第03讲 二项式定理（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册重难点讲义与测试

第03讲 二项式定理 知识清单 知识点01：二项式定理 题型讲解 （举三反三） 题型1：二项展开式中的特定项、项的系数 题型2：多个二项展开式中的特定项、项的系数 题型3：二项式系数的对称性与增减性 题型4：二项式系数和 题型5：展开式系数的和 题型6：与杨辉三角有关的问题 题型7：二项式定理的应用（整除问题） 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.二项式定理 1.二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 2.二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 3.二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 题型1：二项展开式中的特定项、项的系数 【例1-1】（25-26高二·北京·期中）在的展开式中，的系数等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】求出的展开式的通项公式，令求得，再代入通项公式求解对应的系数即可. 【详解】因为的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以的系数为. 【例1-2】（2026高三下·天津·专题练习）已知的展开式中常数项为，则的展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】写出展开式通项，结合题意根据二项式定理计算求解. 【详解】的展开式为， 令，得， 由题意可得，解得， 令，得，则 所以的展开式中的系数为. 【例1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）求得展开式的通项，结合题意，列出方程，即可求解； （2）由（1）中展开式的通项，令，求得，代入计算，即可求解； （3）由（1）中展开式的通项，令，求得，结合，得到为偶数，分别确定和的值，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为， 因为第6项为常数项，即当时，，解得． （2）由（1）知：展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中含的项为． （3）由（1）知：展开式的通项为，其中， 令，可得，即， 因为，所以为偶数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 所以展开式的第3项，第6项与第9项为有理项，分别为，，． 【变式1-1】（25-26高二下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 【答案】B 【分析】根据写出二项展开式，得出第9项系数的表达式. 【详解】, ． 故选：B 【变式1-2】（24-25高二下·重庆·月考）若，则的值是______. 【答案】0 【分析】首先对已知赋值，令，求得，令，求得的值，然后求得，从而求得结果． 【详解】令，则， 令，则， 又含的项为，所以， 所以. 故答案为：0. 【变式1-3】（25-26高二·上海浦东新·月考）在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）令，假设最大，由解出的取值范围，结合可得出的值，代入通项后即可得解. 【详解】（1）的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. （2）令， 假设在、、、中最大，则，即， 即，解得， 因为，则，所以展开式中系数最大的项为. 题型2：多个二项展开式中的特定项、项的系数 【例2-1】（24-25高二下·山东济宁·期中）多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（   ） A．1 B．729 C．64 D．0 【答案】D 【分析】利用二项展开式表示项系数比项系数多35求出的值，然后令，即求出各项系数之和. 【详解】根据二项式的展开式， 当时，的系数为， 当时，的系数为， 因为多项式的项系数比项系数多35， 所以，解得， 所以其各项系数之和，即当时，系数和为0， 故选：D. 【例2-2】多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（    ） A．1 B．243 C．64 D．0 【答案】D 【分析】利用二项展开式表示项系数比项系数多35求出的值，然后令，即求出各项系数之和. 【详解】根据二项式的展开式， 当时，的系数为， 当时，的系数为， 因为多项式的项系数比项系数多35， 所以，解得， 所以其各项系数之和，即当时，系数和为0， 故选：D. 【例2-3】若多项式，则______. 【答案】 【分析】赋值，即可求得. 【详解】因为 令，可得. 故答案为：. 【变式2-1】多项式展开式中的系数为（   ） A．985 B．750 C．940 D．680 【答案】A 【分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解. 【详解】多项式展开式中的系数为. 故选：A. 【变式2-2】若多项式，则（　　） A．181 B． C．179 D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理，结合二项式展开式项的系数的求法求解即可. 【详解】由， 得， 所以， 故选：D 【变式2-3】已知多项式，若，则________． 【答案】1 【分析】根据题意，求出，代入即可求解. 【详解】，代入，解得或（舍去）， 故答案为：1． 题型3：二项式系数的对称性与增减性 【例3-1】（25-26高二·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据的二项式系数最大为再计算二项系数最大项. 【详解】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和. 故选：C. 【例3-2】（25-26高三上·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 【答案】7 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 【例3-3】（2025高三·全国·专题练习）在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质可知第项即为所求，然后利用二项式展开式通项求解即可. 【详解】二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即， 也就是第项,，所以第项的系数为． 【变式3-1】（25-26高二·全国·单元测试）若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即． 故选：B. 【变式3-2】（2025高二·全国·专题练习）在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据的关系确定第5项是常数项，再根据第5项的系数最大求的取值范围. 【详解】， 由，且. 即当时，既是常数项又是系数最大的项，故， 即， 由，； 由，，. 所以：． 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二下·新疆喀什·期末）已知的展开式中共有7项. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项展开式的项数与次数的关系易得； （2）利用二项式系数的性质和二项展开式的通项公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，解得； （2）由（1）知展开式的通项为，展开式共有7项， 故二项式系数最大的项为. 题型4：二项式系数和 【例4-1】（25-26高二·陕西渭南·期末）二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式展开式的二项式系数的性质求解. 【详解】二项式的展开式中所有二项式系数和为，所以. 故选：C 【例4-2】（24-25高二下·江苏·月考）在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 【答案】6 【分析】根据二项式的各二项式系数的和为，建立关于的方程求解. 【详解】由于的展开式中，各二项式系数的和等于，解得： 【例4-3】（25-26高二·甘肃白银·期末）已知的展开式的二项式系数和为64. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)240 【分析】（1）利用二项式系数和为，可得答案； （2）利用二项展开式的通项公式可得答案. 【详解】（1）由二项式系数和为， 知，解得； （2）展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. 【变式4-1】（25-26高二·黑龙江哈尔滨·期中）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式和相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】由题意，解得，故A错误； 二项展开式的各项的二项式系数和为，故B正确； 的二项展开式共有8项，其二项式系数最大的项有两项，分别为第四项和第五项，故C错误； 对于D，二项展开式的第5项为，其系数为35，故D错误. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高三上·北京房山·期末）的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______． 【答案】 【分析】空1：利用二项式系数的性质求解即可；空2：利用二项式展开式的通项公式可求得实数的值. 【详解】二项式系数之和为； 二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式的第四项为， 又的系数为－40，所以，解得. 故答案为：①；②. 【变式4-3】（24-25高二·全国·课前预习）在二项展开式中，令，可得到什么结论？令，，可得到什么结论？ 【答案】答案见解析 【分析】对二项展开式中的分别赋值即可. 【详解】令，则， 即，， 因此，令，可得到的结论为：； 令，，则， 即， 又， 所以， ， 因此，令，，可得到的结论为：. 题型5：展开式系数的和 【例5-1】（25-26高二·北京昌平·期末）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 【答案】D 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可，令即可得，令即可得，进而可求的值. 【详解】令，即， 令，则，则. 故选：D. 【例5-2】（25-26高二·北京·期末）若，则___________；___________． 【答案】 【分析】利用赋值法求解系数以及系数和； 【详解】令，代入得， 令，代入得， 代入，代入可得. 故答案为：①；② 【例5-3】（25-26高二·江西宜春·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合数性质及计算公式化简方程求解. （2）求出二项式展开式的通项公式确定各项系数的正负，再利用赋值法求解. 【详解】（1）依题意，， 即，而，所以. （2）二项式展开式的通项公式为， 则为正数，为负数， 在中，令， 令，得， 所以. 【变式5-1】（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算. 【详解】由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二·宁夏银川·期末）已知，则______． 【答案】16 【分析】令，则，赋值即可得所求． 【详解】令，则， 令，得①， 令，得②， 可得． 故答案为：16． 【变式5-3】（25-26高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)10 (2)0 (3) 【分析】（1）由二项式系数的对称性，可知展开式的项数，即可得解； （2）分别赋值即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【详解】（1）因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共项，其中第6项是唯一中间项， 所以. （2）由， 可令，得， 再令，可得， 所以. （3）二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 题型6：与杨辉三角有关的问题 【例6-1】（25-26高二·全国·单元测试）杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第（）斜线上所有数值之和最大时，的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】根据题意可得前2024行第斜线上所有数值之和为，第斜线上所有数值之和为，结合组合数的运算性质即可求解． 【详解】当时，前2024行第斜线上所有数值之和为 ． 同理，前2024行第斜线上所有数值之和为，而， 所以前2024行第斜线与第斜线上所有数值之和最大时，， 解得． 故选：C. 【例6-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为____. 【答案】559 【分析】由题意可得第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，…，即求的和，计算即可得答案. 【详解】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，第五行的第三位数字，…， 第十五行的第三位数字是， 则所求为 . 故答案为：559 【例6-3】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数阵中数的排列规律，得到第行的从左到右第个数为，利用组合数的计算公式，即可求解； （2）由（1）中的结论，建立关于的方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，第行的从左到右第个数为（其中且） 所以第20行中从左到右的第4个数为. （2）由题意，第行的从左到右第14与第15个数的比为， 可得，可化简得，解得. 【变式6-1】（24-25高二下·河北保定·月考）如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 【答案】D 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是______． 【答案】36 【分析】根据题意，结合杨辉三角，找出规律，即可得出结果. 【详解】由图分析，第0行的数为1，第1行的数为， 第2行的数为， 第3行的数为…… 因此，第n行第m个数为，所以第9行第8个数是. 故答案为： 【变式6-3】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，···，记其前n项和为Sn，求S19的值. 【答案】274 【分析】观察数列的各项在杨辉三角中的位置，联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可． 【详解】由图知，数列的首项是，第2项是，第3项是，第4项是，…，第18项是，第19项是， ∴ ， 故答案为：274. 题型7：二项式定理的应用（整除问题） 【例7-1】（25-26高二·吉林长春·期末）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】把用二项式定理展开，进而求解即可. 【详解】由 ， 展开式中除了最后的6均能被7整除， 则被7除所得的余数为6. 故选：D 【例7-2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 【答案】6 【分析】利用二项式定理，将原式写成，再利用二项展开式的形式求解. 【详解】， 要使能被7整除，则能被7整除.又是正整数，所以的最小值为6. 【例7-3】（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：能被20整除. 【答案】证明见解析 【分析】法一：要证能被20整除，只需证明能被5整除，且能被4整除，而这只需按二项式定理展开和；法二：由，联想到等比数列的前项和公式，，当，或时，便可将与表示成若干个正整数的和，由此证明本题结论． 【详解】法一： ． 因为对任意正整数，，，，，，，都是正整数， 所以是20的倍数，即能被20整除. 法二：因为，， 所以，． 故， 此式是20的倍数，即能被20整除. 【变式7-1】（24-25高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 【变式7-2】（24-25高二下·上海·月考）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期______． 【答案】四 【分析】将变形为，再利用二项展开式展开，得到除以7后的余数为1，即可得解. 【详解】因为， 且能被7整除， 故除以7后的余数为1， 所以今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期四． 故答案为：四 【变式7-3】（25-26高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知. (1)若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. (2)证明：能被4整除. 【答案】(1)（i）；（ii）240. (2)证明见解析 【分析】（1）（i）应用赋值法计算求出参数；（ii）应用二项式通项公式计算求解常数项； （2）应用二项式展开式计算证明整除. 【详解】（1）（i）由题知，解得. （ii）展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. （2）因为 ， 故能被4整除. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】利用二项展开式的性质易得. 【详解】因为的展开式有项， 由，可得． 故选：C. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）观察图中的数所形成的规律，则a所表示的数是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由图知，下一行的数是其肩上两数的和，即可求解. 【详解】由图知，下一行的数是其肩上两数的和， 所以，得． 故选：B. 4．（2025高三上·湖南常德·专题练习）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（   ） A．81 B．64 C．27 D．16 【答案】A 【分析】根据二项式系数最大的项求得，利用赋值法求得正确答案. 【详解】因为展开式中只有第3项的二项式系数最大，即最大， 故，令，得展开式中的所有项的系数和. 故选：A 5．（25-26高二·江西宜春·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过变量替换将原式转化为二项式标准形式，再利用二项式定理直接求出 项的系数. 【详解】已知， 令，则，代入原式得：， 因此：， 根据二项式定理：， 我们需要项的系数，即时：， 计算得：， 所以. 故选：A. 6．（25-26高二下·全国·单元测试）已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 【答案】C 【分析】法一：根据的展开式，得，则的系数为，解得．代回，利用赋值法，令，可得展开式中所有项的系数和；法二：写出的展开式的通项，由乘法分配律可得的系数为，解得．代回，利用赋值法，令，可得展开式中所有项的系数和. 【详解】法一：因为， 所以的系数为，由题意得，解得． 设，令，得． 即展开式中所有项的系数和为. 故选：C. 法二：的展开式的通项为. 由乘法分配律知，的展开式中含的项为. 所以展开式中的系数为， 所以，解得. 设， 令，得． 故选：C． 7．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 又由二项展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为． 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意可求得，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以项数为11项，所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，所以. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 【答案】BCD 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断A，B；根据通项判断C，D即可. 【详解】由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知． 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以， 所以，其展开式的各二项式系数的和为， 则奇数项的二项式系数的和为，故A错误； 由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为与的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同， 即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，则展开式中存在的指数为0的项， 由通项， 可得当，即时，符合要求，故C正确； 由通项可得，当时，， 所以展开式中含项的系数为，故D正确． 故选：BCD 10．（25-26高二·江苏南通·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 【答案】ABD 【分析】根据二项式定理直接计算判断A；令直接求解判断B；令，结合时的情况，求得，再根据求解判断C；直接计算判断D. 【详解】对于A选项，根据二项式定理可知，，故正确； 对于B选项，令得，故正确； 对于C选项，令得；令得， 两式相加得：，即， 令得，所以，故错误； 对于D选项，，除以2的余数为1，故正确. 故选：ABD 11．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 【答案】BC 【分析】应用赋值法计算求出参数，再求解二项式系数和判断A，应用系数最大计算判断B，应用通项公式计算得出常数项及有理项判断C，D. 【详解】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，， 故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 三、填空题 12．（25-26高三上·山东青岛·期末）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【答案】 【分析】利用二项式系数的性质以及二项展开式的通项公式可得答案. 【详解】二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 二项式系数最大值出现在中间项， 当 为偶数时，最大项为第 项， 因此有 ，解得 ， 展开式的通项公式为： 令 ，解得 ， 代入通项，得系数为： 因此，展开式中 的系数为 . 故答案为： 13．在的展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则________． 【答案】35 【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，再结合题意分别求出参数值，最后求出即可. 【详解】由二项式定理得的通项为， 由二项式性质得第4项的二项式系数最大，则， 令，解得，则，可得. 故答案为：35 14．（25-26高二·江苏常州·期末）设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 【答案】 【分析】由得出值，再根据的展开式通项列方程求解即可． 【详解】由于， 所以； 由于被9除所得的余数为8， 故即的展开式为， 当时，常数项为． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高二·辽宁大连·期末）在的展开式中，二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)240 (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由二项式系数和可得，据此可得二项式通项，即可得答案； （2）由（1）中二项式通项分析即可判断. 【详解】（1）因二项式系数和为，则. 则展开式通项为， 令，则含项的系数为； （2）由（1）令，但由题设可得， 则不满足题设，即展开式中不存在常数项. 16．（25-26高二·上海·期末）已知二项式，求： (1)二项展开式中第3项的系数； (2)二项展开式中项的系数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式定理求解出通项公式，进而求解系数即可. （2）利用赋值法得到，再求解系数即可. 【详解】（1）由二项式定理得展开式的通项公式为， 故二项展开式第3项的系数为． （2）令，解得， 则项的系数为. 17．（24-25高二下·广东肇庆·月考）已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)4096 (2)960 (3)． 【分析】（1）利用赋值法令，可得各项的系数和； （2）利用二项展开式的通项公式求解即可； （3）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解 【详解】（1）令，各项的系数和： （2）设展开式中常数项为第项， 即， 令，得. （3）由题可得，展开式中最大的二项式系数为， ∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即， ∴二项式系数最大的项为． 18．（25-26高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知二项式 (1)若展开式共七项，求的值； (2)在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项. 【答案】(1)6 (2)通项公式为，常数项为160 【分析】（1）根据二项式定理可知，二项展开式共有项，列式计算即可. （2）根据二项展开式通项公式化简求值即可. 【详解】（1）由题意知，，解得. （2）由（1）知，二项式为. 通项公式为. 令，则，所以. 所以该二项展开式的通项公式为，常数项为160. 19．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 【答案】(1)，， ，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过计算可得结果，利用二项展开式中的系数相等可证一般性结论； （2）通过的展开式中的系数相等可证结论； （3）结合前两个结论，作差可证结论. 【详解】（1），， 规律：，证明如下： 的展开式中，的系数为， 同时，的展开式中的系数为， 所以. （2）证明：的展开式中的系数为， 又，的展开式中的系数为 ， 所以. （3）证明：由（1）可知， 由（2）可知， 两式相减可得， 即. 【点睛】关键点点睛：本题证明的关键是构造二项式，利用二项展开式中某项的系数相等得出题中需证的结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二项式定理 知识清单 知识点01：二项式定理 题型讲解 （举三反三） 题型1：二项展开式中的特定项、项的系数 题型2：多个二项展开式中的特定项、项的系数 题型3：二项式系数的对称性与增减性 题型4：二项式系数和 题型5：展开式系数的和 题型6：与杨辉三角有关的问题 题型7：二项式定理的应用（整除问题） 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.二项式定理 1.二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 2.二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 3.二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 题型1：二项展开式中的特定项、项的系数 【例1-1】（25-26高二·北京·期中）在的展开式中，的系数等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【例1-2】（2026高三下·天津·专题练习）已知的展开式中常数项为，则的展开式中的系数为__________. 【例1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【变式1-1】（25-26高二下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·重庆·月考）若，则的值是______. 【变式1-3】（25-26高二·上海浦东新·月考）在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 题型2：多个二项展开式中的特定项、项的系数 【例2-1】（24-25高二下·山东济宁·期中）多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（   ） A．1 B．729 C．64 D．0 【例2-2】多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（    ） A．1 B．243 C．64 D．0 【例2-3】若多项式，则______. 【变式2-1】多项式展开式中的系数为（   ） A．985 B．750 C．940 D．680 【变式2-2】若多项式，则（　　） A．181 B． C．179 D． 【变式2-3】已知多项式，若，则________． 题型3：二项式系数的对称性与增减性 【例3-1】（25-26高二·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【例3-2】（25-26高三上·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 【例3-3】（2025高三·全国·专题练习）在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 【变式3-1】（25-26高二·全国·单元测试）若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式3-2】（2025高二·全国·专题练习）在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是______． 【变式3-3】（24-25高二下·新疆喀什·期末）已知的展开式中共有7项. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 题型4：二项式系数和 【例4-1】（25-26高二·陕西渭南·期末）二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例4-2】（24-25高二下·江苏·月考）在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 【例4-3】（25-26高二·甘肃白银·期末）已知的展开式的二项式系数和为64. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 【变式4-1】（25-26高二·黑龙江哈尔滨·期中）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 【变式4-2】（25-26高三上·北京房山·期末）的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______． 【变式4-3】（24-25高二·全国·课前预习）在二项展开式中，令，可得到什么结论？令，，可得到什么结论？ 题型5：展开式系数的和 【例5-1】（25-26高二·北京昌平·期末）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 【例5-2】（25-26高二·北京·期末）若，则___________；___________． 【例5-3】（25-26高二·江西宜春·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-1】（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二·宁夏银川·期末）已知，则______． 【变式5-3】（25-26高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 题型6：与杨辉三角有关的问题 【例6-1】（25-26高二·全国·单元测试）杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第（）斜线上所有数值之和最大时，的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【例6-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为____. 【例6-3】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值. 【变式6-1】（24-25高二下·河北保定·月考）如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是______． 【变式6-3】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，···，记其前n项和为Sn，求S19的值. 题型7：二项式定理的应用（整除问题） 【例7-1】（25-26高二·吉林长春·期末）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【例7-2】（25-26高二·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 【例7-3】（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：能被20整除. 【变式7-1】（24-25高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·上海·月考）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期______． 【变式7-3】（25-26高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知. (1)若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. (2)证明：能被4整除. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）观察图中的数所形成的规律，则a所表示的数是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（2025高三上·湖南常德·专题练习）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的所有项的系数和为（   ） A．81 B．64 C．27 D．16 5．（25-26高二·江西宜春·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·全国·单元测试）已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 7．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高二·江苏常州·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 10．（25-26高二·江苏南通·期末）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 11．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 三、填空题 12．（25-26高三上·山东青岛·期末）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 13．在的展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则________． 14．（25-26高二·江苏常州·期末）设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 四、解答题 15．（25-26高二·辽宁大连·期末）在的展开式中，二项式系数的和为64. (1)求展开式中的含有项的系数； (2)展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 16．（25-26高二·上海·期末）已知二项式，求： (1)二项展开式中第3项的系数； (2)二项展开式中项的系数． 17．（24-25高二下·广东肇庆·月考）已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 18．（25-26高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知二项式 (1)若展开式共七项，求的值； (2)在（1）的条件下写出二项展开式的通项公式，并求展开式中的常数项. 19．组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $