辽宁锦州市实验学校2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

数学 (本试卷共23小题满分120分考试时长：120分钟) 注意事项：请将答案写在第14页的答题区处，所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，.每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的) 1.截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源 数字化中心和平台.将1.64亿用科学记数法表示应为 A.16.4×107 B.0.164×109 C.1.64×108 D.1.64×109 2.如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为 上面 A B C D. 3在一些古代数学著作中，我们常常看到“圆材藏壁”，“勾股容圆”、、“方形圆径”、“圆中 方形”这样的词汇，下列图形是这些词汇对应的模型图，其中既不是轴对称图形也不是中心 对称图形的是 () A B D 4.下列各式运算正确的是 A.5a2-3a2=2 B.a2.a=a C.(a10)2=a20 D.x (a-b+l)=ax-bx 5.3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和 “巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小亮和小强每人随机选择参加其中一个活动，则他们恰 好选到同一个活动的概率是 () A D. 2-3 九年级数学学科第1页共8页 6.明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：隔着墙听到有人在分 银子，不知道有多少人，有多少两银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两， 则还差八两.设共有x人，银子y两，则所列方程组正确的是 () -yA B. 7x-y=4 y-7x=4 y-7x=4 A. C. 9x-y=8 y-9x=8 y-9x=8 9x-y=8 7.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线 相交于点P,点F为焦点.若∠2=35°，∠1=155°，则∠3的度数为 () A.45 B.50 C.55° D.60° D> 7题图 8题图 9题图 8.已知：△4BC中，AD是中线，点E在AD上，且CB=CD,∠BAD=∠ACE,则4C的值 CD 为 () A.② B.√2 c.3-5 D.5-l 2 2 2 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E,过点E作EF LBC于点F, 4C=10,∠CMB=90°，按以下步骤作图：分别以点A,F为圆心，大于AF的长为半径作 弧，两弧交于点P,Q,作直线PQ,若点B,E在直线P2上，且AE:EC=2:3,则BC的 长为 () A.4W5 B.65 C.15 D.16 10.从如图所示的二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象中，观察得出了下面4条信息： ①abc<0;②a-b+c>0:③2a+3b=0:④c-4b>0.你认为其中正确的信息有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10题图 九年级数学学科 第2页共8页 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11.如果代数式 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 2x-3 12.不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试 验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4附近，估计口袋中白球大约有 个 13.如图，一次函数y=2x+2的图象与坐标轴分别交于点B,C,反比例函数y=上的图象经过 点A,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,则k的值为 B 13题图 14题图 15题图 14.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=8,AD=10,点E为BC一点，连接DE, F为DE的中点，若OF=3,则CF的长为 15.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,若点D、E分别是AB、BC边上的两个动点， 连接AB、DB,且cos∠ABD=3,则AD的最小值为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(本小题10分) 1)计算：反-4s如60+巾-回+( ；(2)化简： 2m-4m2+2m+1m+2 m2-1 m-2 m-1 17.(本小题8分) 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛.现从七年级学生中随机抽取部分 学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用x表示，分为四个等 级：D:0≤x<60,C:60≤x<80,B:80≤x<90,A:90≤x≤100)，部分信息如下： 信息一： 学生成绩条形统计图 学牛成绩扇形统计图 人数 20 20 A 16 12 40% 12 8 B C 4 3 0 D C B A 等级 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： 80,80,81,82,83,84,85,86,87,88,88,89 请根据上述信息解决下列问题： (1)求所抽取学生成绩为C等级的人数： (2)求所抽取的学生成绩的中位数： (3)若全校七年级有800名学生，请估计成绩在80≤x≤100范围内的学生人数. 18.(本小题8分) 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A, B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000 元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同. (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共50台，购买B型机器人模型不超过A型 机器人模型的4倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型 机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 19.(本小题8分) 如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业.如 图是处于工作状态的机械臂示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂， OA=1m,AB=5m,∠ABC=143°，A、C两点之间的距离为3√5m,OD=2W5m. (1)求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离： (2)求机械臂BC的长， (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 77777777777777 D 工作台0 20.(本小题8分) 一次足球训练中，足球运动员小亮从球门正前方12m的O处射门，足球的飞行路线是一条 抛物线.当足球飞行的水平距离为8m时，足球达到最高点，此时球离地面4m.已知球门 高AB为2.44m,以0为原点建立如图所示平面直角坐标系 (1)求该抛物线的关系式： (2)通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其它因素）： (3)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时小亮应该带 球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方2.31m处？ ty(m) B x(m) 21.(本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D,BC与⊙O交于E, 过点C作CF∥AB,且CF=CD,连接BF. (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)若co5∠B4C=三，AD=6,求图中阴影都分的面积. 2 B 0 E A D 22.(本小题12分) 综合与实践 问题情境：数学活动课上，李老师出示了一个问题： 如图1，在△ABC中，D是AB上.一点，∠ADC=∠ACB.求证∠ACD=∠ABC. 独立思考：（1)请解答李老师提出的问题. 实践探究：(2)在原有问题条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题， 请你解答， “如图2，延长CA至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,H分别 在BF、BC上，BG=CD,∠BGH=∠BCF:在图中找出与EF相等的线段，并证明.” 问题解决：(3)数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90° 时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组 提出下面的问题，请你解答， “如图3，在(2)的条件下，若∠BAC=90°，AB=6,AC=3,求BH的长.” E F A G A D D B B H C (图1) (图2) E Q分 A B H (图3) 23.(本小题13分) 如图，已知抛物线y=-x2+px+q与x轴交于点A(-1,0)入、B(3,0)与y轴交于点C. (1)抛物线的解析式为 (2)点D的坐标为(1,0)，点P为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形 BDCP的面积为S,若S与1之间的函数关系式为S=at2+b+c,求a、b、c的值： (3)在(2)条件下，函数S=a2+b1+c(1≥0)的图象记为G1,函数S=-a2+bt-c(t<0) 的图象记为G2,图象G、G2合起来得到的图象记为G. ①当~6≤≤3时，求图象G所表示的函数的最大值； ②已知线段MN的两个端点坐标分别为M(m,n)、(m+1,n).若-3≤m≤3.当图 象G能够与线段MN有两个公共点时，直接写出n的取值范围. P C 多 A B 数学学科评分标准 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分） 1.C2.D3.B4.C5.A6.D7.D8.B9.B10.C 二.填空题（每小题3分，共15分） 11.x>2 3 12.1813.-6 14.25 15.6.4 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程，） 16.(每小题5分，共10分) 厄-4s60+l-+( -25-49a1-2 5分 =√5-3 （(2)2m-4,m2+2m+1-nt2 m2-1 m-2m-1 2(m-2） .(m+1)2 m+2 (m+1)(m1)m-2m-1 2分 =2(m+1)m+2 3分 m-1m-1 _2m+2-(m+2) 4分 m-1 =m 5分 m-1 17.(本小题8分) 解：(1)总人数为：20÷40%=50（人），50-3-12-20=15（人)： 答：所抽取学生成绩为C等级的人数为15人 3分 (2)将这组50个数据按从小到大排序，第25个数据为85，第26个数据为86， :中位数为85+86=85.5， 2 5分 答：被抽取的学生成绩的中位数为85.5分： 6分 (3)80x12+20=512(人). 50 答：估计成绩在80≤x≤100范围内的学生人数约512人. 8分 18.(本小题8分) 解：解：(1)设B型机器人模型单价为x元，根据题意得： 40002400 x+200 X 解得x=300, 2分 经检验，x=300是所列分式方程的解， 300+200=500(元). 3分 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元. 4分 九年级数学试卷评分标准 第1页共6页 (2)设购买A型机器人m台，根据题意得50-m≤4m, 解得m≥10. 5分 设共花费w元，则w=0.8×500m+0.8×300(50-m)=160m+12000, 6分 ,160>0,可知w随m的减小而减小， ,m≥10， .当m=10时，w值最小. w小=160×10+12000=13600,50-10=40（台）. 7分 答：购买A型机器人10台、B型机器人40台时花费最少，最少花费是13600元8分 19.(本小题8分) 解：(1)连接AC,过点A作AM⊥CD,垂足为M, ,CD⊥OD,AO⊥DO,.∠AMD=∠MDO=∠AOD=90° C B ∴.四边形AMDO是矩形， ∴AM=D0=2√5m,DM=AO=1m. 在Rt△ACM中，∠AMC=90°AC=3√5， ∴.CM=V(3W5)2-(2W5)2=5(m) D 工作台0 CD=CM+MD=6 (m). 答：点C到工作台的距离为6m. 4分 (2)连接AC,过点A作BC的垂线，垂足为N, ,∠ABC=143°，.∠ABN=37°. R△ABN中，sin /ABN=-AN AB N 即AN=ABsin37°≈5X0.60=3(m) 在R△ABN中，∴BN=V52-32=4(m). c777774777 D 在Rt△ACN中，CN=√(3W5)2-32=6(m): 工作台O ∴.BC=CN-BW=6-4=2(m).答：机械臂BC的长为2m. 8分 20.解：（1)由题意得，当球飞行的水平距离为8m时，球达到最高点，离地面4m, ∴抛物线的顶点坐标为（8,4)， 故设抛物线关系式为y=a(x-8)2+4, 将(0,0)代入得y=a(x-8)2+4, a名耀物线关系式为y=启C一8+4： 3分 e把=2代入y=-+4得y方×16+43>24 .球不能射进球门： 5分 （2)设他应该向后移动m米。则移动后的解折式为y=店（红一8n)2+4