第13讲 复数的几何意义（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

第13讲 复数的几何意义 知识清单 知识点01：复数的几何意义 知识点02：复数加减法的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的坐标表示 题型2：在各象限内点对应复数的特征 题型3：判断复数对应的点所在的象限 题型4：根据复数对应坐标的特点求参数 题型5：求复数的模 题型6：由复数模求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 知识点02 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 题型1：复数的坐标表示 【例1-1】（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积. 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 【例1-2】已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________． 【答案】 【分析】先利用向量运算求出对应的复数，然后求解模长可得答案. 【详解】 ∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， 故答案为： 【例1-3】设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 【答案】5 【分析】根据复数的几何意义确定的坐标，即可判断三角形形状，从而可求得答案. 【详解】由题意知， 故, ， 则，即为直角三角形， 故的面积为. 【变式1-1】在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出取临界值时点的坐标、，即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为， 如图：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为， 向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积， 因为，所以扇形的面积为等于. 故选：B.    【变式1-2】复平面上，点对应的复数______． 【答案】 【分析】根据复数的坐标表示写出答案. 【详解】由复数的几何意义知 故答案为： 【变式1-3】设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【答案】(1)向量对应的复数为，向量所对应的复数为. (2)向量对应的复数为向量所对应的复数为. 【分析】根据复数的几何意义及向量的运算法则即可求解 . 【详解】（1）因为 所以, 所以, 对应复数为 ; , 对应复数为 . （2）因为 所以， 所以, 对应复数为 ， , 对应复数为 . 题型2：在各象限内点对应复数的特征 【例2-1】（24-25高一下·上海·期末）设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】化简复数，再根据复数在复平面上对应的点位于第四象限，即可得出结论. 【详解】由题意， ∵， ∵复数在复平面上对应的点位于第四象限， ∴，解得， 故选：A. 【例2-2】在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是___________. 【答案】 【分析】先求出,,再求出. 【详解】因为复数对应的点为A，对应的点为B， 所以,. 所以. 故答案为： 【例2-3】设，若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据复平面各象限的复数的特征，得，解不等式组得概念即可求出结果. 【详解】因为复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以，解得， 故答案为：. 【变式2-1】在复平面内，表示复数的点关于实轴对称的点对应的复数为__________，关于虚轴对称的点对应的复数为__________，关于原点对称的点对应的复数为__________． 【答案】 【分析】先写出复数在复平面内所对应的点坐标，再分别求出这个点关于实轴、虚轴、原点对称点的坐标，最后依次写出它们所对复数即得解. 【详解】在复平面内，复数所对应点坐标为，则这个点关于实轴对称的点为，所对复数为； 点关于虚轴对称的点为，所对复数为； 点关于原点对称的点为，所对复数为. 故答案为：；； 【变式2-2】若复数，，则下列结论：①z对应的点在第一象限；②z一定不为纯虚数；③对应的点在实轴的下方；④z一定为实数，其中错误的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据所给复数，结合实部、虚部的范围，逐一分析①②③④，即可得答案. 【详解】对于①：，因为， 所以的值可正，可负，可为0，所以无法确定z对应的点在第几象限，故错①误； 对于②：令，解得或， 所以当或时，实部，虚部，此时为纯虚数，故②错误； 对于③：，因为， 所以虚部恒成立，所以对应的点在实轴的下方，故③正确； 对于④：因为恒成立，所以复数一定为虚数，故④错误. 所以错误的是：①②④. 故答案为：①②④ 【变式2-3】已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可． （2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 题型3：判断复数对应的点所在的象限 【例3-1】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 【例3-2】已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 【答案】二 【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故答案为：二. 【例3-3】已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；（2）利用复数的几何意义，根据对应的点位于实轴负半轴进行求解即可. 【详解】（1）根据纯虚数的定义，，解得； （2）利用复数的几何意义，复数坐标为，根据对应的点位于实轴负半轴，，解得，则 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期中）复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算先求复数，由复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限， 故选：C. 【变式3-2】复数在复平面内对应的点位于第______象限. 【答案】三 【分析】由复数的乘法运算和复数的几何意义求出即可. 【详解】， 所以对应复平面内的点为，位于第三象限， 故答案为：三. 【变式3-3】当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 【答案】(1)，此时对应的点在实轴的正半轴上 (2)，此时对应的点在实轴的负半轴上 (3)，此时对应的点在第二象限 (4)，此时对应的点在虚轴的负半轴上 【分析】根据复数的分类、几何意义求出实部、虚部满足的条件可得答案. 【详解】（1）设， 若是正实数，则， 此时对应的点在实轴的正半轴上； （2）设， 若是负实数，则， 此时对应的点在实轴的负半轴上； （3）设， 若是实部小于零、虚部大于零的虚数， 则，此时对应的点在第二象限； （4）设， 若是虚部小于零的纯虚数， 则，此时对应的点在虚轴的负半轴上. 题型4：根据复数对应坐标的特点求参数 【例4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）若复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为， 依题意，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 【例4-2】若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据复数的代数形式及对应点在第四象限有，即可得m的范围. 【详解】由题设，，可得. 故答案为：. 【例4-3】设复数与在复平面所对应的点为与，试指出、与以原点为圆心、10为半径的圆C的位置关系． 【答案】在圆C上，在圆C内. 【分析】结合复数的几何意义，计算出，即可判断出结论. 【详解】由题意知复数与在复平面所对应的点为与， 则， 故，， 故在圆C上，在圆C内. 【变式4-1】若复数在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义即可得解. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点在第四象限内， 所以，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 【变式4-2】复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】在复平面上，根据复数所在的象限可知，即可求的范围. 【详解】由题设知：，即，解得或， ∴. 故答案为： 【变式4-3】求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）由求m，代入验证，即可得结果； （3）由求出m的范围即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得或. （2）由题设，，可得或， 当时，对应点在虚轴上； 当时，对应点在虚轴上； 综上，或. （3）由题设，可得. 题型5：求复数的模 【例5-1】（24-25高一下·上海·期中）设、，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可 【详解】若，则，故充分性成立； 设1，，符合，但不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【例5-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 因为， 所以的最小距离为，最大距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【例5-3】（24-25高一下·上海·期末）已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 【答案】 【分析】设，根据共轭复数的概念及复数乘法得，再求复数的模长，确定其最小值. 【详解】设，则，解得， ， 当，即时，的最小值为. 【变式5-1】（24-25高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 【答案】C 【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D 【详解】对于A，当时，，但，故A错误， 对于B，设，显然，，故B错误， 对于C，设， 所以， 所以 ， 又 所以，故C正确 对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误， 故选：C 【变式5-2】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知复数（是虚数单位），则的值为_____. 【答案】 【分析】利用复数除法求出，进而求出模. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，再分及代入计算即可得解； （2）设，再分及验证是否恒成立即可得. 【详解】（1）设， 若，则， 故， 即，，即； 若，则， 故， 即，，即； 综上所述，或； （2）设， 若，则，， 则， ，故； 若，则，， ， ，故； 故恒成立，即得证. 题型6：由复数模求参数 【例6-1】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 【答案】或 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 【例6-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 【例6-3】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （2）讨论两根是实数、虚数两种情况，当两根为虚数时，设，则，再根据韦达定理结合复数的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，解得； （2）当都是实数时，则， 故， 又因为， 所以，解得或， 经检验，当时，不符题意，所以； 当都是虚数时，设，则， 则， 所以，所以， 又，则，解得， 经检验，不符合题意，所以. 综上所述，或. 【变式6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式. 【详解】则解得 故答案为： 【变式6-2】（2024高一下·全国·专题练习）若复数满足，且是纯虚数，则复数________________. 【答案】或 【分析】设，然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数. 【详解】设复数，则， 因为复数满足，且是纯虚数， 所以，解得，或， 所以复数或， 故答案为：或 【变式6-3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【详解】（1）由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. （2）依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·月考）计算：______． 【答案】 【分析】利用复数的运算化简所求复数，结合复数的模长公式可求得结果. 【详解】，故. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海金山·月考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则__________. 【答案】5 【分析】根据给定条件，求出复数及，再利用复数乘法运算求解. 【详解】由复数对应的点的坐标是，得， 所以. 故答案为：5 3．若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为________ 【答案】 【分析】先利用复数的几何意义求得，从而得到，然后运用复数四则运算法则即可解得，最后求得. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 4．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】二 【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】根据题意，， 所以在复平面内对应的点为，在第二象限． 故答案为：二 5．（24-25高一下·上海闵行·月考）若，那么__________. 【答案】5 【分析】由模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：5. 6．若复数，则实数___________． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【详解】因为， 所以，解得． 故答案为：． 7．已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______. 【答案】 【分析】结合复数的四则运算法则，分式型复数的模长等于分子分母分别求模长再相除，可得复数的模长，然后求出的模长等于共轭复数模长20，建立关于m的方程，解方程即可求解. 【详解】 解方程得， 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）若复数z与复平面内的点对应，则复数____________； （2），则向量所表示的复数____________. 【答案】 【分析】利用复数的几何意义逐空求解即可. 【详解】（1）由复数的几何意义得， （2）由复数的几何意义得，故. 故答案为：； 9．（24-25高一下·上海静安·期末）若z是虚数，且，则___________. 【答案】或 【分析】先设出复数，再利用复数的有关计算得出结果. 【详解】设且不等于零， 则， 故或（舍），所以，解得，故或， 故答案为：或 10．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高一·上海·随堂练习）下列命题： ①实数在复平面内所对应的点在实轴上；②虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ③若，则为虚数；④，则． 其中正确命题的个数是（    ）． A．4； B．3； C．2； D．1． 【答案】D 【分析】由复数的相关概念即可逐一判断各个选项求解. 【详解】对于①，实数在复平面内所对应的点在实轴上，故①正确； 对于②，虚轴上的点所对应的数不是纯虚数，故②错误； 对于③，若，则不为虚数，故③错误； 对于④取，，有，但不成立，故④错误. 其中正确命题的个数是1. 故选：D. 14．若复数满足条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数模长求解集，即可得的范围. 【详解】由题设，，则. 故选：A 15．已知复数，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设，利用复数模的运算可得，再由即可求解. 【详解】设， ，， ， 当时，有最大值. 故选：B 16．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模的定义以及三角不等式求解即可. 【详解】， 所以的最大值为. 故选：A. 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【分析】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】（1）由复数为纯虚数可得，所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数对应象限列不等式组计算即可； （2）根据复数对应的点在直线上求参. 【详解】（1）当点Z在第四象限时，解得 即.所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在第四象限. （2）当点Z在直线上时， ， 解得. 所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在直线上. 19．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知复数且是关于x的方程的两根. (1)若该方程既没有不同的两个实数根，又没有不同的两个虚数根，判断方程根的情况并求：p，q满足的关系式； (2)若复数满足，若，求：a的取值集合. 【答案】(1)方程有两个相同的实数根，满足：△ (2) 【分析】（1）由题意得方程有两个相等的实数根，判别式为0； （2）首先求得，进一步得，然后即可列方程求解. 【详解】（1）若该方程既没有不同的两个实数根，又没有不同的两个虚数根， 则方程有两个相等的实数根，从而，即； （2）由题意，即， 所以， ， 即，解得， 故所求为. 20．当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 21．（24-25高一下·上海·期末）已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 【详解】（1）已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，，. 所以 （2）i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 复数的几何意义 知识清单 知识点01：复数的几何意义 知识点02：复数加减法的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的坐标表示 题型2：在各象限内点对应复数的特征 题型3：判断复数对应的点所在的象限 题型4：根据复数对应坐标的特点求参数 题型5：求复数的模 题型6：由复数模求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 知识点02 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 题型1：复数的坐标表示 【例1-1】（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________． 【例1-3】设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 【变式1-1】在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】复平面上，点对应的复数______． 【变式1-3】设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 题型2：在各象限内点对应复数的特征 【例2-1】（24-25高一下·上海·期末）设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2-2】在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是___________. 【例2-3】设，若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则的取值范围是_________. 【变式2-1】在复平面内，表示复数的点关于实轴对称的点对应的复数为__________，关于虚轴对称的点对应的复数为__________，关于原点对称的点对应的复数为__________． 【变式2-2】若复数，，则下列结论：①z对应的点在第一象限；②z一定不为纯虚数；③对应的点在实轴的下方；④z一定为实数，其中错误的是______．（填序号） 【变式2-3】已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 题型3：判断复数对应的点所在的象限 【例3-1】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例3-2】已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 【例3-3】已知是虚数单位，复数，m为实数． (1)当实数m满足什么条件时，为纯虚数 (2)若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 【变式3-1】（24-25高一下·上海·期中）复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】复数在复平面内对应的点位于第______象限. 【变式3-3】当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 题型4：根据复数对应坐标的特点求参数 【例4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）若复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是__________. 【例4-2】若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__． 【例4-3】设复数与在复平面所对应的点为与，试指出、与以原点为圆心、10为半径的圆C的位置关系． 【变式4-1】若复数在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围为______． 【变式4-2】复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是___________. 【变式4-3】求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 题型5：求复数的模 【例5-1】（24-25高一下·上海·期中）设、，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例5-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则的取值范围是_________． 【例5-3】（24-25高一下·上海·期末）已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 【变式5-1】（24-25高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 【变式5-2】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知复数（是虚数单位），则的值为_____. 【变式5-3】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 题型6：由复数模求参数 【例6-1】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 【例6-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为_____________． 【例6-3】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是_____________. 【变式6-2】（2024高一下·全国·专题练习）若复数满足，且是纯虚数，则复数________________. 【变式6-3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·月考）计算：______． 2．（24-25高一下·上海金山·月考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则__________. 3．若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为________ 4．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限． 5．（24-25高一下·上海闵行·月考）若，那么__________. 6．若复数，则实数___________． 7．已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______. 8．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）若复数z与复平面内的点对应，则复数____________； （2），则向量所表示的复数____________. 9．（24-25高一下·上海静安·期末）若z是虚数，且，则___________. 10．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 11．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 12．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 二、单选题 13．（24-25高一·上海·随堂练习）下列命题： ①实数在复平面内所对应的点在实轴上；②虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ③若，则为虚数；④，则． 其中正确命题的个数是（    ）． A．4； B．3； C．2； D．1． 14．若复数满足条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知复数，则的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 16．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 19．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知复数且是关于x的方程的两根. (1)若该方程既没有不同的两个实数根，又没有不同的两个虚数根，判断方程根的情况并求：p，q满足的关系式； (2)若复数满足，若，求：a的取值集合. 20．当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 21．（24-25高一下·上海·期末）已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $