7.2.2 复数的乘、除运算导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.2.2复数的乘、除运算【导学】 【导学目标】 1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念. 【导学重点】掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算. 【导学难点】理解复数乘法的运算律并会在复数范围内解方程 【知识要点】 复数的乘法 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝（ac－bd)+(bc＋ad)i. 复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3) 共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示. 即z＝a＋bi，则＝a－bi. 复数的除法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则＝＝＝＋i. 实系数一元二次方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝. ②当Δ<0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　 【典型例题】 题型一 复数乘法的运算 【例1-1】计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 【例1-2】计算：（衔接教材P78L3）(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； （衔接教材P78L4）(2)(2＋3i)(2－3i)； (3)(1＋i)2. 【例1-3】已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2. （1）求复数z； （2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值. 【例1-4】已知复数，若，且z在复平面内对应的点位于第四象限． （1）求复数z； （2）若，求实数a、b的值． 题型二 复数除法的运算 【例2-1】（衔接教材P79L5）计算： 【例2-2】（衔接教材P80T3）计算：(1)； (2). 【例2-3】计算：(1)＋； (2)＋. 【例2-4】已知复数. （1）当实数m为何值时，复数z为纯虚数； （2）当时，计算. 题型三 共轭复数 【例3-1】已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z. 【例3-2】若f(z)＝z＋3－i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z). 题型四 在复数范围内解下列方程： 【例4-1】（衔接教材P79L6） 【例4-2】（衔接教材P81T7）已知是关于的方程的一个根，求实数的值 【例4-3】（衔接教材P81T7）在复数范围内解下列方程： 【例4-4】已知复数w满足为虚数单位，． (1)求z； (2)若(1)中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 题型五 综合应用 【例5-1】（多选题）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数 C. 复数z的虚部等于－1 D. 【例5-2】（多选题）在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 ； B. 若复数z满足，则； C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是； D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆. ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 §7.2.2复数的乘、除运算【导学】【解析】 【导学目标】 1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念. 【导学重点】掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算. 【导学难点】理解复数乘法的运算律并会在复数范围内解方程 【知识要点】 复数的乘法 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝（ac－bd)+(bc＋ad)i. 复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3) 共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示. 即z＝a＋bi，则＝a－bi. 复数的除法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则＝＝＝＋i. 实系数一元二次方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝. ②当Δ<0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　 【典型例题】 题型一 复数乘法的运算 【例1-1】计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 【答案】(1)5;(2)-3+4i. 【解析】(1)(2＋i)(2－i)=22-i2=4+1=5. (2)(1＋2i)2=12+4i+4i2=-3+4i. 【例1-2】计算：（衔接教材P78L3）(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； （衔接教材P78L4）(2)(2＋3i)(2－3i)； (3)(1＋i)2. 【答案】(1)-20+15i;(2)13;(3)2i. 【例1-3】已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2. （1）求复数z； （2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值. 【答案】(1)z=1+i;(2)0. 【解析】设z=x+yi（x,y∈R）， 根据题意：|z|， 化简得x2+y2=2。z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi，其虚部为2xy=2， 即xy=1。又z的实部x>0。 联立方程： 所以 z=1+i。 (2) 由（1）z=1+i，对应点A(1,1)；z2=(1+i)2=2i，对应点B(0,2)； z−z2=(1+i)−2i=1−i，对应点C(1,−1)。 , 【例1-4】已知复数，若，且z在复平面内对应的点位于第四象限． （1）求复数z； （2）若，求实数a、b的值． 【答案】(1)z=1−i;(2)a=−3，b=4. 【解析】(1)由已知2 两边平方得： 解得m=±1. 又z在复平面内对应的点位于第四象限． 所以m=1。 因此 z=1−i。 (2) 将z=1−i代入z2+az+b=1+i： (1−i)2+a(1−i)+b=1+i 展开计算： (1−2i+i2)+a−ai+b=1+i(−2i)+a+b−ai=1+i 所以(a+b)+(−2−a)i=1+i 根据复数相等的条件，实部与虚部分别相等： 解得a=−3，b=4. 题型二 复数除法的运算 【例2-1】（衔接教材P79L5）计算： 【答案】. 【例2-2】（衔接教材P80T3）计算：(1)； (2). 【答案】(1)1-i;(2)-1-3i. 【例2-3】计算：(1)＋； (2)＋. 【答案】(1)-1;(2)2i. 【例2-4】已知复数. （1）当实数m为何值时，复数z为纯虚数； （2）当时，计算. 【答案】（1）m=0;（2）. 题型三 共轭复数 【例3-1】已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z. 【答案】z=1+3i或z=1-i 【例3-2】若f(z)＝z＋3－i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z). 【答案】f(－z)=-6-4i 题型四 在复数范围内解下列方程： 【例4-1】（衔接教材P79L6） 【答案】 ；. 【例4-2】（衔接教材P81T7）已知是关于的方程的一个根，求实数的值. 【答案】. 【例4-3】（衔接教材P81T7）在复数范围内解下列方程： 【答案】(1)-2+i或-2-i; (2). 【例4-4】已知复数w满足为虚数单位，． (1)求z； (2)若(1)中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 【答案】(1)z=3+i; (2)实数p=6，q=10方程的另一个根3-i． 【解析】设w=a+bi（a,b∈R），代入方程w−4=(3−2w)i： (a−4)+bi=(3−2a−2bi)i 展开右边：(3−2a)i−2bi2=2b+(3−2a)i 根据复数相等的条件，实部与虚部分别相等： a−4=2b且b=3−2a​ 解得：a=2，b=−1，所以w=2−i。 . (2) 根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，另一个根为z=3−i。 根据韦达定理： 两根之和：(3+i)+(3−i)=6=p 两根之积：(3+i)(3−i)=9−i2=10=q 所以p=6，q=10，方程的另一个根为3−i. 题型五 综合应用 【例5-1】（多选题）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数 C. 复数z的虚部等于－1 D. 【答案】ACD 【例5-2】（多选题）在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 ； B. 若复数z满足，则； C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是； D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆. 【答案】AD ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $