第02讲 排列与组合（知识清单+9题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册重难点讲义与测试

第02讲 排列与组合 知识清单 知识点01：排列 知识点02：组合 题型讲解 （举一反三） 题型1：排列数公式的应用 题型2：排列的概念与简单的排列问题 题型3：.特殊元素与特殊位置问题 题型4：“相邻”与“不相邻”问题 题型5：组合概念的理解与简单组合问题 题型6：与组合数有关的计算 题型7：实际问题中的组合计数问题 题型8：相同元素分组分配问题 题型9：排列组合的综合应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.排列 1.排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2.排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 3.排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 4.排列数公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 5．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 知识点2.组合 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 3.排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 4.组合数公式 组合数公式 乘积形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘形式 C＝ 规定：C＝1. 5.组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 题型1：排列数公式的应用 【例1-1】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 题型2：排列的概念与简单的排列问题 【例2-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 【变式2-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是（   ） A．15 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·四川达州·期末）从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有______种． 题型3：特殊元素与特殊位置问题 【例3-1】（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【变式3-1】（25-26高二下·全国·课后作业）用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 【变式3-2】（25-26高二·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课后作业）从0，1，2，3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数． 题型4：“相邻”与“不相邻”问题 【例4-1】（25-26高二·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【变式4-1】（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二·北京昌平·期末）若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答） 【变式4-3】甲乙丙丁戊五人排队，要求甲乙不相邻且甲不能站在首位，共有多少种站法？ 题型5：组合概念的理解与简单组合问题 【例5-1】（2025高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【变式5-1】（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【变式5-2】（2024高二下·全国·专题练习）下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【变式5-3】（24-25高三·上海·随堂练习）给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是________．（填写问题序号） 题型6： 与组合数有关的计算 【例6-1】（25-26高二·江西宜春·期末）若从1，2，3，…，（）中任意取出两个不同的数，共有21种不同的取法，则（   ） A．6 B．7 C．20 D．21 【变式6-1】（25-26高二·山东潍坊·期末）若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-2】（25-26高二·江苏南京·期末）计算的值为______．（用数字作答） 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）计算； 题型7：实际问题中的组合计数问题 【例7-1】（25-26高二·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【变式7-1】（25-26高二·甘肃张掖·期末）某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 【变式7-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 【变式7-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）新高考改革后，在取消文理分科后，全国大多数地区实行“”模式，即语、数、外三科为国家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治和地理中任选2科参加高考．选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”（即“物化生”“政史地”组合）还依然是主流，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有多少种？ 题型8：相同元素分组分配问题 【例8-1】（25-26高二下·全国·课后作业）将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 【变式8-1】（25-26高二·福建漳州·期末）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【变式8-2】（25-26高二·江苏南通·期末）运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 【变式8-3】（25-26高二·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 题型9： 排列组合的综合应用 【例9-1】（25-26高二·江西宜春·期末）全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【变式9-1】（25-26高二·江西吉安·期末）从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（   ） A．120种 B．96种 C．72种 D．48种 【变式9-1】（25-26高二·陕西西安·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.恰好有一个空盒，有____种放法. 【变式9-3】（2025高二·全国·专题练习）有6列火车准备停在某车站并行的6条轨道上，若列车A不能停在第3道上，列车B不能停在第1道上，则6列火车不同的停靠方法有多少种？ 一、单选题 1．（25-26高二·江苏常州·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二·江西南昌·期末）甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（2026高三·全国·专题练习）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 5．（25-26高二·云南·期末）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组.现有甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲不能参加绘画，则不同的报名方法有（   ） A．150 B．114 C．100 D．72 6．（25-26高二下·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 7．（25-26高二下·全国·课后作业）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 8．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 二、多选题 9．（25-26高二·广西桂林·月考）下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二·陕西渭南·期末）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 11．（25-26高二·江苏南通·期末）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 三、填空题 12．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 13．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 14．（25-26高二·江西抚州·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有________种． 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在（1）中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 17．（25-26高二·江西九江·月考）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 18．（25-26高二下·全国·课后作业）从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，问： (1)共能组成多少个不同的二次函数？ (2)在这些二次函数中，图象关于轴对称的有多少个？ 19．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 排列与组合 知识清单 知识点01：排列 知识点02：组合 题型讲解 （举一反三） 题型1：排列数公式的应用 题型2：排列的概念与简单的排列问题 题型3：.特殊元素与特殊位置问题 题型4：“相邻”与“不相邻”问题 题型5：组合概念的理解与简单组合问题 题型6：与组合数有关的计算 题型7：实际问题中的组合计数问题 题型8：相同元素分组分配问题 题型9：排列组合的综合应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.排列 1.排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2.排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 3.排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 4.排列数公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 5．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 知识点2.组合 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 3.排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 4.组合数公式 组合数公式 乘积形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘形式 C＝ 规定：C＝1. 5.组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 题型1：排列数公式的应用 【例1-1】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：ABCD 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【详解】（1）证明：； （2）原式． 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【详解】（1）. （2），. 题型2：排列的概念与简单的排列问题 【例2-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 【答案】C 【分析】根据题意，结合枚举法一一列出，即可求解. 【详解】根据题意，从甲、乙、丙三人中选两人站成一排， 若选甲乙两人，则站法为甲乙，乙甲； 若选甲丙两人，则站法为甲丙，丙甲； 若选乙丙两人，则站法为乙丙，丙乙， 所以所有站法为“甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙”. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【详解】把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”， 分别用来表示， 一种排课法可看作是从中取出3个按顺序分给三节课， 分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是． 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·四川达州·期末）从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知选出2人并担任不同职务，因此相当于选出两人并按照顺序排列， 所以根据排列数的概念可得：不同的选择方法数为. 故选：C 【变式2-3】H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有______种． 【答案】3407040 【分析】先求解出汽车牌照号码中的前两个英文字母的排列数，再求解出4个数字的排列数，最后根据分步乘法计数原理求解出本题的结果. 【详解】因为汽车牌照号码中的前两个是英文字母， 所以此处共有（种）排法， 又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同， 所以共有（种）排法， 根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有（种）. 故答案为：3407040. 题型3：特殊元素与特殊位置问题 【例3-1】（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【答案】B 【分析】先考虑无限制条件的情况，再减去当副组长的情况，即可得答案. 【详解】不考虑限制条件有种选法， 若当副组长，有种选法， 故不当副组长，有（种）选法． 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二下·全国·课后作业）用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 【答案】B 【分析】根据分步计数原理，先排个位，有种，然后排十位和百位，有种，即可得解. 【详解】先排个位，有种，然后排十位和百位，有种， 故共有（个）没有重复数字的三位偶数． 故选：B 【变式3-2】（25-26高二·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 【答案】 【分析】根据已知条件，挂在不同位置有顺序区别，需要用排列来计算． 【详解】小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅进行排列，不同挂法总数为：种． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课后作业）从0，1，2，3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数． 【答案】答案见解析 【分析】列举出所有满足条件的三位数即可. 【详解】大于200的三位数的首位是2或3，所以共有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321． 题型4：“相邻”与“不相邻”问题 【例4-1】（25-26高二·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A 【变式4-1】（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数. 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二·北京昌平·期末）若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答） 【答案】24 【分析】由题意得甲、乙必须相邻，故使用“捆绑法”把甲、乙捆绑到一起算作一个“个体”，再确定丙的位置后，全排列剩下的“个体”即可. 【详解】因为甲、乙必须相邻，故将甲、乙捆绑到一起算作一个“个体”，内部有种排列方法，此时共有4个“个体”， 若丙不能站在两端，则丙只能站在中间两个位置中的一个，共2种排列方法，其余3个“个体”全排列，共有种排列方法， 故共有种排列方法. 故答案为：24. 【变式4-3】甲乙丙丁戊五人排队，要求甲乙不相邻且甲不能站在首位，共有多少种站法？ 【答案】54 【分析】根据甲在中间三个位置以及最后一个位置，结合排列组合，即可由计数原理求解． 【详解】①若甲在第2，3，4位置中选择一个位置安排甲，有种选择， 接下来安排乙，则有种方法， 再安排剩余三个人，有种方法， 故一共有种方法， ②若甲在最后一位，则乙可以在前三个位置中任选一个，有种方法， 其余三人全排列，有种方法，则有种方法， 因此一共有． 答：共有54种站法． 题型5：组合概念的理解与简单组合问题 【例5-1】（2025高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的定义，是否与顺序相关是确定一个问题是否为排列问题的关键，据此逐项判断即可． 【详解】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，两数的商与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，因为椭圆的焦点在x轴上，故与取的两数顺序无关，故③是组合问题； 对于④，取得两数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，取得两数与顺序有关，故⑤是排列问题； 所以，②④⑤与两数的顺序有关，为排列问题. 故选：B. 【变式5-1】（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 【变式5-2】（2024高二下·全国·专题练习）下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】发现选项A、B、C中都与顺序无关，利用组合问题的定义处理即可. 【详解】易知组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关， 在D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱， 乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，与顺序有关， 因此是排列问题，不是组合问题，故D正确． 故选：D 【变式5-3】（24-25高三·上海·随堂练习）给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是________．（填写问题序号） 【答案】②④ 【分析】根据排列组合的定义逐个分析判断即可 【详解】对于①，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于②，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于③，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于④，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于⑤，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 所以以上问题中，属于组合问题的是②④． 故答案为：②④ 题型6： 与组合数有关的计算 【例6-1】（25-26高二·江西宜春·期末）若从1，2，3，…，（）中任意取出两个不同的数，共有21种不同的取法，则（   ） A．6 B．7 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据组合知识求解即可. 【详解】由题意，得，即， 解得（舍去）或. 故选：B 【变式6-1】（25-26高二·山东潍坊·期末）若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，利用组合数的性质有. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二·江苏南京·期末）计算的值为______．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用组合数的性质以及排列数、组合数公式可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）计算； 【答案】0 【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案. 【详解】原式. 题型7：实际问题中的组合计数问题 【例7-1】（25-26高二·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶山、诺水河这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．60 B．20 C．12 D．10 【答案】D 【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题， 不同的选择方法种数为. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二·甘肃张掖·期末）某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（   ） A．21种 B．56种 C．91种 D．35种 【答案】C 【分析】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况求解即可；方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数.就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数. 【详解】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况， 根据分类加法计数原理，选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数为. 方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数，就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数，即． 故选：C 【变式7-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 【答案】10 【详解】由题设，若三人为甲、乙、丙，传递过程如下： 甲①②③④甲， 其中①④一定不会是甲，所以中间四个人的可能情况为： {乙，甲，乙，丙}、{乙，甲，丙，乙}、{乙，丙，甲，乙}、{乙，丙，甲，丙}、{乙，丙，乙，丙}、{丙，甲，乙，丙}、{丙，甲，丙，乙}、{丙，乙，甲，乙}、{丙，乙，甲，丙}、{丙，乙，丙，乙}，共10种情况. 【变式7-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）新高考改革后，在取消文理分科后，全国大多数地区实行“”模式，即语、数、外三科为国家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治和地理中任选2科参加高考．选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”（即“物化生”“政史地”组合）还依然是主流，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有多少种？ 【答案】选考的组合方式12种，选物理不选历史6种，选历史不选物理6种 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，分别直接计算可得结果. 【详解】分成两步： 第一步：从物理、历史2科中任选1科，共有种， 第二步：再从化学、生物、政治和地理中任选2科,共有种， 因此选考的组合方式一共有种可能的情况； 其中选物理不选历史的共有种情况，选历史不选物理的共有种情况. 题型8：相同元素分组分配问题 【例8-1】（25-26高二下·全国·课后作业）将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 【答案】C 【分析】依据分步乘法计数原理，按“先为甲地选1名女教师，再为甲地选2名男教师，剩下的3名教师到乙地的步骤”计算可得. 【详解】第一步，为甲地选1名女教师，有（种）选法； 第二步，为甲地选2名男教师，有（种）选法； 第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有（种）. 故选：C． 【变式8-1】（25-26高二·福建漳州·期末）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】分类讨论，漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦，剩下两人分别体验另外两个项目，第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验，剩下一人体验剩余的项目根据分类原理即可计算. 【详解】根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦， 剩下两人分别体验另外两个项目，则有种方案， 第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验， 则有种方案，综上总共有种方案. 故选： 【变式8-2】（25-26高二·江苏南通·期末）运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 【答案】 【分析】先分组，从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，再排列，将分好的3组全排列，对应3个场地，根据分步乘法计数原理计算得解. 【详解】从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，共有种选法， 将分好的3组全排列，对应3个场地，共有种排法， 则满足题意的不同的安排方法数为种. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 【答案】(1)30 (2)90 (3)90 (4)360 【分析】（1）根据排列组合的分组和分配进行求解即可. （2）在（1）的基础上根据排列组合的分组和分配对甲､乙､丙三人进行分类求解即可. （3）根据排列组合的分组和分配进行求解即可. （4）根据排列组合的分组和分配先把书分三堆，再分给三个人进行求解即可. 【详解】（1）（1）甲､乙､丙依次选书，得； （2）在（1）的基础上，得4本书的可以是甲､乙､丙三人的任何一个，共； （3）甲､乙､丙依次选书，得； （4）先把书分三堆，再分给三个人：. 题型9： 排列组合的综合应用 【例9-1】（25-26高二·江西宜春·期末）全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】依题意，有两类分组方法： ① 5名同学按2人，2人，1人分成三个小组，有种分法， ② 5名同学按3人，1人，1人分成三个小组，有种分法. 再把分好的三个小组安排到三个服务站分别有种方法， 故每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高二·江西吉安·期末）从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（   ） A．120种 B．96种 C．72种 D．48种 【答案】C 【分析】先确定去上海游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解. 【详解】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有种， 其次从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 共有种， 故选：C 【变式9-1】（25-26高二·陕西西安·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.恰好有一个空盒，有____种放法. 【答案】144 【分析】按分步计数原理，先将小球分为三组，再放入四个盒子中的三个. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将4个小球分为三组，其中一组有2个小球，另外两组各有1个小球， 有种分组方法； ②从4个盒子中任选3个，放入三组小球，有种情况， 故共有种不同的放法； 故答案为：144. 【变式9-3】（2025高二·全国·专题练习）有6列火车准备停在某车站并行的6条轨道上，若列车A不能停在第3道上，列车B不能停在第1道上，则6列火车不同的停靠方法有多少种？ 【答案】504 【分析】解法1：运用正面分类求解，即分两类求排列数再利用分类加法计数原理即得；解法2：运用反面间接求解，即先计算没有限制条件的排列数，再剔除限制条件下的排列数即得. 【详解】解法1（正面分类求解）： 第一类，若列车A停在第1道上，则余下的5列车可以任意停，有种： 第二类，若列车A不停在第1道上， 因为列车A也不能停在第3道上，则有种，再停列车B也有种，余下的4列车可以任意停，有种， 因此有种． 由分类计数原理可得共有种停靠方法． 解法2（反面间接求解）： 若没有任何限制条件，则有种停靠方法． 当列车A停在第3道上时，余下的5列车有种停靠方法； 当列车B停在第1道上时，余下的5列车也有种停靠方法； 当列车A停在第3道上且列车B停在第1道上时，余下的4列车有种停靠方法， 因此满足条件的停靠方法有种． 一、单选题 1．（25-26高二·江苏常州·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 2．（25-26高二·江西南昌·期末）甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【答案】B 【分析】先使用捆绑法求出甲、丙相邻的所有排法，再利用排除法，减去其中甲、乙也相邻的排法，即可得解. 【详解】将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他3个人进行排序，共有种排法． 接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形， 需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间， 然后将这个“大元素”与其他2个人进行排序，此时共有种排法． 综上，共有种不同的排法． 故选：B. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据组合数定义作答即可 【详解】由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有种． 故选：D. 4．（2026高三·全国·专题练习）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 【答案】C 【分析】方法一：运用分类加法计数原理，结合组合的定义进行求解即可. 方法二：运用间接法，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】方法一： 将“至少有1个一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”． 由分类加法计数原理，得不同取法有（种）． 方法二：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）， 故选：C 5．（25-26高二·云南·期末）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组.现有甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲不能参加绘画，则不同的报名方法有（   ） A．150 B．114 C．100 D．72 【答案】C 【分析】分类讨论参加绘画小组的人数，对参加象棋和篮球小组的人数进行分组，然后进行排序，最后利用分类计数原理求解. 【详解】甲不能参加绘画，若有1人参加绘画小组，有种，则有4人参加象棋和篮球， 人数分为，，故有种，共有种； 若有2人参加绘画小组，有种，则有3人参加象棋和篮球，人数分为， 故有种，共有种； 若有3人参加绘画小组，有种，则还有2人参加象棋和篮球，人数分为， 故有种，共有种， 根据分类计数原理，共有种， 故选：C. 6．（25-26高二下·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】C 【分析】分析圆周上8个等分点可构成4条直径，由此得到所对应的直角三角形个数，用可以构成的总三角形个数减去直角三角形个数，可得锐角三角形或钝角三角形的个数. 【详解】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有（个）直角三角形， 因为这8个等分点为顶点的三角形共有（个）， 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为（个）． 故选：C. 7．（25-26高二下·全国·课后作业）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 【答案】B 【分析】根据题意，以“只会划左舷的人员入选左舷的人数” 为标准进行分类，对每一种情况进行计算即可求解. 【详解】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的4人}，既会划左舷又会划右舷的5人． 先分类，以集合为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①中有3人；②中有2人，中有1人；③中有1人，中有2人；④中有3人． 第①类情况中，从集合中选3人划左舷，从集合，中选3人划右舷，有种选法； 第②类情况中，从集合中选2人划左舷，从集合中选1人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第③类情况中，从集合中选1人划左舷，从集合中选2人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第④类情况中，从集合中选0人划左舷，从集合中选3人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法． 故不同的选法共有（种）． 故选：B． 8．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 二、多选题 9．（25-26高二·广西桂林·月考）下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式可判断AB选项，利用组合数公式可判断C选项，利用组合数的性质可判断D选项. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 由组合数的性质可得，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二·陕西渭南·期末）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 11．（25-26高二·江苏南通·期末）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 【答案】ACD 【分析】A选项，先把学生的节目选1个放在最后，剩余的10个节目进行全排列，A正确；B选项，先从学生的节目选2个放在两端，剩余的9个节目进行全排列，B错误；C选项，将2个教师的节目进行捆绑，再和9个学生的节目进行全排列，C正确；D选项，先安排9个学生的节目，再将2个教师的节目插空，D正确. 【详解】A选项，如果教师的节目不排在最后，从学生的节目选1个放在最后， 剩余的10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，A正确； B选项，如果教师的节目不排在两端，从学生的节目选2个放在两端， 剩余的9个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，B错误； C选项，如果教师的节目必须相邻，将2个教师的节目进行捆绑，2个教师节目可以进行全排列， 再和9个学生的节目一共10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，C正确； D选项，如果教师的节目不能相邻，先安排9个学生的节目， 再将2个教师的节目插空，那么不同排法的种数为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 【答案】 【分析】根据题意，分为选三个女教师，选两个女教师，一个男教师和选一个女教师，两个男教师，三类情况讨论，结合排列数和组合数公式，以及分类计数原理，进行计算，即可求解 【详解】根据题意，可分为三类： ①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有（种）； ②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有（种） ③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有（种）． 由分类计数原理得，不同的安排方案种数为． 故答案为：. 13．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 【答案】 120 210 【分析】（1）用定序问题即可求解. （2）利用分组分配即可求解. 【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案为：；. 14．（25-26高二·江西抚州·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有________种． 【答案】10 【分析】根据特殊元素/位置优先安排原则，先判断第一关和第四关的种数，再计算其余关卡的种数，相乘即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手，其余两关各有1名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，所以，满足条件的参赛方案有种. 故答案为：10. 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在（1）中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 【答案】(1)100800 (2)14400 (3)5760 (4)28800 【分析】（1）利用分步乘法计数原理可得答案； （2）利用相邻元素捆绑法可得答案； （3）利用相邻元素捆绑法可得答案； （4）利用不相邻元素插空法可得答案. 【详解】（1）分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有种取法； 第二步，在5个奇数中取4个，可有种取法； 第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有种排法． 所以符合题意的七位数有（个）． （2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有（个）． （3）上述七位数中，3个偶数排在一起， 4个奇数也排在一起的有（个）． （4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好， 再将3个偶数分别插入5个空中，共有（个）． 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 【答案】(1)是排列问题 (2)不是排列问题 (3)是排列问题 【分析】根据排列的定义，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）解：由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关， 所以这是一个排列问题． （2）解：因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序， 所以这不是排列问题． （3）解：因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以（1）（3）是排列问题，（2）不是排列问题． 17．（25-26高二·江西九江·月考）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 【答案】(1)81 (2)294 (3)90 【分析】（1）根据分步乘法计数原理判断； （2）分选中甲与不选中甲两类求解判断； （3）根据定序消去法判断. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理，有种； （2）①选的3人中无甲：种； ②选的3人中有甲：种， 总计种； （3）由定序问题消序法得共有种. 18．（25-26高二下·全国·课后作业）从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，问： (1)共能组成多少个不同的二次函数？ (2)在这些二次函数中，图象关于轴对称的有多少个？ 【答案】(1)294 (2)42 【分析】（1）方法一：采用优先考虑特殊位置即二次项系数，利用分步计数原理求解； 方法二：优先考虑特殊元素，利用分类计数原理求解； 方法三：采用间接法，先计算任意三个元素的种类，再减去的种数即可得解； （2）依题意图象关于轴对称，即，再确定另外两个系数即可. 【详解】（1）方法一：因为， 所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有种，所以共有个不同的二次函数． 方法二：当中不含0时，有个； 当中含有0时，有个， 故共有（个）不同的二次函数． 方法三：共可构成个函数，其中当时，有个均不符合要求， 从而共有（个）不同的二次函数． （2）依题意图象关于轴对称，即， 所以共有（个）符合条件的二次函数． 19．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【答案】(1)2520 (2)576 (3)216 【分析】（1）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可； （2）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有种不同方法；再分配女售票员，也有种方法，相乘可得答案； （3）第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有种不同分法，所以共有种分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有种上车方法，相乘可得答案. 【详解】（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $