第十五章 四边形（知识清单）数学新教材北京版八年级下册

第十五章 四边形 知识点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做 . 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做 . 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做 ，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做 . 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做 . 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为 . 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于 °，与边数的多少没有关系. 知识点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边 的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别 的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相 的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 知识点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的 是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是 的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相 ，且每一条对角线 一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即 . 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边 的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边 的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线 的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是 ，四条边都 ，对边 . 2、正方形的两条对角线 ，并且互相 ，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的 是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的 是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的 是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的 是正方形 知识点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做 。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点07 中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2、成中心对称的两个图形全等； 3、只有一个对称中心. 1、有对称中心; 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点08 旋转 旋转的三要素： 、 和 ． 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3、旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2、找出原图形的关键点； 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 一、多边形 1.内角和外角和公式记错 错误：n 边形内角和公式记错，外角和记成随边数变化； 注意：多边形内角和公式：(n-2)×180°，任意多边形外角和 = 360°（与边数无关）； 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 2.n 边形对角线条数 错误：写成 n (n-1)/2（当成线段总数） 忘记除以 2 注意：公式：n(n-3)/2 2．（25-26八年级下·北京门头沟·期中）如果过多边形的一个顶点共有3条对角线，那么这个多边形的内角和是______度． 3.“截去一个角后，边数怎么变” 错误：一律认为少 1 条 注意：不过顶点：边数 +1；过一个顶点：边数不变；过两个顶点：边数 -1 3．（25-26八年级下·北京通州·期中）若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 二、平行四边形 1.平行四边形的概念错误 错误：只说 “一组对边平行” 就当成平行四边形； 注意：两组对边平行即可证明是平行四边形； 4．（25-26八年级下·北京东城·期中）在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2.平行四边形的性质 错误：记混平行四边形的性质，以为对角线相等（那是矩形） 以为对角线互相垂直（那是菱形） 以为四个角都是直角（那是矩形） 注意：对边平行且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 5．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 3.平行四边形的判定 错误：记错平行四边形的判定定理； 注意：两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 6．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 三、特殊的平行四边形 1.矩形 错误：矩形的判定与性质不会运用 注意：矩形常考的一个点在于对角线相等，学生考试时容易犯错； 7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 2.菱形 错误：菱形的判定与性质不会运用 注意：菱形常考的一个点在于对角线垂直且平分，和菱形的面积计算问题 8．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 3.正方形 错误：正方形的判定与性质不会运用 注意：正方形是矩形、菱形结合的一个图形，具有矩形、菱形的所有性质，在做题时要注意正方形的对称性； 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）问题背景：点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系． （1）小云同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述线段的数量关系为 ，并补充证明过程； 变式迁移： （2）如图2，在菱形中，，点，分别在，上，且，，若，求的长； 拓展应用： （3）如图3，在中，，于，，，求的长． 四、三角形中位线 1.遇到中点不知道如何添加辅助线 错误：遇到中点不知道该做哪条辅助线； 注意：优先找到三角形，从这个三角形里边找到一个中点，看看组成的三角形的中位线能不能解决问题 10．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 五、中心对称图形和图形的旋转 1.中心对称图形 错误：不理解中心对称图形的概念，不会画中心对称图形 注意：中心对称图形指的是旋转180°后还能与原图形重叠的 11．（25-26八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． (1)已知线段，以格点为顶点作一个，使，，． (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形； (3)在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形，也是中心对称图形． 2.图形的旋转 错误：画图只画位置，不标旋转角、方向、中心； 只说 “旋转 90°”，不说顺时针还是逆时针； 旋转的性质记错； 注意：旋转中心（绕哪点转） 旋转方向（顺时针 / 逆时针） 旋转角（转了多少度） 12．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，，D是边上一点（点D不与点A，B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．（25-26九年级下·北京昌平·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京昌平·月考）欲证明右图四边形为菱形，下列条件中错误的是（   ） A．且， B．， C． D．且， 3．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在边上，连接，，是的中点，连接，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．10 6．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，将长方形纸片折叠，使边落在上，折痕为，且点落在点处，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．5 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 12．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长为，且四边形的周长为，则的长是_________． 13．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为________． 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 15．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，若阴影部分的面积为6，则______． 16．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___________． 17．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为______． 18．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为___________； （2）的最小值为___________． 19．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，将绕点按顺时针旋转到（点、、在同一直线上）的位置． (1)旋转中心是______，旋转角为______度； (2)若，求的大小． 20．（25-26八年级上·山东泰安·月考）已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 21．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 22．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 23．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若， ①求的长； ②求的长． 24．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）已知，，，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，则的长为______； (2)当点落在直线上时，求的长． 25．（2025·北京·模拟预测）如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 26．（25-26七年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 27．（25-26八年级下·全国·阶段练习）如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 四边形 知识点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 知识点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 知识点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 知识点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点07 中心对称与中心对称图形 类别 轴对称 中心对称 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1、对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2、成中心对称的两个图形全等； 3、只有一个对称中心. 1、有对称中心; 2、将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点08 旋转 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1、对应点到旋转中心的距离相等； 2、每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3、旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1、根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2、找出原图形的关键点； 3、连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4、按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 一、多边形 1.内角和外角和公式记错 错误：n 边形内角和公式记错，外角和记成随边数变化； 注意：多边形内角和公式：(n-2)×180°，任意多边形外角和 = 360°（与边数无关）； 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 2.n 边形对角线条数 错误：写成 n (n-1)/2（当成线段总数） 忘记除以 2 注意：公式：n(n-3)/2 2．（25-26八年级下·北京门头沟·期中）如果过多边形的一个顶点共有3条对角线，那么这个多边形的内角和是______度． 【答案】720 【分析】根据过多边形的一个顶点共有3条对角线，则这个多边形的边数是6，n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和． 【详解】解：∵过多边形的一个顶点共有3条对角线， ∴该多边形边数为6， ∴（6-2）•180°=720°， ∴这个多边形的内角和为720°， 故答案为：720． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线规律． 3.“截去一个角后，边数怎么变” 错误：一律认为少 1 条 注意：不过顶点：边数 +1；过一个顶点：边数不变；过两个顶点：边数 -1 3．（25-26八年级下·北京通州·期中）若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 二、平行四边形 1.平行四边形的概念错误 错误：只说 “一组对边平行” 就当成平行四边形； 注意：两组对边平行即可证明是平行四边形； 4．（25-26八年级下·北京东城·期中）在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 2.平行四边形的性质 错误：记混平行四边形的性质，以为对角线相等（那是矩形） 以为对角线互相垂直（那是菱形） 以为四个角都是直角（那是矩形） 注意：对边平行且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 5．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 3.平行四边形的判定 错误：记错平行四边形的判定定理； 注意：两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 6．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是△的中位线，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是△的中位线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即线段的长为6． 三、特殊的平行四边形 1.矩形 错误：矩形的判定与性质不会运用 注意：矩形常考的一个点在于对角线相等，学生考试时容易犯错； 7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 2.菱形 错误：菱形的判定与性质不会运用 注意：菱形常考的一个点在于对角线垂直且平分，和菱形的面积计算问题 8．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得出，即可得出结论； （2）先证△是等边三角形，得出，求出，再由勾股定理求出，然后由矩形得出，，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 3.正方形 错误：正方形的判定与性质不会运用 注意：正方形是矩形、菱形结合的一个图形，具有矩形、菱形的所有性质，在做题时要注意正方形的对称性； 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）问题背景：点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系． （1）小云同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述线段的数量关系为 ，并补充证明过程； 变式迁移： （2）如图2，在菱形中，，点，分别在，上，且，，若，求的长； 拓展应用： （3）如图3，在中，，于，，，求的长． 【答案】（1）：；（2）：；（3）：12 【分析】（1）如图1，过点A作，交的延长线于点．先证明，得到，，根据，，得到，进而证明，得到，即可证明； （2）：如图2，连，过点A作于点．先证明为等边三角形，进而证明 ，得到， ，再求出，根据勾股定理分别求出，，最后证明为等边三角形，即可得到； （3）：如图3，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G．由轴对称的性质证明四边形是正方形，设，则，即可求出，在中，根据勾股定理得到，解得（不合题意，舍去），即可求出． 【详解】解：（1）； 证明：如图1，过点A作，交的延长线于点， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：； （2）：如图2，连，过点A作于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴； （3）如图3，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G， ∵， 由轴对称的性质得，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判断，轴对称等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识，根据条件添加适当辅助线是解题关键． 四、三角形中位线 1.遇到中点不知道如何添加辅助线 错误：遇到中点不知道该做哪条辅助线； 注意：优先找到三角形，从这个三角形里边找到一个中点，看看组成的三角形的中位线能不能解决问题 10．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ． 五、中心对称图形和图形的旋转 1.中心对称图形 错误：不理解中心对称图形的概念，不会画中心对称图形 注意：中心对称图形指的是旋转180°后还能与原图形重叠的 11．（25-26八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． (1)已知线段，以格点为顶点作一个，使，，． (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形； (3)在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形，也是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，，，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （3）如图所示，取格点E、F，连接 ，则四边形是正方形，即轴对称图形，也是中心对称图形． 【详解】（1）解：如图；即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图所示，四边形即为所求； 此时四边形是正方形. 2.图形的旋转 错误：画图只画位置，不标旋转角、方向、中心； 只说 “旋转 90°”，不说顺时针还是逆时针； 旋转的性质记错； 注意：旋转中心（绕哪点转） 旋转方向（顺时针 / 逆时针） 旋转角（转了多少度） 12．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，，D是边上一点（点D不与点A，B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理． （1）由旋转知，，则，根据即可证明； （2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，，即，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：由旋转知，． ， ∴ ∴． 在和中， ， ； （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴，， ． 在中，，， ∴． 1．（25-26九年级下·北京昌平·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是准确判断每个图形的对称性． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项逐一判断；轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某一点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京昌平·月考）欲证明右图四边形为菱形，下列条件中错误的是（   ） A．且， B．， C． D．且， 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定，解决本题的关键是根据菱形的判定定理进行判断．菱形的判定定理有：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【详解】解：A选项：且， 四边形是平行四边形， 又， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B选项：，， ，， 不能证明， 不能证明四边形是菱形， 故B选项符合题意； C选项：， 根据四条边相等的四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D选项：且， 四边形是平行四边形， 又， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形， 故D选项不符合题意． 3．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在边上，连接，，是的中点，连接，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、中位线定理，掌握“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”、“方程思想”、“三角形的中位线长度等于第三边的一半”是解题的关键．设，则，在中，由勾股定理得，解得，即，根据、分别是、的中点，可得是的中位线，由中位线定理可知，． 【详解】解：设， ， ， 矩形中，， 中，由勾股定理得：，即， 解得：，即， 是的中点，矩形中， 是的中位线， ， 即线段的长为． 故选：． 5．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．10 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的定理得出，，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∵为定值， ∴当值最小时，取最小值， 如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， ∴，， 此时，， 即的最小值为的长度， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，轴对称的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 6．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，矩形的证明及性质，正方形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识，由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，将长方形纸片折叠，使边落在上，折痕为，且点落在点处，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴在中，． 设， 由折叠可得，，， ∴，， ， ∴在中，， 即 ， 解得， ∴的长为， 故选D． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键是利用中点性质和三角形面积关系进行推导． 通过连接，分析三角形面积之间的关系，从而得出阴影部分面积． 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点，， 是的中点，， ， ． 故选：B． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号，如图 ∴的最小值为， 故选：C． 11．（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 12．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长为，且四边形的周长为，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，周长的转化计算，通过证明三角形全等实现边的等量代换是解题关键． 利用平行四边形性质结合证，得，再结合平行四边形周长求出，然后将四边形周长转化为，进而解得． 【详解】解： 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 平行四边形的周长为， ，即， 四边形的周长为， ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据平行四边形的性质得到，可证明得到，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线与交于点O，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转角相等，解答即可． 【详解】解：根据旋转角相等，得， 故旋转中心可能是点B， 故答案为：B． 15．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，若阴影部分的面积为6，则______． 【答案】12 【分析】本题考查了正方形的面积，平方差公式的应用，解决本题的关键是由阴影面积表示a与b ． 根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 可得，解得． 故答案为：12 ． 16．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 过点作轴于点D，证明，再利用全等三角形的对应边相等求解． 【详解】解：∵点， ∴， 过点作轴于点D，则 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线；先根据矩形的性质得到四个角是直角，根据三个是直角的四边形是矩形，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质得到线段的长度，进而运用勾股定理即可解决问题； 【详解】解：如图，延长交于点， 在正方形中， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 同理得：四边形是矩形， 四边形是矩形； ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， 在中， ∴， 故答案为：5． 18．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，线段最值问题，轴对称的性质以及勾股定理，根据动点的特征判断运动轨迹是解题关键． 19．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，将绕点按顺时针旋转到（点、、在同一直线上）的位置． (1)旋转中心是______，旋转角为______度； (2)若，求的大小． 【答案】(1)点， (2) 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定，证明为等腰直角三角形是解答的关键． （1）利用旋转性质可知旋转中心为点，然后旋转角为，利用角度和差关系求出即可； （2）先证得为等腰直角三角形，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵绕点按顺时针旋转到， ∴旋转中心为点，旋转角度为， ∵将绕点A按顺时针旋转到， ∴， ∴，即， 故答案为：点，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∵将绕点A按顺时针旋转到，旋转角为， ∴，为等腰直角三角形， ∴． 20．（25-26八年级上·山东泰安·月考）已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明，可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论； （2）由勾股定理可求，的长，由矩形的性质和勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∴点，点，点三点共线， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解： ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．证明三角形全等是解题的关键． 22．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，当______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定； （1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）先证明四边形是菱形，进而可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； 若四边形是正方形，则， 又四边形是菱形， ， ， ∴ 故答案为：． 23．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2 ② 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 对于（1），根据菱形的性质得，再结合得出四边形是平行四边形，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论； 对于（2），①根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案； ②，先根据菱形的性质得出，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：①∵四边形是菱形， ∴． 在中，， ∴； ②∵四边形是菱形，且， ∴，． 在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得, 即， 解得． 24．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）已知，，，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，则的长为______； (2)当点落在直线上时，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）分两种情况：当点落在线段上时；当点落在的延长线上时；分别利用旋转的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴； （2）解：如图：当点落在线段上时， ， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点落在的延长线上时， ， 此时， ∴； 综上所述，的长为或． 25．（2025·北京·模拟预测）如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 26．（25-26七年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 27．（25-26八年级下·全国·阶段练习）如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由结论见解析 (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对角线互相平分的性质得，再由的关系推出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论； （2）同理（1），通过推出，结合判定平行四边形，再总结一般比例下的结论； （3）利用角平分线和平行线的性质得，结合平行四边形性质推出垂直平分，进而得，再由判定为等边三角形，求出边长后计算周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． 由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形． （3）解：在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 垂直平分， ． ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定，掌握平行四边形的对角线性质、对角线互相平分的四边形是平行四边形及角平分线与平行线结合得等腰三角形的技巧是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $