专题04 求数列的通项公式八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题04 求数列的通项公式 题型一：周期数列 题型二：累加累乘法 题型三：“和”型（一）——与或与 题型四：“和”型（二）——“ 题型五：“积”型 题型六：待定系数法及倒数法 题型七：“同除”法 题型八：隔项数列 题型一：周期数列 1．已知数列，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2026项的和为（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】∵，，， ∴， ， ， ， ． ∴是周期为6的周期数列，且． ∴． 故选：C． 2．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】依题意得． 故数列的周期为3，所以． 3．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因，由可得 故3为该函数的一个周期，所以. 4．已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 【答案】B 【详解】因为，即，且，， 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 可知数列的一个周期为4的周期数列，且， 又因为，，，， 累加可得， 所以. 故选：B. 5．已知数列的各项均为正整数，对于，若 ，且，则______，______． 【答案】 19 62 【详解】依题意，由，得，，， ，，，，， 因此数列从第3项开始是周期为6的周期数列，， 所以. 题型二：累加累乘法 6．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 7．在数列中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 8．（多选）已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由题，， 又，由递推式可得，所以是递减数列，故A正确； 对于B，由上面可知，当时，， 将上式累乘得，， 整理得，又，所以，故B错误； 对于C，设，则，， ，，，，， 由指数函数与函数的增长速度可知，当时，， 所以当数列的前n项和取得最小值时，，故C正确； 对于D，当为偶数时，不等式转化为，又， 所以， 当为奇数时，不等式转化为，又， 所以， 综上，，故D正确. 故选：ACD. 9．若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 【答案】211 【详解】记 “拐角数”构成的数列为，观察数字特征可得， 累加可得， 所以. 10．已知数列满足，，则数列的最小项为______． 【答案】 【详解】由得，当时， ， 当时：.(符合上式) 所以， 设函数， 易知在上单调递减，在上单调递增，结合，得 当时，数列是递减数列，当时，数列是递增数列， 当时，，当时，， 所以数列的最小项为． 故答案为：． 11．已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以当时，有， 两式相减：，即； 当时，， 因为为等比数列，所以，代入可得， 数列是首项为 3、公比为 3 的等比数列， 所以前 10 项和为. 故选：D 12．已知数列满足，，则________. 【答案】 【详解】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得，， 则，， 又，满足上式，所以. 题型三：“和”型（一）——与或与 13．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，中，得，即，解得，A正确； B选项，因为时，， 由得，即， 所以为公差为1的等差数列，首项为， 所以，故，B错误； C选项，当时，当时，， 时，， 当时，当时，， 时，， 综上，C正确； D选项，若，时，，显然此时满足上式， 故， 此时， 若，时，，显然此时满足上式， 故， 此时， 综上，D正确. 故选：ACD 14．（多选）记为数列的前项和，且，，则（   ） A． B．为等比数列 C．数列单调递减 D． 【答案】ABD 【详解】令，则，即， 因为，所以，故A正确，C错误； 因为，所以， 两式作差得， 当时，符合上式，故，则， 因为，由以上递推关系可知，所以， 则是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 得，则， 则，故D正确. 故选：ABD 15．已知数列的前n项和为，，，则______． 【答案】2n 【详解】因为，等式两边同时除以， 得，当时，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以当时，， 当时，也符合上式， 所以． 16．已知数列的前项和为且，则__________. 【答案】 【详解】当时，， 代入条件，得， 整理得：， 由可得：， 累乘得（）： 化简得 又，因此 ， 其中，故： 括号内是首项为、末项为、公差为、项数为的等差数列， 其和为： 代入得 故答案为： 17．已知数列的前n项和为，若，则_________． 【答案】 【详解】当时，，变形得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 题型四：“和”型（二）——“ 18．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 19．在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 当时，则， 两式相减可得：，即， 且，即，可知数列是各项均为的常数列， 所以，即. 因为，即，可得， 设，则， 令，解得， 当时，数列递增；当时，；当时，数列递减， 所以的最大值为. 因为对恒成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 20．已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】因为①， 当时，则； 当时，则②. ①②得，即. 又也满足，所以. 所以， 则， 因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当为偶数时，恒成立，所以， 因为在上单调递增，且， 所以； 当为奇数时，恒成立，即恒成立，则， 因为在上单调递减，且， 所以； 综上可得，即实数的取值范围为. 故答案为： 21．已知数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 当时，，所以， 当时，①， ②， ①②得，，所以， 也满足． 综上，． （2）由题可知， 所以 ． 22．已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 当时，，即， ， 等式两边同除以得①， 当时，②， 两式相减有：， ， 经检验，也满足上式，故. 因为， 则当时，， 累加可得：， 且， . 经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故. （2）， ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . 题型五：“积”型nn 23．已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，又， ，. . 故选：C. 24．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为数列的前项积，所以可得， 因为，所以， 即，所以， 又，得，所以， 故是以3为首项，2为公差的等差数列； ， 故选：A 25．记为正项数列的前项积，，则______. 【答案】2025 【详解】数列的各项均为正，当时，，解得， 由，得当时，， 即，因此， 数列是以为首项，公差为的等差数列，， 所以. 故答案为：2025 26．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，若，，成等比数列，则___________. 【答案】10 【详解】为数列的前项积，当时，，当时，，， 则，整理得， 即数列是首项为2，公差为1的等差数列，， ，,，， ，，成等比数列，即，，即，解得， 故答案为：10 题型六：待定系数法及倒数法 27．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 28．对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 29．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】C 【详解】数列中，，由，得，解得. 因为，所以， 因为，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以，故. 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误； 对于C，是等比数列，C正确； 对于D，，而不成等差数列， 所以不是等差数列，D错误. 故选：C. 30．（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 31．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 32．已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 【答案】D 【详解】， ， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误； 对于C、令，解得2，故C错误； 对于D、令，解得2，是第10项，故D正确 故选： 题型七：“同除”法 33．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 34．在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】略 35．（多选）数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】首先证明数列中任意一项不为. 证明：假设数列中存在某项， 由， 得，将代入得 则有，即，同理依次递推可知，这与矛盾. 故假设错误，即数列中从第2项起均不为. 又已知，故数列中任意一项不为，得证. 由证明结论可得，由， 两边同除以得，即， 两边同加上整理得，，又， 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，所以. A项，，故A正确； B项，，则，故B错误； C项，，其中，， 则，所以，故C正确； D项，当时，；当时，，； 当时，， 所以，此时. 综上，，故D正确 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过构造法得是以为首项，为公比的等比数列，再求出，再一一分析即可. 36．已知数列满足，且，则________. 【答案】 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 37．数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 38．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 题型八：隔项数列 39．设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列满足，，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， 因为， 所以数列是等差数列， 所以数列的前100项和，即数列的前25项和为. 故选：B. 40．已知数列满足，，则_________ 【答案】 【详解】由题意可得， 则，即，易知， 所以数列是以为首项，以为公比的等差数列， 则，故. 故答案为：. 41．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则_____________，数列的前项和与数列的前_____________项和相等. 【答案】 【详解】当时，①； 当时，②； 由①②得：， ，，，， 累加得：； 令，则当且为奇数时，； 当时，满足；当为奇数时，； 此时，当为偶数时，； ，，， 的前项和为； 的前项和为， 令，解得：（舍）或，. 故答案为：；. 42．数列的前n项和，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，， （ⅰ）求证：数列是等比数列； （ⅱ）若数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时，也符合上式， 所以. （2）（ⅰ）当n为奇数时，；此时为偶数，由， 得. 当n为偶数时，；此时为奇数，由， 得. 因此，对任意，有. 因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）得，， ① ①得② 由①-②得 ， 所以， 因为，所以， 因为 ，， 所以，，即关于n是递增的，因此， 综上，. 43．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由 ，得 以上两式相比，得, 由，得, 所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，, 数列是首项为6，公比为4的等比数列，, 综上，数列的通项公式为 . （2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 . 由（1）得，即,两边同时除以，得(*) (*）式左边为奇数，右边为偶数 (*）等式不成立，假设不成立. 所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列． 44．已知数列中，对任意的，都有 (1)若为等差数列，求的通项公式； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由条件，可得：， 因为为等差数列，设公差为d，由上式可得：，         的通项公式为； （2）由条件，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； ， 偶数项是首项为1公差为4的等差数列．     综上： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 求数列的通项公式 题型一：周期数列 题型二：累加累乘法 题型三：“和”型（一）——与或与 题型四：“和”型（二）——“ 题型五：“积”型 题型六：待定系数法及倒数法 题型七：“同除”法 题型八：隔项数列 题型一：周期数列 1．已知数列，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2026项的和为（     ） A．0 B．1 C． D． 2．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 3．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 4．已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 5．已知数列的各项均为正整数，对于，若 ，且，则______，______． 题型二：累加累乘法 6．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 7．在数列中，，，则等于（       ） A． B． C． D． 8．（多选）已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 9．若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 10．已知数列满足，，则数列的最小项为______． 11．已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 12．已知数列满足，，则________. 题型三：“和”型（一）——与或与 13．（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）记为数列的前项和，且，，则（   ） A． B．为等比数列 C．数列单调递减 D． 15．已知数列的前n项和为，，，则______． 16．已知数列的前项和为且，则__________. 17．已知数列的前n项和为，若，则_________． 题型四：“和”型（二）——“ 18．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 19．在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________． 21．已知数列满足：． (1)求数列的通项公式； 22．已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； 题型五：“积”型nn 23．已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 24．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 25．记为正项数列的前项积，，则______. 26．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，若，，成等比数列，则___________. 题型六：待定系数法及倒数法 27．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 28．对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 29．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D．是等差数列 30．（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 31．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 32．已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 题型七：“同除”法 33．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 35．（多选）数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 36．已知数列满足，且，则________. 37．数列中，，满足. (1)求的通项公式； 38．已知数列满足，. (1)求的通项公式； 题型八：隔项数列 39．设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 40．已知数列满足，，则_________ 41．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则_____________，数列的前项和与数列的前_____________项和相等. 42．数列的前n项和，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，， （ⅰ）求证：数列是等比数列； 43．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 44．已知数列中，对任意的，都有 (1)若为等差数列，求的通项公式； (2)若，求的通项公式． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $