勒第三定律 由题意， 解得 在题图中状态之后，当“轨道康复者”转过的弧度与地球同步卫星转过的弧度差为时，两卫星连线再次过地心。经3h，地球同步卫星转过的弧度为 “轨道康复者”转过的弧度为 弧度差为 因此再过3h两卫星连线不会过地心，故D错误。 故选B。 4．C 【详解】A．根据万有引力定律 可得 故地球公转线速度大于火星公转线速度，A错误； B．星球表面的重力加速度 火星和地球的质量关系，火星和地球的半径关系未知，无法得出表面的重力加速度的大小关系，B错误； C．根据开普勒第三定律可得 可知地球与火星绕太阳运动的周期之比为，C正确； D．地球与火星相邻两次相距最近的时间间隔t满足 解得年>1年，D错误。 故选C。 5．B 【详解】A．根据 解得 由于木星的轨道半径大于地球的轨道半径，则木星公转的周期大于地球公转的周期，故A错误； B．根据 解得 由于木星的轨道半径大于地球的轨道半径，则木星的公转速度小于地球的公转速度，故B正确； C．行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，则单位时间内行星与太阳连线扫过的面积 结合上述有 解得 由于木星的轨道半径大于地球的轨道半径，则在单位时间内木星与太阳连线扫过的面积大于地球与太阳连线扫过的面积，故C错误； D．令相邻两次木星合日的时间间隔为，则有 解得，故D错误。 故选B。 6．B 【详解】A．由万有引力提供向心力有 可得 所以，故A错误； B．由开普勒第三定律有 代入题中数据，解得，故B正确； C．若卫星B沿顺时针方向运动，设约经过时间两颗卫星相距最远，由题意有 联立解得，故C错误； D．若卫星B沿逆时针方向运动，设约经过时间两颗卫星相距最远，由题意有 解得，故D错误。 故选B。 7．D 【详解】A．因两卫星的质量关系不确定，不能比较机械能的关系，A错误； B．根据万有引力提供向心力有 可得，可得卫星A的角速度是B的倍，B错误； C．因两卫星的质量关系未知，所以无法比较卫星A的向心力与卫星B的向心力的大小，故C错误； D．设图示时刻两卫星与地球球心的连线夹角为θ，则 得 设由图示时刻经时间t两卫星相距最近，则满足 可得，D正确。 故选D。 8．A 【详解】A、B均为逆时针旋转，设二者第一次相距最近需要的时间为，B转过的圆心角为，则， 联立可得 解得 故选A。 9．B 【详解】A．因两卫星的质量大小关系未知，则不能确定二者动能的大小关系，故A错误； B．对于地球静止同步轨道卫星B，有 解得地球的质量，故B正确； C．对两卫星，由开普勒第三定律，有 解得，故C错误； D．从图示时刻开始，到两卫星第一次相距最远，且由 有 解得时间，故D错误。 故选B。 10．B 【详解】AB．根据题意得， ， 解得 ，A错误，B正确； CD．根据题意得， ， 解得，CD错误。 故选B。 11．A 【详解】因A的周期为TA=24h ，B的周期为TB=2h，从该时刻至两卫星第一次相距最远时则 解得 故选A。 12．BCD 【详解】A．卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A，故A错误； B．卫星A、B由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为π，所以可得 其中， 则经历的时间，故B正确； C．根据万有引力提供向心力，可得向心加速度 可知AC的向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，故C正确； D．绕地球运动的卫星与地心的连线在相同时间t内扫过的面积 由万有引力提供向心力，可知 解得 可知，在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积，故D正确。 故选BCD。 13．ACD 【详解】AB．由万有引力提供向心力可得 解得 可得 可得 由万有引力提供向心力可得 解得 可得，A正确，B错误； C．由牛顿第二定律可得 解得 可得，C正确； D．组合体的周期 地球同步卫星的周期 设组合体经过时间与地球同步卫星第一次相距最远，则有 解得，D正确。 故选ACD。 14．CD 【详解】A．地球静止轨道卫星相对于赤道表面静止，倾斜同步轨道卫星只是周期等于地球自转周期，并不相对于赤道表面静止，故A错误； B．由于不知道卫星、的质量，所以无法比较两者动能，故B错误； C．卫星受到的万有引力完全提供向心力 对任意地表赤道处物体受力分析有 则，故C正确； D．某时刻、两卫星相距最近，则再经时间，卫星运动半周，卫星运动一周，此时两卫星相距最远，距离为两者轨道半径之和。 对于、卫星，由开普勒第三定律得 则，故D正确。 故选CD。 15．(1) (2)3次 【详解】（1）根据万有引力作为向心力可得，对卫星A有 对卫星B有 又 联立解得 （2）设从0时刻开始经时间两卫星第n次相距最近，则有 解得 又 联立解得 可知n取最大整数3，即在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为3次。 16．(1) (2)a.；b. 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 所以 （2）a.根据题意可得 联立解得 b.根据题意可得， 联立解得 $