27.2.1 第2课时 相似三角形的判定(2)-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

⊙M在直线y=一3的上方与直线相切时，点M的纵坐 “A(2,23).又：点A在反比例函数y=上，k=2 标为-2将y=-2代人y=一是，可得x号，即此时 点M的坐标为（受，-2）：②当⊙M在直线y=-3的下 X28一-5反比例函数的解析式为y5.由翻折 的性质知BC⊥OA,∴.可设直线BC的解析式为y= 方与直线相切时，点M的纵坐标为一4，将y=一4代入y =一三可得x=子，即此时点M的坐标为俘，一4)综 3x+b,…B为(0，b).设直线BC与直线OA的交点 上，点M的坐标为（受，-2）或（是，-4） 为P, y= ,.P( ，)又点B与点 12.(1,2)或(-2，-1)[解析]设直线AB的解析式为y= y=√3x (b=1 kx+b,将A(0,1),B(-1,0)代入，得 -+6=0解得 C关于直线0A对称，且B(0,b),C(停，2b) k=1 43 又点C在反比例函数y= 的图象上， 3， 6=1二直线AB的解折式为)y=x+1.直线AB与双曲 x =4V3,.b=4或b=-4(舍去)，.B(0,4). 线y=是的交点即为所求点P,此时1PA-PB=AB, 16.(1)-7(2)3<k<4 即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，由 照 [y=x+1 2可得=1 x=-2 或{ y= y=2 y-心点P的坐标为(1,2) 18解：(1设1=只，由题意，得U=RI=9X4=36,这个 或(-2，-1). 反比例函数的解析式为1一曾 (2)电阻R为3时， 直击中考 36 1.D2.D3.D4.C5.C 1一3 =12(A) 6.B[解析]如图，连接AC交BD于点E,延长BD交x轴 4 y= 于点F,连接OD,OB.,四边形ABCD是正方形，∴.AE= 32 19.解：(1)解方程组 x=3 =4六点A的坐标 ,得 BE=CE=DE.AE=BE=CE=DE=m,D(3,a). 12 y= (x>0) BD∥轴，∴.B(3,a十2m),A(3+m,a+m).点A,B 为(3,4). (2)连接AD,过点A作AE⊥OD于点E.由 都在反比例函数y=(k1>0)的图象上，1=3(a十 题意可知，BC是OA的垂直平分线，∴.AD=OD.设点D x 2m)=(3+m)(a+m).,m≠0，.m=3-a,.k1=3(6 的坐标为(x,0),则AD=OD=x,DE=x一3，AE=4.在 a)=18-3a.D(3,a)在y=2(k2>0)的图象上，k。 60D=25 R△ADE中，(x一3)2+4=x2,解得x=2 61 =3a,∴.k1+k2=18-3a+3a=18. 20.解：(1)设h关于p的函数解析式为五= p,把p=1,h= 20代入解析式，得=1×20=20，∴.h关于ρ的函数解析 式为人-织 ②把A=5代人A-2得5=9，解得 p=0.8.答：该液体的密度p为0.8g/cm3. 21.解：1)点A在y=是的图象上，∴当x=2时y=号 0 =3,.A(2,3),.将点A(2,3)代人y=x+1,得=1. 7.D8.F=800 (2)x<-3或0<x<2.(3)由题意可知C(0,1),CE 1 9.0.6 4.过点C作CGLDE,垂足为G.CE=4,∠CEG=45°， 10.x<-2或0<x<1 ∴.CG=2√2.又A(2,3),C(0,1),.AC=2√2.由平移 1.412.2413.214.y=18 x 性质可知，阴影部分面积就是口ACFD的面积，即2√2X 15.(0,4)[解析]，点A在y=3x上，.m=23, 2W2=8. ·16·同行学案学练测 22.解：(1)21.5 =AB2.AB=4,.AD=4V2.(2)矩形DMNC与矩 (2)①如图所示. 1 ,DM2AD_22_2 形ABCD的相似比为AB=AB=4=2 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定(1) 3 0123456789x 1.C2.10354.25.C ②不断减小 6.△ADFP△ECF(答案不唯一) (3)如图所示. 7.108.B9.C10.2 11.1:3[解析]如图，作DF∥AE交BC于点F.OE∥ DF小B距88-1，即BE=ER,DF/AE 4 DC-CF=2EF,BE:EC=BE 3BE=1:3. AD 1 0123456789x 由隔数因象知，当≥2或=0时，2≥ 3 x+6,即 当≥0时，是2>号十6的解集为≥2成=0 (2)12 第二十七章相似 2号 5 m 13.(1)证明：如题图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线 27.1图形的相似 1A2.D3.③⑤4C5B6吾7.C8B94 于点E.:CE∥DA,∴80-盼，∠CAD=∠ACE ∠BAD=∠E.AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD, 10.解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴.∠a=∠C =63°，∠F=∠B=58°，EH:AD=EF:AB,.x:21 ∠ACE=∠EAB=AC是器 =24:18,解得x=28.在四边形EFGH中，∠8=360°- (2)解：AD是角平分线，小铝-咒：AB=5cm, 63°-58°-130°=109°.故∠a=63°，∠β=109°，EH的长 度为28cm. AC-4m,BC-7m心-7BD解得BD-5 9 cm. 11.A12.(1)2(2)16 第2课时相似三角形的判定(2) 13.2√3[解析]原矩形的长为6，宽为x,.小矩形的长为 1.(1)A(2)C 2 x,宽为2“小矩形与原矩形相似，“音= 2.(1)B x (2)证明：AC=√1+1=√2，BC=√12+32=√10， x=23. 14.12 AB=4,DF=√22+2=2√2，EF=√22+6=2√10， 15.B[解析]由折叠的性质可知AB=AF=1.,矩形 DE=8祭器0号∴△ABCn△DEF C与矩形AcD相似，君一需m0 1 3.(1)D(2)A4.B5.2或4.5 6.C7.B8.B AD,整理得AD2-AD-1=0,解得AD=5+1 21 9.∠A=∠D(或BC:EF=2:1) 16.√2 10.证明：，BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9.,四边 形ABCD是正方形，.AB=BC=9,∠B=∠C=90° 17.解：I由题意，得MN=AB,DM=2AD=BC.:矩 形C与毛形ABCD相似小器-瓷号AD 瓷-号-，8票-是授-器△e ∽△ECF. 11.解：，动点P从点A开始沿AB运动，速度为2cm/s,动 17.(1)证明：，AC平分∠BAD,∴.∠DAC=∠CAB. 点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s,.AP= 2t cm,BP =(8-2t)cm,BQ=4t cm..PBQ= ∠ADC=∠ACB=90,△MDC△ACB,∴A2 ∠ABC当铝-瓷时，△BPQn△BAC,即8g- AC=AB·AD.(2)解：AC=AB·AD,AC AC 8 片得=2当积-器时，△Q8rv△BC,语 BC BA -5,AB=2AD-S--是：∠ACB AB 2 g,解得t=0.8.即经过2s或0.8s时，△QBP与 90,E为AB的中点，EA=BC=EB=号AB=号×2 △ABC相似，.t的值为2或0.8. =1,∠EAC=∠ECA.AC平分∠DAB,∴∠DAC= 第3课时相似三角形的判定(3) ∠CAE,∴.∠DAC=∠ECA.∠AFD=∠CFE, 1.D2.C 3 3.C[解析]与△AEC相似的是△ADB,△FEB,△FDC, AAFDACFE,能-2-言-是 共3个. 27.2.2相似三角形的性质 4.C[解析]△ECA∽△EDB,△EDC△EBA,△ADP∽ 1.B2.B3.6cm △BCP,△ABP△DCP,共4对相似三角形. 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.∠BAF= 4385.D6.C7.4em8是9(1C(22 ∠AED,且∠C+∠D=180°.又，∠BFE+∠BFA= 10.C[解析]点A的坐标为(4,3)，∴.OA=√32十4=5， 180°，∠BFE=∠C,.∠BFA=∠D,.△ABF ∽△EAD. 0B=-0A=5,Saw=号×5X8=岁.：将△A0B 6.(1)3(2)55°7.B 沿x轴向右平移3个单位长度得到△A'OB',∴.OO=3, 8.(1)△ACD∽△CBD,△ACD∽△ABC,△CBD∽△ABC OB=2.由平移可知OA'∥OA,.△O'BC∽△OBA, 2压86w唱号 SAO SAOBA 归纳总结：(1)相似(2)AB·ADAB·BDAD·BD 4×15 6 9.B10.B11.A12.A 25X2 5 18.2厄或竖1419 11.(1)C (2)D[解析].NQ∥MP∥OB,∴.△ANQ∽△AMP∽ 15.12或16或21 16.证明：(1)，四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角 △40B,:M.N是O4A的三等分点然-日A 三角形，∴.∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD,DE=DF, 1 ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,∴∠ADE= 3,.令M=4.四边形MNQP的面积为3， (DE-DF S△Q=1, 2Sa4SAMo=L·S月 AAO ∠CDF.在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF, AD-CD .S△A0B=9,.k=2S△A0B=18. △ADE≌△CDF(SAS).(2)如图，延长BA交ED 12.(1)证明：DE∥AC,.∠DEB=∠FCE.EF∥AB, 于点M.·△ADE≌△CDF,∴.∠EAD=∠FCD,即 ∴.∠DBE=∠FEC,∴.△BDEP△EFC. ∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF.:'∠MAD= 2解，①EFAB既-能-子：BC=C-BE ∠BCD=90°，∴.∠EAM=∠BCF.,∠EAM=∠BAG, =12-BE∴2E号解得BE=4②品 BE 1 .∠BAG=∠BCF,,∠AGB=∠CGF,.△ABG ∽△CFG. -景EAB,△EPCABAC,S 1 ()=(号)=号S=5=×20 =45. 13.解：(1)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽△ABC, 瓷铝瓷-，解得x-9PN=2 4这个矩形零件的两条边长分别为 40 9.(1)证明：，∠BCE=∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE= 7 mm, ∠ACD+∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D, 480 (2)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽ .△ABCn△DEC.(2)解：△ABCn△DEC, △ABC,小-铝器-0鄉得PN=120- SAABC :SbDc )°-又：Bc=6,c-9 ACEA 8xs=020-号)=-号x2+120x= 3 3 10.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.∠BCD=90°， 2(x ∠ACB=∠ACD=45°.：EG∥BC,EF∥CD,.四边形 40)2+2400,∴.当x=40时，即PQ=40mm,PN= EFCG是平行四边形.又，∠FCG=90°，∴四边形EFCG 60mm时，矩形面积最大，∴.达到最大值时矩形零件的两 是矩形，.EF⊥BC,EG⊥CD,.EF=EG(角平分线的 条边长分别为40mm,60mm. 性质)，∴.四边形EFCG是正方形.(2)解：：四边形 培优专题9：巧用基本模型 探索三角形相似 ABCD,EFQG春是正方形，S-器-，∠ACD 1.22.32 ∠ECG=45°，∴.∠ACE=∠DCG,.△ACE△DCG, 2 3.解：四边形ABCD是菱形，.DC∥AE,.△DFC∽ 品瓷- AAFEBE-ABAB-3BE6.AE 27.2.3相似三角形应用举例 1.A2.5.53.8.5 =9703-gDr=1.5AF=AD+DF=3+ 4.A5.1006.D7.6m8.2000 3 1.5=4.5. 9.解：如图，过点C作CD⊥MN于点D,延长CD交A'B于 4△MCB5号6告 4 点E,则ABMN∥A'B',∴.CE⊥A'B',∠MNC=∠A'B'C, 7.18[解析]如图，连接AC.,菱形ABCD∽菱形AEFG, ∠NMC=∠BAC,△MCO△ABC,是 ∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC,△ABC是等边 .'CE=5 m,DE=3 m,AB'=AB=0.8 m,.'.CD=CE- 三角形，∴.∠ACB=60°.设AB=BC=AC=a,则BH=a -14,BG=a-6.,∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG DE=2m=号MN=02,答：藏长NMN至少 +∠CAG,∠AGH=∠ACG=60°，∴.∠BGH=∠CAG. 为0.32m. ∠B=∠ACG.△GH∽△CG,答-8器 CG A E W B .a6=414,.a2-20a十36=0，解得a=18或a= a 10.解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边 2(舍去)，∴.AB=18,即菱形ABCD的边长为18. 长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长 E 的条件，故方案三不可行.选方案一.，∠ECD=∠ACB, ∠EDC=∠ABC,△ABcn△EDC,部-瓷. AB=BCED=1.5BC.设BC=Em,则AB= DC 8.证明：(1)：∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,.∠BAC= 1.5xm同理可得△ABF∽△GHF,AB=BF "GH=HF··AB ∠ADB=90°，∴.∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=90°， =1.5x m,BF=CF+BC=(4+x)m,GH=1.5 m,FH ∠BAD=∠C.E是AC的中点，.DE=CE,∠C= ∠EDC.:∠EDC=∠BDF,∴∠BAD=∠BDF.:∠F =15m,号-出若解得2=8，AB=15 =∠F,∴.△DFB∽△AFD.(2)由(1)知∠BAD=∠C. 12m. ∠ADB=∠ADC.△ABD△CAD,÷A8-船 27.3位似以 △DFB△AFD,船-REA把-R,即AB: 第1课时位似图形 AC=DF AF. 1.B2.D3.B4.C5A6,号 同行学案学练测·17·√同行学案学练测数学九年级下RJ 第2课时 相似三 (教材P32 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：利用“三边成比例”判定三角形相似 1.[一题多辨](1)有甲、乙两个三角形木框，甲 三角形木框的三边长分别为1，√2，√5，乙三 角形木框的三边长分别为5，√5，√10，则甲、 乙两个三角形木框( ) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 (2)已知△ABC的三边长分别为6cm, 7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当 △DEF的另两边长是下列哪一组值时，这两 个三角形相似？() A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 2.[一题多辨](1)如图，4×4的 正方形网格中，小正方形的边 长均为1，三角形的顶点都在 格点上，则下列图形与△ABC 相似的是( B D (2)(教材P42习题3变式)网格图中每个方 格都是边长为1的正方形，若A,B,C,D,E F都是格点，求证：△ABC∽△DEF, 38 做神龙题得好成绩 三角形的判定（2) 34练习) 知识点二：利用“两边成比例目夹角相等”判定三 角形相似 3.[一题多辨](1)在△ABC中，点D,E分别在 边AB,AC上，如果AD=1,BD=3,那么由 下列条件能够判断DEBC的是( ) DE1 A.BC3 DE 1 B.BC4 c装日 AE 1 D.AC4 (2)如图，在四边形ABDC中，不等长的两对 角线AD,BC相交于O点，且将四边形 ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA: OB=OC:OD=2:3,则下列叙述正确的是 () 甲 0丙 视频讲解 A.甲与丙相似，乙与丁相似 B.甲与丙相似，乙与丁不相似 C.甲与丙不相似，乙与丁相似 D.甲与丙不相似，乙与丁不相似 4.在图①②所示的△ABC中，AB=4,AC=6. 将△ABC沿图示中的虚线剪开，对于各图中 剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确 的是() R ① ② A.只有①中的与△ABC相似 B.只有②中的与△ABC相似 C.都与△ABC相似 D.都与△ABC不相似 5.(东营河口一中月考)如图，在△ABC中， AB=9,AC=6.点M在边 AB上，且AM=3,点N在 AC边上.当AN= 时，△AMN与原三角形相似. 即能力提升 >>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 6.已知△ABC如图所示，则下面与△ABC相似 的是() 75 B 759 工309 B 7.(连云港中考)在如图所示的象棋棋盘（各个 小正方形的边长均相等)中，根据“馬走日”的 规则，“馬”应走到下列哪个位置处，能使“馬” “車”“炮”所在位置的格点构成的三角形与 “帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形 相似？( 随 p A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 8.如图所示，在△ABC中，AB=6,AC=4,P 是AC的中点，PQ交AB于点Q,若以点A, P,Q为顶点的三角形和以点A,B,C为顶点 的三角形相似，则AQ的长为() 4 视频讲解 A.3 收3或号 C3或是 第二十七章相似☑ 9.在△ABC中，AB=6,AC=8.在△DEF中， DE=4,DF=3,要使△ABC与△DEF相 似，需添加的一个条件是 (写出一种情况即可) 10.(广州中考)如图，点E,F分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6, CF=2.求证：△ABEp△ECF. D B 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>》难度等级综合题 11.[空间观念]如图，在△ABC中，AB=8cm, BC=16cm,动点P从点A开始沿AB运 动，速度为2cm/s.动点Q从点B开始沿 BC运动，速度为4cm/s.设P,Q两点同时 运动，运动时间为ts(0<t<4),当△QBP 与△ABC相似时，求t的值. B、 做神龙题得好成绩39