27.2.2 培优专题9：巧用基本模型探索三角形相似-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

11.解：，动点P从点A开始沿AB运动，速度为2cm/s,动 17.(1)证明：，AC平分∠BAD,∴.∠DAC=∠CAB. 点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s,.AP= 2t cm,BP =(8-2t)cm,BQ=4t cm..PBQ= ∠ADC=∠ACB=90,△MDC△ACB,∴A2 ∠ABC当铝-瓷时，△BPQn△BAC,即8g- AC=AB·AD.(2)解：AC=AB·AD,AC AC 8 片得=2当积-器时，△Q8rv△BC,语 BC BA -5,AB=2AD-S--是：∠ACB AB 2 g,解得t=0.8.即经过2s或0.8s时，△QBP与 90,E为AB的中点，EA=BC=EB=号AB=号×2 △ABC相似，.t的值为2或0.8. =1,∠EAC=∠ECA.AC平分∠DAB,∴∠DAC= 第3课时相似三角形的判定(3) ∠CAE,∴.∠DAC=∠ECA.∠AFD=∠CFE, 1.D2.C 3 3.C[解析]与△AEC相似的是△ADB,△FEB,△FDC, AAFDACFE,能-2-言-是 共3个. 27.2.2相似三角形的性质 4.C[解析]△ECA∽△EDB,△EDC△EBA,△ADP∽ 1.B2.B3.6cm △BCP,△ABP△DCP,共4对相似三角形. 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.∠BAF= 4385.D6.C7.4em8是9(1C(22 ∠AED,且∠C+∠D=180°.又，∠BFE+∠BFA= 10.C[解析]点A的坐标为(4,3)，∴.OA=√32十4=5， 180°，∠BFE=∠C,.∠BFA=∠D,.△ABF ∽△EAD. 0B=-0A=5,Saw=号×5X8=岁.：将△A0B 6.(1)3(2)55°7.B 沿x轴向右平移3个单位长度得到△A'OB',∴.OO=3, 8.(1)△ACD∽△CBD,△ACD∽△ABC,△CBD∽△ABC OB=2.由平移可知OA'∥OA,.△O'BC∽△OBA, 2压86w唱号 SAO SAOBA 归纳总结：(1)相似(2)AB·ADAB·BDAD·BD 4×15 6 9.B10.B11.A12.A 25X2 5 18.2厄或竖1419 11.(1)C (2)D[解析].NQ∥MP∥OB,∴.△ANQ∽△AMP∽ 15.12或16或21 16.证明：(1)，四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角 △40B,:M.N是O4A的三等分点然-日A 三角形，∴.∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD,DE=DF, 1 ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,∴∠ADE= 3,.令M=4.四边形MNQP的面积为3， (DE-DF S△Q=1, 2Sa4SAMo=L·S月 AAO ∠CDF.在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF, AD-CD .S△A0B=9,.k=2S△A0B=18. △ADE≌△CDF(SAS).(2)如图，延长BA交ED 12.(1)证明：DE∥AC,.∠DEB=∠FCE.EF∥AB, 于点M.·△ADE≌△CDF,∴.∠EAD=∠FCD,即 ∴.∠DBE=∠FEC,∴.△BDEP△EFC. ∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF.:'∠MAD= 2解，①EFAB既-能-子：BC=C-BE ∠BCD=90°，∴.∠EAM=∠BCF.,∠EAM=∠BAG, =12-BE∴2E号解得BE=4②品 BE 1 .∠BAG=∠BCF,,∠AGB=∠CGF,.△ABG ∽△CFG. -景EAB,△EPCABAC,S 1 ()=(号)=号S=5=×20 =45. 13.解：(1)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽△ABC, 瓷铝瓷-，解得x-9PN=2 4这个矩形零件的两条边长分别为 40 9.(1)证明：，∠BCE=∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE= 7 mm, ∠ACD+∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D, 480 (2)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽ .△ABCn△DEC.(2)解：△ABCn△DEC, △ABC,小-铝器-0鄉得PN=120- SAABC :SbDc )°-又：Bc=6,c-9 ACEA 8xs=020-号)=-号x2+120x= 3 3 10.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.∠BCD=90°， 2(x ∠ACB=∠ACD=45°.：EG∥BC,EF∥CD,.四边形 40)2+2400,∴.当x=40时，即PQ=40mm,PN= EFCG是平行四边形.又，∠FCG=90°，∴四边形EFCG 60mm时，矩形面积最大，∴.达到最大值时矩形零件的两 是矩形，.EF⊥BC,EG⊥CD,.EF=EG(角平分线的 条边长分别为40mm,60mm. 性质)，∴.四边形EFCG是正方形.(2)解：：四边形 培优专题9：巧用基本模型 探索三角形相似 ABCD,EFQG春是正方形，S-器-，∠ACD 1.22.32 ∠ECG=45°，∴.∠ACE=∠DCG,.△ACE△DCG, 2 3.解：四边形ABCD是菱形，.DC∥AE,.△DFC∽ 品瓷- AAFEBE-ABAB-3BE6.AE 27.2.3相似三角形应用举例 1.A2.5.53.8.5 =9703-gDr=1.5AF=AD+DF=3+ 4.A5.1006.D7.6m8.2000 3 1.5=4.5. 9.解：如图，过点C作CD⊥MN于点D,延长CD交A'B于 4△MCB5号6告 4 点E,则ABMN∥A'B',∴.CE⊥A'B',∠MNC=∠A'B'C, 7.18[解析]如图，连接AC.,菱形ABCD∽菱形AEFG, ∠NMC=∠BAC,△MCO△ABC,是 ∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC,△ABC是等边 .'CE=5 m,DE=3 m,AB'=AB=0.8 m,.'.CD=CE- 三角形，∴.∠ACB=60°.设AB=BC=AC=a,则BH=a -14,BG=a-6.,∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG DE=2m=号MN=02,答：藏长NMN至少 +∠CAG,∠AGH=∠ACG=60°，∴.∠BGH=∠CAG. 为0.32m. ∠B=∠ACG.△GH∽△CG,答-8器 CG A E W B .a6=414,.a2-20a十36=0，解得a=18或a= a 10.解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边 2(舍去)，∴.AB=18,即菱形ABCD的边长为18. 长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长 E 的条件，故方案三不可行.选方案一.，∠ECD=∠ACB, ∠EDC=∠ABC,△ABcn△EDC,部-瓷. AB=BCED=1.5BC.设BC=Em,则AB= DC 8.证明：(1)：∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,.∠BAC= 1.5xm同理可得△ABF∽△GHF,AB=BF "GH=HF··AB ∠ADB=90°，∴.∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=90°， =1.5x m,BF=CF+BC=(4+x)m,GH=1.5 m,FH ∠BAD=∠C.E是AC的中点，.DE=CE,∠C= ∠EDC.:∠EDC=∠BDF,∴∠BAD=∠BDF.:∠F =15m,号-出若解得2=8，AB=15 =∠F,∴.△DFB∽△AFD.(2)由(1)知∠BAD=∠C. 12m. ∠ADB=∠ADC.△ABD△CAD,÷A8-船 27.3位似以 △DFB△AFD,船-REA把-R,即AB: 第1课时位似图形 AC=DF AF. 1.B2.D3.B4.C5A6,号 同行学案学练测·17·培优专题9：巧用基本 模型一：8字型 1.（盐城中考)如图，BC∥DE,且BC<DE, AD=BC=4,AB+DE=10,则A怨的值 为 E B 2.如图，在菱形ABCD中，AB=3,AF⊥BC于 点F,FC=2,AF与BD交于点N,则AN= B F 模型二：平行线型 3.如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB 到点E,使BE=2AB,连接EC并延长交AD 的延长线于点F.求AF的长. 第二十七章相似了 模型探索三角形相似 数 模型三：一线三垂直 素 养 4.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边 AD上，现将矩形折叠，折痕为BN,点A对应 的点记为点M.若点M恰好落在边DC上， 象 则图中与△NDM一定相似的三角形 是 运算 几何直观 空 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥ BC,点E在AB上，∠DEC=90°.若AD=1, 念 BC=3,AE=2,则BE= 0 数据观 模型 模型四：一线三等角 6.如图，△ABC是等边三角形，AB=6.点D和 应 E分别在边BC和AC上，且∠ADE=60°， 意 BD=2,则CE的长为 创 新 识 B D 7.如图，菱形ABCD∽菱形AEFG,菱形AEFG 的顶点G在菱形ABCD的边BC上运动，GF 与AB相交于点H,∠E=60°.若CG=6, AH=14,则菱形ABCD的边长为 E 视频讲解 做神龙题得好成绩45 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 模型五：子母型 学 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D,E是AC的中点，ED的延长线交AB 的延长线于点F, (1)求证：△DFBの△AFD (2)求证：AB:AC=DF:AF. 象能力·运算能力 几何直观· 空间观念· 推理能力 数据观念 模型六：旋转型 9.(黄冈中考)如图，在△ABC和△DEC中， 模型观 ∠A=∠D,∠BCE=∠ACD (1)求证：△ABCp△DEC. (2)若S△ABc:SADc=4:9,BC=6,求EC 应用意识 的长 D 创新意识 A 46 做神龙题得好成绩 模型七：旋转型（手拉手模型） 10.如图①，四边形ABCD是正方形，点E是对 角线AC上一点（点E不与点A,C重合）， 过点E作EF∥CD,交BC于点F,作EG∥ BC,交CD于点G (1)求证：四边形EFCG是正方形 (2)如图②，将四边形EFCG绕点C顺时针 旋转a0<a<90),造接AE,DG,求裙 的值.