27.2.1 第3课时 相似三角形的判定(3)-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

☑同行学案学练测数学九年级下RJ 第3课时相似三 (教材P35 温馨提示：请同学们准确理解本课时归纳的模型与解 即基础闯关 >》>>>》>>>难度等级基础题 知识点一：利用“两角分别相等”判定三角形相似 1.如图，点P在△ABC的边AC上，要判定 △ABPp△ACB,添加一个条件，不正确的 是() A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.AP_AB D.AB_AC ·ABAC BP CB 第1题图 第2题图 2.[共角模型]（赤峰中考）如图，D,E分别是 △ABC边AB,AC上的点，∠ADE= ∠ACB.若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的 长是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.[双垂型]如图，在△ABC中，高BD,CE相交 于点F.图中与△AEC一定相似的三角形（不 包括△AEC)有( ) A.1个 B.2个C.3个 D.4个 B 第3题图 第4题图 4.[8字模型·考点整合]如图，点A,B,C,D在 同一个圆上，弦AC,BD相交于点P,AD,BC 的延长线交于点E,则图中相似三角形共 有() A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 40做神龙题得好成绩 角形的判定（3) 36练习) 题技巧，以便在解答其他试题时灵活应用！（详见P4) 5.[等角转换]如图，在□ABCD中，E为DC上 一点，连接AE,F为AE上一点，且∠BFE= ∠C.求证：△ABFp△EAD. 知识点二：直角三角形相似的判定 6.[一题多辨·比例中项](1)如图①，已知 ∠ACB=∠ADC=90°，AD=2,CD=√2，当 AB的长为 时，Rt△ABC∽ Rt△ACD. ① ② (2)如图②，AB是⊙O的直径，BE是⊙O的 切线，△ACD内接于⊙O,连接AE.若 ∠ADC=125°，AB2=AE·AC,则∠E的度 数为 7.如图，点A,B,C,D的坐标分别是(1,7)，(1， 1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形 与△ABC相似，则点E的坐标不可能 是() 7 A.(6,0) 6 5 B.(6,3) C.(6,5) 32 D.(4,2) B 01234567x 8.[数学模型·教材深挖]如图，在Rt△ABC 中，CD是斜边AB上的高. (1)找出图中的相似三角形： (2)若AD=5,BD=3,则CD= (3)若BC=4,BD=2,则AD= (4)若AC=4,BC=3,则AD= 归纳总结：结合上面的题目，我们可以得 到以下结论： (1)直角三角形被斜边上的高分成的两个 直角三角形和原三角形 (2)AC2= ,BC2= CD2= 温馨提示：以上结论可以在选择题或填空 题中直接使用！ 即能力提升 >>>>>>>>>难度等级中等题 9.[双等腰直角三角形模型]将两个完全相同的 等腰直角△ABC与△AFG按如图所示的方 式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三 角形是() A.△AE℃与△ADBB.△ABE与△DAE C.△ABC与△ADED.△AEC与△ADC 第9题图 第10题图 10.[双等边三角形]如图，△ABC与△BDE都 是等边三角形，点D在边AC上（不与点A, C重合)，DE与AB相交于点F,那么与 △BFD相似的三角形是() A.△BFE B.△BDA C.△BDC D.△AFD 第二十七章相似☑ 11.[一线三等角]如图，P为线段AB上一点， AD与BC交于点E,∠CPD=∠A=∠B, BC交PD于点F,AD交PC于点G,则下 列结论中错误的是() 0 视频讲解 A.△CGE△CBPB.△APDO△PGD C.△APGp△BFPD.△PCFC∽△BCP 12.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6, AC=9.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下 的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 人78° 78° B C B C D 13.[分类讨论思想]如图，在正方形网格中，点 A,B,C,D都是格点，点E是线段AC上一 点.如果AD=1,那么当AE= 时， 以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似. G B M 第13题图 第14题图 14.[一线三垂直]如图，正方形ABCD中，M为 BC上一点，ME⊥AM,ME交AD的延长线 于点E,交DC于点G.若AB=12,BM=5, 则DE的长为 做神龙题得好成绩 41 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 15.[分类讨论思想]如图，△ABC是边长为 7cm的等边三角形，BD=6cm,CE=2cm, P为BC上动点，以0.25cm/s的速度从点 B向点C运动，假设P点运动时间为ts,当 t s时，△BDP与△CPE相似， D 视频讲解 分 16.[推理能力]如图所示，正方形ABCD的顶点 A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上， EF与BC相交于点G,连接CF, (1)求证：△ADE≌△CDF. (2)求证：△ABGp△CFG 2 做神龙题得好成绩 即培优创新>>>>>难度等级综合题 17.[直角三角形螺旋型]如图，在四边形ABCD 中，AC平分∠BAD,∠ADC=∠ACB= 90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F. (1)求证：AC2=AB·AD. (②)若AC=5A=2,求径的值 D11.解：，动点P从点A开始沿AB运动，速度为2cm/s,动 17.(1)证明：，AC平分∠BAD,∴.∠DAC=∠CAB. 点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s,.AP= 2t cm,BP =(8-2t)cm,BQ=4t cm..PBQ= ∠ADC=∠ACB=90,△MDC△ACB,∴A2 ∠ABC当铝-瓷时，△BPQn△BAC,即8g- AC=AB·AD.(2)解：AC=AB·AD,AC AC 8 片得=2当积-器时，△Q8rv△BC,语 BC BA -5,AB=2AD-S--是：∠ACB AB 2 g,解得t=0.8.即经过2s或0.8s时，△QBP与 90,E为AB的中点，EA=BC=EB=号AB=号×2 △ABC相似，.t的值为2或0.8. =1,∠EAC=∠ECA.AC平分∠DAB,∴∠DAC= 第3课时相似三角形的判定(3) ∠CAE,∴.∠DAC=∠ECA.∠AFD=∠CFE, 1.D2.C 3 3.C[解析]与△AEC相似的是△ADB,△FEB,△FDC, AAFDACFE,能-2-言-是 共3个. 27.2.2相似三角形的性质 4.C[解析]△ECA∽△EDB,△EDC△EBA,△ADP∽ 1.B2.B3.6cm △BCP,△ABP△DCP,共4对相似三角形. 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.∠BAF= 4385.D6.C7.4em8是9(1C(22 ∠AED,且∠C+∠D=180°.又，∠BFE+∠BFA= 10.C[解析]点A的坐标为(4,3)，∴.OA=√32十4=5， 180°，∠BFE=∠C,.∠BFA=∠D,.△ABF ∽△EAD. 0B=-0A=5,Saw=号×5X8=岁.：将△A0B 6.(1)3(2)55°7.B 沿x轴向右平移3个单位长度得到△A'OB',∴.OO=3, 8.(1)△ACD∽△CBD,△ACD∽△ABC,△CBD∽△ABC OB=2.由平移可知OA'∥OA,.△O'BC∽△OBA, 2压86w唱号 SAO SAOBA 归纳总结：(1)相似(2)AB·ADAB·BDAD·BD 4×15 6 9.B10.B11.A12.A 25X2 5 18.2厄或竖1419 11.(1)C (2)D[解析].NQ∥MP∥OB,∴.△ANQ∽△AMP∽ 15.12或16或21 16.证明：(1)，四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角 △40B,:M.N是O4A的三等分点然-日A 三角形，∴.∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD,DE=DF, 1 ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,∴∠ADE= 3,.令M=4.四边形MNQP的面积为3， (DE-DF S△Q=1, 2Sa4SAMo=L·S月 AAO ∠CDF.在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF, AD-CD .S△A0B=9,.k=2S△A0B=18. △ADE≌△CDF(SAS).(2)如图，延长BA交ED 12.(1)证明：DE∥AC,.∠DEB=∠FCE.EF∥AB, 于点M.·△ADE≌△CDF,∴.∠EAD=∠FCD,即 ∴.∠DBE=∠FEC,∴.△BDEP△EFC. ∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF.:'∠MAD= 2解，①EFAB既-能-子：BC=C-BE ∠BCD=90°，∴.∠EAM=∠BCF.,∠EAM=∠BAG, =12-BE∴2E号解得BE=4②品 BE 1 .∠BAG=∠BCF,,∠AGB=∠CGF,.△ABG ∽△CFG. -景EAB,△EPCABAC,S 1 ()=(号)=号S=5=×20 =45. 13.解：(1)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽△ABC, 瓷铝瓷-，解得x-9PN=2 4这个矩形零件的两条边长分别为 40 9.(1)证明：，∠BCE=∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE= 7 mm, ∠ACD+∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D, 480 (2)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽ .△ABCn△DEC.(2)解：△ABCn△DEC, △ABC,小-铝器-0鄉得PN=120- SAABC :SbDc )°-又：Bc=6,c-9 ACEA 8xs=020-号)=-号x2+120x= 3 3 10.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.∠BCD=90°， 2(x ∠ACB=∠ACD=45°.：EG∥BC,EF∥CD,.四边形 40)2+2400,∴.当x=40时，即PQ=40mm,PN= EFCG是平行四边形.又，∠FCG=90°，∴四边形EFCG 60mm时，矩形面积最大，∴.达到最大值时矩形零件的两 是矩形，.EF⊥BC,EG⊥CD,.EF=EG(角平分线的 条边长分别为40mm,60mm. 性质)，∴.四边形EFCG是正方形.(2)解：：四边形 培优专题9：巧用基本模型 探索三角形相似 ABCD,EFQG春是正方形，S-器-，∠ACD 1.22.32 ∠ECG=45°，∴.∠ACE=∠DCG,.△ACE△DCG, 2 3.解：四边形ABCD是菱形，.DC∥AE,.△DFC∽ 品瓷- AAFEBE-ABAB-3BE6.AE 27.2.3相似三角形应用举例 1.A2.5.53.8.5 =9703-gDr=1.5AF=AD+DF=3+ 4.A5.1006.D7.6m8.2000 3 1.5=4.5. 9.解：如图，过点C作CD⊥MN于点D,延长CD交A'B于 4△MCB5号6告 4 点E,则ABMN∥A'B',∴.CE⊥A'B',∠MNC=∠A'B'C, 7.18[解析]如图，连接AC.,菱形ABCD∽菱形AEFG, ∠NMC=∠BAC,△MCO△ABC,是 ∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC,△ABC是等边 .'CE=5 m,DE=3 m,AB'=AB=0.8 m,.'.CD=CE- 三角形，∴.∠ACB=60°.设AB=BC=AC=a,则BH=a -14,BG=a-6.,∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG DE=2m=号MN=02,答：藏长NMN至少 +∠CAG,∠AGH=∠ACG=60°，∴.∠BGH=∠CAG. 为0.32m. ∠B=∠ACG.△GH∽△CG,答-8器 CG A E W B .a6=414,.a2-20a十36=0，解得a=18或a= a 10.解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边 2(舍去)，∴.AB=18,即菱形ABCD的边长为18. 长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长 E 的条件，故方案三不可行.选方案一.，∠ECD=∠ACB, ∠EDC=∠ABC,△ABcn△EDC,部-瓷. AB=BCED=1.5BC.设BC=Em,则AB= DC 8.证明：(1)：∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,.∠BAC= 1.5xm同理可得△ABF∽△GHF,AB=BF "GH=HF··AB ∠ADB=90°，∴.∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=90°， =1.5x m,BF=CF+BC=(4+x)m,GH=1.5 m,FH ∠BAD=∠C.E是AC的中点，.DE=CE,∠C= ∠EDC.:∠EDC=∠BDF,∴∠BAD=∠BDF.:∠F =15m,号-出若解得2=8，AB=15 =∠F,∴.△DFB∽△AFD.(2)由(1)知∠BAD=∠C. 12m. ∠ADB=∠ADC.△ABD△CAD,÷A8-船 27.3位似以 △DFB△AFD,船-REA把-R,即AB: 第1课时位似图形 AC=DF AF. 1.B2.D3.B4.C5A6,号 同行学案学练测·17·