第27章 相似 章末复习-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

章末 即考点整合 >>>>>>>>>>综合运用 考点一：相似多边形 1.小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手 工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边 三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案 花边的宽度都相等，则每个图案中花边的内外 边缘所围成的几何图形不相似的是() A B 2.（重庆中考)制作一块3m×2m的长方形广 告牌的成本是120元，在每平方米制作成本 相同的情况下，如果将此广告牌的四边都扩 大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌 的成本是( A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 考点二：平行线分线段成比例的应用 3.如图，ABCD/EF,AF交BE于点G,若AC= CG,AG=FG,则下列结论错误的是( ) DG 1 DG 1 A BG2 B.BE3 C.CR-3 CD 1 D.EF2 A B D E E 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD: DC=1:2,O是BD的中点，连接AO并延长 交BC于点E.若BE=3,则BC的长 为() A.8 B.12C.16 D.4.5 第二十七章相似☑ 复习 5.(泸州中考)如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在边AD,CD上，AF,BE相交于点 G.若AE=3ED,DF=CP,求架的值 考点三：相似三角形的判定 6.如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,BC= 8,AC=4.沿虚线剪下的阴影部分的三角形 与△ABC相似的是( ) 7.如图，在△ABC中，P为AB上一点，连接 CP.若再添加一个条件使△APC与△ACB 相似，则下列选项中不能作为添加条件的 是() 视频讲解 A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB C.AP:AC-AC:AB D.AP:AB-PC:BC 做神龙题得好成绩 59 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC 的中点，CE⊥AD,垂足为点E. (1)求证：CD2=DE·AD. (2)求证：∠BED=∠ABC. 考点四：相似三角形的性质 9.如图，在△ABC中，中线BE,CD相交于点O,连 接DE,下列结论：① DE_1, BC =:②>△oE=1 SACOB 架需片其确的 A.1个B.2个C.3个D.4个 D 0 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4.点 O在BC上，OC=2,以点O为圆心，OC长 为半径的圆恰与AB相切于点D,交BC于 点E,则BE的长为() A号R C.1 60 做神龙题得好成绩 11.(铜仁中考)如图，四边形ABCD为菱形， AB=2,∠DAB=60°，点E,F分别在边 Dc,BC上，且cE=CD,CF=CB,求 △CEF的面积. D 12.[推理能力]如图，在△ABC中，BC的垂直 平分线分别交AB,BC于点D,E.连接CD, AE交于点F,且AC=AE (1)求证：△ABCC∽△FCE. (2)若BC=6,DE=2,求△FCE的面积. 考点五：相似三角形的应用 13.《九章算术》中记载了一种测量 D 古井水面以上部分深度的方法。 如图所示，在井口B处立一根 垂直于井口的木杆BD,从木杆 的顶端D观察井水水岸C,视线 DC与井口的直径AB交于点 E.如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE= 0.2米，那么古井水面以上部分深度AC= 米 14.[模型观念]如图，某水平地面上建筑物的高 度为AB,在点D和点F处分别竖立高是 2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米，并 且建筑物AB和标杆CD、标杆EF在同一 竖直平面内.从标杆CD后退2米到点G 处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点 H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶 端E在同一条直线上，求建筑物的高. 考点六：位似图形 15.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O 是位似中心.若OA=2AA',S△4c=8,则 S△A'BC= 第二十七章相似☑ 16.如图，四边形ABCD是正方形，原点O是四 边形ABCD和A'B'CD'的位似中心，点B, C的坐标分别为（一8,2），（一4,0），点B'是 点B的对应点，且点B'的横坐标为一1，则 四边形A'B'CD'的周长为 。 视频讲解 17.如图，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0), A(-2,-1),B(-1,-3),△O1A1B1与 △OAB是以点P为位似中心的位似图形. (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出 点P及点B的对应点B1的坐标 (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同 侧画出△OAB的位似△OA2B2,使它与 △OAB的相似比为2：1，并写出点B的对 应点B2的坐标 0 0 B B 做神龙题得好成绩(61 /同行学案学练测数学九年级下RJ 即数学思想 >>>>>>>>>>>>>>>>>>> 核心素养 思想一：分类讨论思想 18.如图，在△ABC中，AC=6,AB=4,点D与 点A在直线BC的同侧，且∠ACD= ∠ABC,CD=2,点E是线段BC延长线上 的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段 CE的长为 视频讲解 19.在△ABC中，AB=6cm,AC=5cm,点D, E分别在AB,AC上.若△ADE与△ABC 相似，且S△ADE:S四边形BCED=1:8,则AD cm. 思想二：方程思想 20.(毕节中考)如图，在一块斜边长为30cm的 直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正 方形CDEF,点D在边BC上，点E在斜边 AB上，点F在边AC上.若AF：AC= 1:3,则这块木板截取正方形CDEF后，剩 余部分的面积为( ) B D A.100 cm2 B.150cm2 C.170cm2 D.200cm2 思想三：建模思想 21.[模型观念]如图①是夹文件用的夹子在常 态下的侧面示意图（该图形是轴对称图形）. AC,BC表示夹子的两个面，O点是支点， OD⊥AC于点D.已知AD=15mm,DC= 24mm,OD=10mm,试利用图②，求图①中 62做神龙题得好成绩 A,B两点的距离 B 10 mm 0 15 mm 24 mm' D ① ② 思想四：转化思想 22.[推理能力]（通辽中考）如图，在△ABC中. ∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O 为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D, 连接CD (1)求证：∠ABC=2∠ACD. (2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径.&:△ABC0△ACD,是-S=号，AB= 4.(1)证明：：OB平分∠A0C,·∠B0E=?∠A0C 00的半径为票 25 OC=OD,∴∠D=∠OCD..∠AOC=∠D+∠OCD, ∠D=号∠A0C,∠D=∠0E,且∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABO.(2)解：：EF切⊙O于点E, ∴∠OEF=90°.，EF∥OC,∴.∠DOC=∠OEF=90°. OC=OD=3,.CD=√OC2+OD=32.△ACD 2.(1)证明：如图，连接BF,则∠AFB=∠C.:∠C=∠E, ∴∠AFB=∠E,∴.BFDE.:DE为⊙O的切线，AD为 △A0,8-品+98 3 2,AE=32. ⊙O的直径，AD⊥DE,∴.AD⊥BF,AD平分BF, 即c5股…gF-6 A000, ∴AB=AF.(2)解：如图，连接BD,则∠C=∠ADB. 3√2. :∠C=∠E,∴∠ADB=∠E.AD为⊙O的直径， ∠ABD=90°，.∠ABD=∠ADE,.△ABD 培优专题15：滚动提升一反比例函数 △ADE,8-是AB=5AD-要AE= 图象上的相似三角形 16在 R△ADE中，DE=VAB-AD-得线段DE的长 1解：设点A的坐标为。，)，则点B的坐标为（偿，兰） AB,/z轴，△ACBn△DC0.:AC=2CD,:AS DO 75 为6 AC DC=2.OD=a,AB=2a,点B的横坐标是3a, 3a空，解得k=6 2.解：连接AC,BD,过点B作BM⊥y轴于点M,过点C作 CN⊥y轴于点N,如图所示，则有∠BMO=∠ONC=90°， ∴.∠MBO+∠MOB=90°.在菱形ABCD中，AC⊥BD. 3.(I)证明：：AD=BD,∠ACD=∠BCE.:∠ADC= “菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=兰和y ∠EBC,∴.△ACD∽△ECB.(2)解：如图，过点B作BH ⊥CD于点H.,AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=∠ADB= 的图象上，∴A与C,B与D关于原点对称，一AC, x 90°.在Rt△ACB中，AB=√BC2+AC=√12+32= BD经过点O,.∠BOC=90°，.∠MOB+∠NOC=90°， √/1O.∠ACD=∠BCD=45°，∴.∠ABD=∠BAD= .∠NOC=∠MBO,.△BOM∽△OCN,.S△M· 45,△ABD为等膜直角三角形，BD-号AB-竖× SAOCN OB OC “点B,C分别在反比例函数y=是和) 2 √10=√5.在Rt△BCH中，∠BCH=45°，∴.CH=BH x 的图象上，∴.S△0M:S△ocw=2:5,∴.OB:OC= -号c-号 .在Rt△BDH中，DH=√BD-BH= √2：√5.设OB=√2x,OC=√5x,,菱形边长为√7，根据 勾股定理，得2x2+5x2=7,解得x=1,.OB=√2，OC= √5-(-2cD-cH+DH-号+9 2 厅，BD=22,AC=25,∴菱形ABCD的面积为2× 2√2.△ACD∽△ECB,.CA:CE=CD:CB,即3： 2√2×2W5=2√/10， CB=22:1,解得cE-3即CE的长为3号 0 3.解：(1)如图，连接OP.,四边形PDOC是矩形，∴.SAOCP= Sam=令，∠0CA=∠0DB=∠CPD=90:点A在双 -层，C-2子-任解得-9或 曲线)=2上，So0e=Sm=分×2=1，Se =-2(合去).0B=号∴BE=0B-0E-9-2 6+1+1=8,.k=8.(2)△PAB与△PCD相似.理由如 下：如图，：SA0CP=SA0P,SA04Ac=S△OBD,.S△O4P= m3.PB PC-3, 专PAPm=pm·C=PA,m器隐 又，∠APB=∠CPD,∴.△PAB∽△PCD. 11.解：，四边形ABCD为菱形，AB=2,∠DAB=60°，.AB =BC-CD=2.ZDCB-60.CE-CD,CF- 号CB,CE=CF=号，△CEF为等边三角形，易求 章末复习 SAc Γ9 1.C2.C3.B4.B 12.(1)证明：，DE是BC垂直平分线，BD=CD, 5.解：如图，作FN∥AD,交AB于点N,交BE于点M.,四 边形ABCD是正方形，.AB∥CD.,FN∥AD,.四边形 .∠DBC=∠DCB.AE=AC,∴.∠AEC=∠ACB, ANFD是平行四边形.：∠D=90°，∴.四边形ANFD是 △ABCn△FCE.(2)解：△ABCD△FCE,AE】 矩形.AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB= CD=FN=4a,AN=DF =2a.AN BN,MN //AE, CE BCAC=2FE.AC-AE,.AE -2FE, 1 BM=ME,∴MN=号a,iPM=号a.AE∥FM, .EF=AF,∴.S△AC=SAcE,S△ADF=SAED.,BC=6, 5 DE=2,SAr=3Sae=3X2×3X2=9.△rCE a △ABc-(院)-（侣}-sm 1 X9= 9 4 4 13.7 6.B7.D 14.解：，CD⊥BH,EF⊥BH,AB⊥BH,∴.CD∥EF∥AB, 8.证明：(1)：CE⊥AD,∴∠CED=∠ACB=90°.∠CDE AFFHAABH,-ACIG.器器8器 =∠ADC,∴.△CDEp△ADC,.CD:AD=DE:DC, ∴CD=DE·AD.(2)D是BC的中点，.BD=CD. CD=E,小瓷-品DF=2米，FH= DG ,CD2=DE·AD,.BD2=DE·AD,.BD:AD= 4米，CD=DG=EF=2米，BD+2=BD+52+4' 2 4 DE:BD.又∠ADB=∠BDE,.△BDE∽△ADB, ∴.∠BED=∠ABC. 9.C BD-2米品2异2AB=5米，即建筑物的 10.B[解析]如图，连接OD.:AB切⊙O于点D,.OD⊥ 高为54米. AB,∠ODB=∠ACB=90°.∠B=∠B,△BOD∽ 15.1816.5 △BAC,92-设设0B=,则BD=O8-0D 17.解：(1)点P的位置如图所示，P(-5,一1)，B1(3,-5). 同行学案学练测·19· (2)如图所示，△OA2B2即为所求，B2(一2，一6) (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=OC=r,OA=8一r.在 Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,AB= √6+8=10.：∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB, 01 △A0D0△ABCC铝即台-8若解得， 3,即⊙0的半径为3. B 直击中考 1.B2.D3.C4.A5.C6.B7.C8.C9.B 183或号 10.A1.号 12.(80√5-160) 1 13.1:314.2015. 19.2或号 [解析]'，SAADE:S网边形CED=1:8,.S△ADE: 16.①②③[解析]由题意可知，AC=AB,AD=AD', ∠CAD=∠BAD',∴.△ACD≌△ABD'(ASA),故①正 S△ABc=1:9,∴△ADE与△ABC相似比为1：3.①若 ∠AED对拉∠B时，则把=号：AC=5mAD= 确.AC=AB,AD=AD,∠BAC=∠D'AD=0,A =AB 号m:②当∠ADE对应∠B时，则把=子：AB= D,△ACB∽△ADD',故②正确.：△ACBn 6cm,.∴.AD=2cm. △ADD',SAm S△ACB (C.:当AD LBC时，AD最 20.A[解析]设AF=xcm,则AC=3xcm.,四边形 小，△ADD'的面积取得最小值，而AB=AC,∴.BD= CDEF为正方形，.EF=CF=2xcm,EF∥BC, CD,.当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值，故③ AA8AABC既=怎-c=6m在 正确。 17.解：：四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm,∠ABC Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2,即302=(3x)2+(6.x)2, =∠C=90°，AB∥CD,∴.∠ABD=∠BDC.AE= 解得x=2√5（舍负数），∴AC=65cm,BC=12√5cm, 2cm,.BE=AB-AE=6-2=4(cm).,G是EF的中 CPF=45cm,心剩利余部分的面积=号×125X6v5- 点，∴.BG=BG=2EF,∴∠BEG=∠ABD,∠BEG 4V5×4V5=100(cm2). 21.解：如图，连接AB,与CO的延长线交于点E,则CE⊥ ∠BDC△EBFn△B,-器告-g, AB,AE=EB.:∠AEC=∠ODC=90°，∠OCD是公共 ∴BF=6cm,∴.EF=√JBE2+BFz=√42+62= 角，.RtAAFCR△0DCS-长又：0C 2B(cmBG=号EF=Vcm √OD2+DC=√102+24=26(mm),.AE= 18.(1)证明：DF∥AB,DE∥BC,∴.∠DFC=∠ABF, AC·OD_39×10 ∠AED=∠ABF,∴.∠DFC=∠AED.又，DE∥BC, OC 26 =15(mm),.AB=2AE=30mm. ∠DCF=∠ADE,∴.△DFC∽△AED.(2)解：，CD AC,贯-由a淘ADFCAAPD.做 贯)-（号）》= 22.(1)证明：如图，连接OD.AB为⊙O的切线，∴.OD⊥ 19.(1)证明：AB为⊙O的直径，∴.∠ACB=90°.BE⊥ AB,∴.∠ODA=∠ODB=90°..∠ACB=90°，.∠ABC CD,∠BED=9O°.：BC所对的圆周角为∠BDE和 +∠COD=180°.，∠AOD+∠COD=180°，∴.∠ABC= ∠BAC,.∠BDE=∠BAC,△DBE∽△ABC ∠AOD.,∠AOD=2∠ACD,∴.∠ABC=2∠ACD. (2)解：如图，过点C作CG⊥AB,垂足为G.,∠ACB= ·20·同行学案学练测 90°，AC=√5，BC=2√5，.AB=√AC2+BCz=5. 过点D作DG⊥BC于点G.,'∠DCB=45°，.GC=GD CGLAB,AG-ACA-x-AF-2 号c0-反.由(2)可知C-CE·CF,CE-票 ∴.FG=AG=1,∴.AC=FC,∴.∠CAF=∠CFA= = 22.:∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG, ∠BFD=∠BDF,∴.BD=BF=AB-AF=5-2=3. ADBETAAR小8-.号-爱E △ECn△DNG小S-需即2G-22解 NG√2 =35 得NG= 3,由勾股定理，得DN=VDG+NC=25 3 5 J D 第二十八章锐角三角函数 20.(1)证明：如图，在矩形ABCD中，OD=OC,AB∥CD, 28.1锐角三角函数 ∠BCD=90°，∴∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°.DE= 第1课时正弦 BE,∴.∠1=∠2.又BE平分∠CBD,∴.∠1=∠6， ∴.∠3=∠6，∴∠6+∠5=90°，.BF⊥AC.(2)解：示 ①B2.B3.B4.(10C(2)53)日 例：与△OBF相似的三角形有△BAF,△ECF,理由：由 (1)可得∠1=∠4，BF⊥AC,.∠AFB=∠BFO=90°， 5A6号 .△BAF∽△OBF.,'∠1=∠3，∠EFC=∠BFO, ∴△ECF△OBF.(3)解：由(2)可知，△ECF 5BC= 7,解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=4,sinA= △0Br,E-儒号-儒即scF=2BF,sCF AB·mA=长，由勾股定理，得AC=VB-BC- 5 +OF)=3CF+9=2BF+9,.3OA=2BF+9①. S△ABC=- Ac·C=gAB·c0.cDAc.BC AB △BAPn△0BP,g=-g器BF=OF·A, 48 251 ∴.BF2=3(OA+3)②.联立①②，可得BF=1+√19 (负值舍去)，.DE=BE=2+1+√19=3+√/19. 6 4 A B 21.(1)证明：∠ACB=90°，AC=BC,CD是中线， 8D9D10.D11.B12.A13. 10 ∴.∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°， 14.解：(1)证明：在矩形ABCD中，BC=AD,AD∥BC,∠B ∴.∠DCE=∠DCF=135°.在△DCE和△DCF中， =90°，∠DAF=∠AEB.DF⊥AE,∴∠AFD=90°， CE=CF .∠B=∠AFD.AE=BC,.AE=AD.△ABE≌ ∠DCE=∠DCF,∴.△DCE≌△DCF(SAS),∴.DE= △DFA(AAS).(2)由(1)知△ABE≌△DFA,∴.AB= DC-DC DF=6.在直角△ADF中，AF=√AD2-DF= DF.(2)证明：：∠DCF=135°，∴∠F+∠CDF=45° √I02-62=8,∴.EF=AE-AF=AD-AF=2.在直角 ∠FDE=45°，.∠CDE+∠CDF=45,.∠F= ∠CDE.,∠DCF=∠DCE,∠F=∠CDE,∴.△FCD △DFE中，DE=√DF2+EF=√62+2=2√10， △E需-是CD-CEC。8海知图， m☑EDr-E-、2=西 DE2√/1010