26.2 实际问题与反比例函数-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

26.2 实际问是 (教材P12 即基础闯关 >>>>>>>难度等级基础题 知识点一：利用反比例函数解决实际问题 1.某口罩生产企业于去年1月份开始了技术改 造，其月利润y(万元)与月份x之间的关系 如图所示.技术改造完成前是反比例函数图 象的一部分，技术改造完成后是一次函数图 象的一部分，下列选项错误的是() A.4月份的利润为45万元 B.改造完成后每月利润比前一个月增加 30万元 C.改造完成前后共有5个月的利润低于 135万元 D.9月份该企业利润达到205万元 y历元 y/mg 180 45x/月份 第1题图 第2题图 2.某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消 毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空 气中含药量y(mg)与时间t(h)成正比例，药 物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示.根 据图象信息，下列选项错误的是() A药物释放过程管要h B.药物释放过程中，y与t的函数解析式是 C.空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间 为号a D.若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以 下时对身体无害，则从消毒开始，至少需要 经过4.5h学生才能进入教室 第二十六章反比例函数 题与反比例函数 15练习) 知识点二：反比例函数在其他学科中的应用 3.[学科融合]在一个可以改变体积的密闭容器 内装有一定质量的某种气体，当改变容器的 体积时，气体的密度也随之改变.密度 p(kg/m3)与体积V(m3)满足函数解析式p= 及为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的 值为() tp/(kg/m) 1.5-- A(6,1.5) 0 67im3 A.9 B.-9 C.4 D.-4 4.[学科融合]（湖南中考）在一定条件下，乐器 中弦振动的频率f与弦长1成反比例关系， 即f-名（及为常数，k≠0》.若某乐器的弦长1 为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值 为 5.[学科融合]蓄电池的电压为定值，使用蓄电 池时，电流I(A)是电阻R(2)的反比例函数， 其图象如图所示 (1)求反比例函数的解析式 (2)当R=10时，电流可能是4A吗？为 什么？ ↑IIA M(4,9) 04 R/2 做神龙题得好成绩21 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 即能力提升 >>>》>》>>>>难度等级中等题 6.[新考向·运算能力]综合与实践：探索某款 冷柜的日耗电量. 素材1已知某款冷柜的耗电功率为 0.15千瓦.当内部温度为一4℃时，冷柜运 行；当温度下降到一20℃时，停止运行；当温 度上升到一4℃时，冷柜再次运行…如此 循环. 素材2冷柜内部温度y(℃)与时间x(分钟) 的关系如图所示. 当0≤x<4时，y是x的一次函数；当4≤x≤ t时，y是x的反比例函数 [冷柜每天耗电量（千瓦时）=耗电功率 (千瓦)×每天运行时间（小时）] 任务1：求4≤x≤t时，y关于x的函数解 析式. 任务2：求该冷柜一天的耗电量。 ↑y/℃ 1x/分钟 22 做神龙题得好成绩 素养提升微专题 【构造函数模型解决实际问题】 7.(乐山中考)通过实验研究发现：初中生在数 学课上听课注意力指标随上课时间的变化而 变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段 时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分 散.学生注意力指标y随时间x(分钟)变化 的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x <20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象 是反比例函数的一部分 (1)求点A对应的指标值， (2)张老师在一节课上讲解一道数视频讲解 学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安 排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力 指标都不低于36？请说明理由， ↑y B C 01020 45x/分钟 8.[模型观念]小明家饮水机中原有水的温度为 20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此 过程中水温y(℃)与开机时间x(min)满足 一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止 加热，随后水温开始下降[此过程中水温 y(℃)与开机时间x(min)成反比例关系]，当 水温降至20℃时，饮水机又自动开始加 热…重复上述程序（如图所示）.根据图中 提供的信息，解答下列问题. y/0 100 20 010 x/min (1)当0≤x≤10时，求水温y(℃)关于开机 时间x(min)的函数解析式. (2)求图中t的值， (3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预 测小明散步57min回到家时，饮水机内水的 温度约为多少摄氏度. 第二十六章反比例函数☑ 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 9.[应用意识]阅读以下素材，探索完成任务. 极地探索，冰面行走是否安全？ 我国自主研发的一款四轮长航程极地机 素材1 器人的质量为500kg. 备注：极地机器人在冰面上的压力与重 力相等 重力(G)=质量(m)×重力系数(g)； 素材2：压强(P)= 压力(F) 受力面积(S) 重力系数g≈10N/kg. 南极某处冰面能承受的最大压强为1× 素材3 104Pa. 解决问题 直接写出极地机器人对冰面的压强 任务1P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数解 析式 为适应极地的不同应用环境，现将极地 机器人改装成可更换A,B,C三种型号 的履带（更换不同型号履带时，极地机 器人整体质量保持不变)，A,B,C三种 任务2 型号对应的每条履带的接触面积分别 为1000cm2,1200cm2,1500cm.利 用函数的性质判断，极地机器人应更换 哪种型号的履带方可安全通过该冰面？ 综合学科知识，当科考人员在行走过程 任务3：中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一 条建议帮助科考队员安全离开危险区. 做神龙题得好成绩23在)一上代入得日-是解得x=-30,点B 一次函数解析式，得2a十3=4，解得a=号，所以一次函数 的坐标是(-a,)PA=日-（2)=合，PB=- 的解析式为y=2x十3，将点A的坐标代入反比例函数解 1a-(-3a)|=4a.:PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴， 析式，得及一2X4一8，所以反比例函数的解析式为y :.PALPB.:.Sar-PAXPB-zx4Xia-8 (2)将y=2代人y=号x+3,得2x+3=2,解得x= 变式训练 1.A[解析]设点A的坐标为(m,1).,AB∥x轴，AC∥ -2,所以点C的坠标为(-2,2》.将y=2代人y=受，得 y轴，∴.点B的纵坐标为1，点C的横坐标为m.将y=1代 x=4,所以点D的坐标为(4,2)，所以CD=4-(一2)=6， 入y=空得x=n,B(n,1),心AB=m一m将x=m代 1 所以S△m=2X6X(4-2)=6. 人y=是得y=升C(m,)AC=1-S 2.解：(1)分别将点A(-2,m)和点B(n,-1)代入y2= -至得一-2m-一8，一1-一8，解得m-4,n-8点A 2 的坐标为（一2,4），点B的坐标为(8，一1).把点A,B的坐 -=3vm.选项A中，号-(9)≠3√日，∴选项 -2k+b=4, 标代人y1=kx十b, 8k+6=一1”解得 2,. A符合题意. =3 2.7[解析]如图，连接OC,设AC交y轴于点E,则S△4oE 3 1 次函数的解析式为1=一名x+3.(②)z<-2或0< =2,S△r=2,S△c=2·A,B两点关于原点对 称，∴.OA=OB,∴.S△ABC=2S△4c=7. <8、(3):-次函数y=子x十3的图象与y轴交于点 C,点C的坐标为0,3以把y=3代入=兰，得x -号点D的坐标为(-号，3)CD=号，∴Sm 3×号×4-3)=台 26.2实际问题与反比例函数 母题探究2：①②③④[解析]0Sams=Saac1=2k,故① 1.D[解桥]设反比例函数的解析式为y=冬，把1,180)代 正确.②S四边形0CPD=k1,S四边形PAO8=S四边形0CPD一S△ODB 人，得k=180y=180.当工=4时，y=454月份的利 x S△cA=k1一k2,故②正确.③设P(m,n),则mn=k1.,A, 润为45万元，故A正确；技术改造完成后，从4月份到 B两底在双线)上，A(),a(售路 5月份，利润从45万元增加到75万元，故每月利润比前一 m”=1-冬，PAn- 个月增加30万元，故B正确；当y=135时，令135=180， k'PC n 严-1是路-路故正 4 解得x=子.设一次函数的解析式为y=虹十b,则 确.④：SAOBA=S四边形AB0c一S△A0C,S四边形ACEB=S网边形A0C S△0E,而S△A0c=S△OE,∴.S△OaA=S四边形ACEB,故④正确。 变式训练 6+6=75解得=0 14k+b=45 b=-75 .y=30x-75.令135=30x 75,解得x=7,则2月、3月、4月、5月、6月共5个月的 3A4号 利润低于135万元，故C正确；当x=9时，y=30×9-75 培优专题5：一次函数与反比例 =195,即9月份该企业利润为195万元，故D错误. 2.D3.A4.180 函数的综合应用 5.解：(1)因为电流I(A)是电阻R(2)的反比例函数，所以设 1.解：(1)因为函数y=ax+b的图象由函数y=ax的图象向 上平移3个单位长度得到，所以b=3.将点A的坐标代入 1-是≠0》把，9)代人，得=4X9=36,所以1-股。 ·14·同行学案学练测 (2)方法一：当R=102时，I=3.6A≠4A,故电流不可能9.解：任务1：G=500×10=5000(N).,压强(P)= 是4A.方法二：10×4=40≠36，故当R=102时，电流 受力面积(S),极地机器人在冰面上的压力与重力相等， 压力(F) 不可能是4A. 6.解：任务1：设反比例函数的解析式为y= P=5000 任务2：当P=1X10Pa时，S=X号 x ,(4,-20)在 函数图象上，∴.k=一80，y关于x的函数解析式为y= 0.5(m2)=5000(cm2).是四轮长航程极地机器人，.每 80(4<x≤).任务2：由任务1可知反比例函数的解 条履带的接触面积为50-1250(cm2),极地机器人应 4 析武为y=一职当)=一4时4一20该冷柜-个循环 更换C型号的履带方可安全通过该冰面。任务3：丢弃不 重要的装备.（答案不唯一）. 耗时20分钟.一个循环运行4分钟，一小时运行12分钟， 培优专题6：确定反比例函数 一天运行24×12=28（分钟），288分钟-号小时，该冷 解析式的六种方法 柜-天的耗电量为0.15×号-072（千瓦时）.答：该冷柜 1.y= 一天的耗电量为0.72千瓦时. 2.y=1或y=3或y=5 7.解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y= k 至将C(20,45代入，得5-易解得友-90，反比例 3.解：1)设1=x十%=k2x.·当x=1时，y=2;当 函数的解析式为y-8”当x=5时，y-赠-20， 十k2=2, x=0时，y=2,2 k1=2 得 k21'y 2 x .D(45,20),∴.A(0,20),即点A对应的指标值为20. k1=2 x+1+ (2)能.理由：设当0≤x<10时，直线AB的解析式为y= x2. （2油①)知，当x=2时y=号+4-4 3 n=20 mx+n,将A(0,20),B(10,45)代入，得 4.解：(1)由图可知点A的坐标为（一3,2）.，反比例函数图 (10m+n=45 解 5 m-立，直线AB的解析式为y=号x十20，当≥36 象过点A,设反比例函数解析式为y=冬，k=一6，反 得 n=20 比例函数解析式为y=一6.(2)易知直线OA的解析式 32 时，2x+20>36,解得x≥5·由(1)得反比例函数的解析 为y=一 2 工.由图象可知，直线OA向上平移3个单位长 式为y-2,当≥36时，20>≥36，解得x≤25号< 2 度得到直线BC的解析式为y=一 x十3，联立方程组 <25时，注意力指标都不低于36，而25-职-9>17， 2 y- 3x+3 3 2 x=6 ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲 ，解得 舍去)， 6 y=-1 解时，注意力指标都不低于36. y=1 8.解：(1)当0≤x≤10时，设水温y(℃)与开机时间 c(- x(min)的函数解析式为y=kx十b.依据题意，得 (b=20 (k=8 5.解：1)：反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3, 10十6=100解得b=20故此函数解析式为y=8x+ 20.(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间 2》,代人得2=专=6∴反比例两数的解析式为y= x(mn的函数解析式为y一受，依据题意，得100=0，即 6 (2)图略. 8号 n=10,放y=10当y=20时，20=100，解得1= 6.解：(1)(0,1)(2)：双曲线y=经过点D(2,1), x 50.(3):57-50=7≤10，.当x=7时，y=8×7+20= ∴.k=2×1=2,.双曲线的解析式为y= 76.答：小明散步57min回到家时，饮水机内水的温度约 2.D(2,1), 为76℃. AD∥x轴，.AD=2.设BC与y轴交于点E.SDARD=