第七章复数单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章复数单元测试（试题版） （人教A版必修二第七章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 3．已知为纯虚数，则（   ） A． B．1 C． D．2 4．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 6．设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 7．若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 8．已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．z的虚部为 B．z的共轭复数为 C． D． 10．（多选）下列命题中，真命题是（   ） A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 11．已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数，则点D对应的复数可以是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则方程的解为______． 13．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 14．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 16．已知复数等于，其中、．求x、y的值． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知为复数，为实数，，且，求． 19．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章复数单元测试（详解版） （人教A版必修二第七章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】先将此式根据完全平方展开，再根据复数的相关概念可得. 【详解】由题意可知， 再根据复数相关概念可知，虚部为. 2．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】根据相等条件求参数、复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的四则运算结合题目条件即可求出实数的值. 【详解】， 所以，解得． 故选：D 3．已知为纯虚数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、复数的分类及辨析 【分析】先进行复数分母实数化的除法运算，再结合纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0即可求解. 【详解】， 因为是纯虚数，所以且，解得． 4．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】根据复数的乘方结合复数的除法计算求解. 【详解】. 则复数对应的点为，位于第二象限. 5．在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】由题意得为相反向量，进而得到，再求解判断各选项即可. 【详解】由题意，为相反向量， 而，则，即，则， 所以，故A错误； 而，则，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误. 故选：C 6．设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 7．若是方程的复数根，则复数在复平面上对应的点应位于（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第四象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】C 【知识点】复数的乘方、复数的相等、判断复数对应的点所在的象限、复数范围内方程的根 【分析】设，利用复数乘法及复数为0的我相信求出a，b的值，再利用复数的几何意义即得答案. 【详解】设，则， 整理得，即， 所以，则或， 又时，判别式， 所以此方程无实数根，故舍去， 所以或， 则，在复平面上对应的点为，位于第二象限或第三象限. 8．已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．z的虚部为 B．z的共轭复数为 C． D． 【答案】AC 【知识点】求复数的模、求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项. 【详解】由， 故z的虚部为，，， ，A、C对，B、D错. 10．（多选）下列命题中，真命题是（   ） A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 【答案】ABC 【知识点】复数的基本概念、判断命题的真假、求复数的模、充要条件的证明 【分析】对于A选项根据复数的模的计算公式即可；对于B选项利用复数相等条件即可；对于C选项根据复数的模举反例即可；对于D选项不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小推断即可. 【详解】对于选项A：任意复数（）的模总成立．故A正确； 对于选项B：由复数相等的条件，故B正确； 对于选项C：若，， 若，则有，，所以．反之由，推不出， 反例：如，时，故C正确； 对于选项D：取，满足，但不能比较大小，故D错误. 故选：ABC 11．已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数，则点D对应的复数可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的向量表示 【分析】由复数的几何意义分类讨论即可求解. 【详解】分三种情况： ①当时，， 所以； ②当时，， 所以； ③当时，， 所以， 所以点D对应的复数为或或. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则方程的解为______． 【答案】 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根、求复数的模 【分析】设复数，代入，结合复数模的运算及复数相等的条件列出方程求解即可. 【详解】设复数，则有， 由复数相等的条件得，，所以 故原方程的解为． 故答案为： 13．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 14．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数的坐标表示、实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 16．已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【知识点】根据相等条件求参数、复数的相等 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)-1 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的运算的定义及运算性质即可求解. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）因为， 所以原式 18．已知为复数，为实数，，且，求． 【答案】或． 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，代入计算根据复数类型及模长公式计算求解即可. 【详解】设， ， ，． ， ，，， ， 当时，，当时，． 19．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $