26.2 培优专题7：镶嵌在反比例函数图象上的特殊四边形&培优专题8：作适当的辅助线解决问题-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

☑同行学案学练测数学九年级下RJ 培优专题7：镶嵌在反比化 养 类型一：反比例函数图象与平行四边形 1如图，函数y=x与y=的图象相交于A,B 抽象能力 两点，过A,B两点分别作x轴垂线，垂足分 别为点C,D,则四边形ACBD的面积 运算能力 为 几何直观· 空 间观念 类型二：反比例函数图象与菱形 2.如图，一次函数y=-ax十b(a≠0)的图象与反 推理 数yk≠0)的图象相交于 数据观念 点，以AB为边，在直线AB的左侧作菱形 ABCD,边BC⊥y轴于点E.点A的坐标为 模型观念· m,6),BE=8,OE= (1)求反比例函数和一次函数的解析式. 应用意识 (2)求点D的坐标， ·创新 意识 类型三：反比例函数图象与矩形 3.(重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上，对 角线BDk轴，反比例函数y=-飞(>0，c> 26 做神龙题得好成绩 列函数图象上的特殊四边形 O)的图象经过矩形对角线的交点E.若点 A(2,0),D(0,4),则的值为( A.16 B.20 C.32 D.40 第3题图 第4题图 4.如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A, C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一 象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y= (x>O)的图象与AB相交于点D,与BC相 交于点E.若BE=3CE,四边形ODBE的面 积是9，则k= 类型四：反比例函数图象与正方形 5.如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐 标轴上，反比例两数y=是的图象与正方形 两边相交于点D,E,D是BC的中点，过点D 作DF⊥OA于点F,交OE于点G,则S△oG =( A.3 B.2 C.4 D.8 第5题图 第6题图 6.(毕节中考)如图，在平面直角坐标系中，一次 函数y=一4x十4的图象与x轴、y轴分别交 于A,B两点.正方形ABCD的顶点C,D在 第一象限，顶点D在反比例函数y=(k≠ O)的图象上.若正方形ABCD向左平移n个 单位长度后，顶点C恰好落在反比例函数的 图象上，则n的值是 第二十六章反比例函数 数 培优专题8：作适当的辅助线解决问题 学 素 养 类型一：连接原点 4.如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上， 6 1.(丹东中考)如图，点A在双曲线y=0(x> ∠ABO=90°，点A的坐标为（一1,2），将 △AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应 O)上，过点A作AB⊥x轴于点B,点C在线 点D恰好落在双曲线y=飞上，求飞的值。 段AB上，且BC:CA=1:2,双曲线y- (x>0)经过点C,则k= 类型二：作坐标轴的垂线 2.(巴中中考)如图，反比例函数y=（c>0)的 力 图象经过A,B两点，过点A作AC⊥y轴于 点C,过点B作BD⊥y轴于点D,过点B作 BE⊥x轴于点E,连接AD.已知AC=1, BE=1,S矩形BDOE=4,则S△4cD= 类型四：作垂线构造“三垂直”模型 5.(江西中考)如图，正比例函数y=x的图象与 反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1, a).在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点 C的坐标为（一2,0）. 类型三：作平行于坐标轴的直线的垂线 (1)求的值. 3.（遵义中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形 (2)求AB所在直线的解析式. ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A, B两点的纵坐标分别为4,2，反比例函数y= (x>0)的图象经过A,B两点.若菱形 2 ABCD的面积为2√5，则k的值为() 4 视频讲解 A.2 B.3 C.4 D.6 做神龙题得好成绩 275,AE=号，OE=号∴点B的纵坐标为-是把y 9 心一次函数的解析式为y=一是x+号 2 -代入y-兰，得一-，解得x一 31 b一2 B(-专，-多），设AB所在直线的解析式为y=ax+ (2:点A(-2,6),B(⑧，-)，·1AB1= 6=1 25 6,把A0,1,B(-专，-)代入，得4 -+6=-8' √8+2)+(6+-空点D的横坐标为-2 2 即点D的坐标为（一空0 29 15 解得 8AB所在直线的解析式为y= 8x+1. 3.B[解析]：BD∥x轴，D(0,4),∴B,D两点纵坐标相同， b= 都为4，.可设B(x,4).,矩形ABCD的对角线的交点为 7.解：(1)，阻力×阻力臂=动力×动力臂，.重物质量× OA=秤陀质量XOB.,OA=2cm,重物为xkg,OB的长 E,E为BD的中点，∠DAB=90,E(侵x,4), 为ycm,秤砣为0.5kg,.2x=0.5y,∴.y=4x.,4>0, ∠DAB=90°，.AD2+AB2=BD2.A(2,0), ∴y随x的增大而增大.，当y=0时，x=0;当y=48时， D(0,4),B(x,4),.22十42+(x-2)2十42=x2,解得x= x=12,.0<x<12.(2)阻力×阻力臂=动力×动力 10,E(5,4).:反比例函数y=飞(>0，x>0)的图象经 臂，∴.秤砣质量XOA=重物质量XOB.,OA=2cm,重物 过点E,.k=5×4=20. 为xkg,OB的长为ycm,秤砣为0.5kg,∴.2X0.5=xy, 4.35.A y=1当x=025时y=05一4当x=0.5时y 1 6.3[解析]过点D作DE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥ y轴于点F.易证△ABO≌△DAE,.AE=BO,DE= 0.5=2;当x=1时y=1;当x=2时y=2;当x=4时， A0.由已知条件易求A(1,0),B(0,4),.D(5,1).,顶点 11 y=4·故答案为4,2,1,2,4作函数图象如图所示. D在反比例两数y=会的图象上，6=5，y=易证 v/cm △CBF≌△BAO,∴.CF=4,BF=1,.C(4,5).点C向 左平移n个单位长度后的坐标为(4一n,5),∴.5(4一n)= 5,.n=3. 培优专题8：作适当的辅助线解决问题 12[解析连接0C点A在双曲线y=(x>0上，AB 0 234x水g 上x辅5m=合×6=3BC:CA=1:2,Sm 培优专题7：镶嵌在反比例函数 图象上的特殊四边形 =3×号=1.“双曲线y=至(x>0)经过点CSx= 1.10 号11=1=2.“双曲线y=冬(>0)在第一象限， 2.解：(1)在Rt△BOE中，BE=8,OE= 3 2,点 k=2. B(8,-2）“反比例函数y=冬的图象经过点B,∴ 2 [解析]过点A作AH⊥x轴于点H,交BD于点F, =y=8X(2）=-12∴反比例函数的解析式为y= 则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形.：S矩形BDOE= 4,反比例函数y=么(x>0)经过点B,∴k=4,∴S矩形0 12 “反比例函数y=-2的图象经过点Am,6》. =4.AC=1,∴.OC=4÷1=4,.CD=OC-OD=OC 12 =6,解得m=-2,.A(-2,6)..y=ax十b经过 BE=4-1=3∴SEam=1X3=3Sm号 -2a+b=6 3.C[解析]过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E 点A(-2,6)和点B(8,-) ~A,B两点在反比例函数y-冬（(>0)的图象上，且纵坐 标分别为4,2，A(年4，B(会2)AE=2,BE=会 时，2x+61甲2a+6=1,名，解得} /a=-2 6=51 -冬-冬：菱形ABCD的面积为25BC·AE- 六y=2x十5，当x=1时y=7.当x=1时y==7, 2W5,即BC=√5，.AB=BC=√5.在Rt△AEB中，BE= 即k=1y=子当x=子时y=7÷()=-2: VAB-AE=1,心冬=1，k=4 4.解：如图，过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB,垂足分别为点E,F. 当x=a=-2时，y= 2,补全表格如下： ,△AOB绕点A顺时针旋转90°，∴△AOB≌△ADC. 2 a ∠BAC=90°，∠C=∠ABO=90°，∴.四边形ACEB是矩 形，∴.AC=DF=EB=AB=2,CD=BO=AF=1,∴.DE 2x+b a 1 1 =BF=AB-AF=2-1=1,OE=OB+BE=1+2=3, 7 7 D(一3,1.：点D恰好落在双曲线y=上，k= 2 (-3)×1=-3. (2)- 2<x<0或x>1. 8.解：(1)分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的 函数解析式为y=kx十b,把A(0,10),B(3,4)代入，得 b=10 6=10y=-2x+10:②当x>3时， k=一2 3k+6=4解得 5.解：(1)：正比例函数y=x的图象经过点A(1,a),.a= 设图象对应的函数解折式为y一受，把(3,4代人，得m=3 1A1,1.点A在反比例函数)=是C女>0)的图象 X4=12,y-12.综上所述，当0≤≤3时，y-2z十 x 上，k=1×1=1.(2)如图，作AD⊥x轴于点D,BE⊥ x轴于点E.A(1,1),C(-2,0),.AD=1,CD=3. 10:当x>3时y=是2)能理由：令y=是=1，则 x :∠ACB=90°，.∠ACD+∠BCE=90°.∠ACD+ x=12<15,故能在15天以内不超过最高允许的 ∠CAD=90°，∴.∠BCE=∠CAD.在△BCE和△CAD 1.0毫克/升. (∠BCE=∠CAD 9.2√3 中，∠BEC=∠CDA=90°，∴.△BCE≌△CAD(AAS), 10.C[解析]如图，过点B作BD⊥x轴于点D,易知 CB=AC △ACO≌△CBD,∴.OC=BD,OA=CD.A(0,2), .CE=AD=1,BE=CD=3,∴.B(-3,3).设AB所在直 C(1,0),.OD=3,BD=1,∴.B(3,1).设反比例函数的解 m十n=1 线的解析式为y=mz十n,则 ,解得 (-3m+n=3 析式为y=冬将BC8,1代人y=冬k=3y=是 7m=1 3 AB所在直线的解析式为y=子十 把y=2代入y一兰得x=号“当顶点A恰好落在该 n2 双曲线上时，此时点A向右平移了号个单位长度，∴点 C也向右平移了号个单位长度，此时点C的对应点C的 坐标为(0)- 章末复习 1.C2.<3.A4.B5.-66.C 7解：1当x=-子时，2x+b=a,即-7+6=a当x=a11.(停，-2)或（保，-4）[解析]分两种情况讨论：①当 同行学案学练测·15· ⊙M在直线y=一3的上方与直线相切时，点M的纵坐 “A(2,23).又：点A在反比例函数y=上，k=2 标为-2将y=-2代人y=一是，可得x号，即此时 点M的坐标为（受，-2）：②当⊙M在直线y=-3的下 X28一-5反比例函数的解析式为y5.由翻折 的性质知BC⊥OA,∴.可设直线BC的解析式为y= 方与直线相切时，点M的纵坐标为一4，将y=一4代入y =一三可得x=子，即此时点M的坐标为俘，一4)综 3x+b,…B为(0，b).设直线BC与直线OA的交点 上，点M的坐标为（受，-2）或（是，-4） 为P, y= ,.P( ，)又点B与点 12.(1,2)或(-2，-1)[解析]设直线AB的解析式为y= y=√3x (b=1 kx+b,将A(0,1),B(-1,0)代入，得 -+6=0解得 C关于直线0A对称，且B(0,b),C(停，2b) k=1 43 又点C在反比例函数y= 的图象上， 3， 6=1二直线AB的解折式为)y=x+1.直线AB与双曲 x =4V3,.b=4或b=-4(舍去)，.B(0,4). 线y=是的交点即为所求点P,此时1PA-PB=AB, 16.(1)-7(2)3<k<4 即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值，由 照 [y=x+1 2可得=1 x=-2 或{ y= y=2 y-心点P的坐标为(1,2) 18解：(1设1=只，由题意，得U=RI=9X4=36,这个 或(-2，-1). 反比例函数的解析式为1一曾 (2)电阻R为3时， 直击中考 36 1.D2.D3.D4.C5.C 1一3 =12(A) 6.B[解析]如图，连接AC交BD于点E,延长BD交x轴 4 y= 于点F,连接OD,OB.,四边形ABCD是正方形，∴.AE= 32 19.解：(1)解方程组 x=3 =4六点A的坐标 ,得 BE=CE=DE.AE=BE=CE=DE=m,D(3,a). 12 y= (x>0) BD∥轴，∴.B(3,a十2m),A(3+m,a+m).点A,B 为(3,4). (2)连接AD,过点A作AE⊥OD于点E.由 都在反比例函数y=(k1>0)的图象上，1=3(a十 题意可知，BC是OA的垂直平分线，∴.AD=OD.设点D x 2m)=(3+m)(a+m).,m≠0，.m=3-a,.k1=3(6 的坐标为(x,0),则AD=OD=x,DE=x一3，AE=4.在 a)=18-3a.D(3,a)在y=2(k2>0)的图象上，k。 60D=25 R△ADE中，(x一3)2+4=x2,解得x=2 61 =3a,∴.k1+k2=18-3a+3a=18. 20.解：(1)设h关于p的函数解析式为五= p,把p=1,h= 20代入解析式，得=1×20=20，∴.h关于ρ的函数解析 式为人-织 ②把A=5代人A-2得5=9，解得 p=0.8.答：该液体的密度p为0.8g/cm3. 21.解：1)点A在y=是的图象上，∴当x=2时y=号 0 =3,.A(2,3),.将点A(2,3)代人y=x+1,得=1. 7.D8.F=800 (2)x<-3或0<x<2.(3)由题意可知C(0,1),CE 1 9.0.6 4.过点C作CGLDE,垂足为G.CE=4,∠CEG=45°， 10.x<-2或0<x<1 ∴.CG=2√2.又A(2,3),C(0,1),.AC=2√2.由平移 1.412.2413.214.y=18 x 性质可知，阴影部分面积就是口ACFD的面积，即2√2X 15.(0,4)[解析]，点A在y=3x上，.m=23, 2W2=8. ·16·同行学案学练测 22.解：(1)21.5 =AB2.AB=4,.AD=4V2.(2)矩形DMNC与矩 (2)①如图所示. 1 ,DM2AD_22_2 形ABCD的相似比为AB=AB=4=2 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定(1) 3 0123456789x 1.C2.10354.25.C ②不断减小 6.△ADFP△ECF(答案不唯一) (3)如图所示. 7.108.B9.C10.2 11.1:3[解析]如图，作DF∥AE交BC于点F.OE∥ DF小B距88-1，即BE=ER,DF/AE 4 DC-CF=2EF,BE:EC=BE 3BE=1:3. AD 1 0123456789x 由隔数因象知，当≥2或=0时，2≥ 3 x+6,即 当≥0时，是2>号十6的解集为≥2成=0 (2)12 第二十七章相似 2号 5 m 13.(1)证明：如题图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线 27.1图形的相似 1A2.D3.③⑤4C5B6吾7.C8B94 于点E.:CE∥DA,∴80-盼，∠CAD=∠ACE ∠BAD=∠E.AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD, 10.解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴.∠a=∠C =63°，∠F=∠B=58°，EH:AD=EF:AB,.x:21 ∠ACE=∠EAB=AC是器 =24:18,解得x=28.在四边形EFGH中，∠8=360°- (2)解：AD是角平分线，小铝-咒：AB=5cm, 63°-58°-130°=109°.故∠a=63°，∠β=109°，EH的长 度为28cm. AC-4m,BC-7m心-7BD解得BD-5 9 cm. 11.A12.(1)2(2)16 第2课时相似三角形的判定(2) 13.2√3[解析]原矩形的长为6，宽为x,.小矩形的长为 1.(1)A(2)C 2 x,宽为2“小矩形与原矩形相似，“音= 2.(1)B x (2)证明：AC=√1+1=√2，BC=√12+32=√10， x=23. 14.12 AB=4,DF=√22+2=2√2，EF=√22+6=2√10， 15.B[解析]由折叠的性质可知AB=AF=1.,矩形 DE=8祭器0号∴△ABCn△DEF C与矩形AcD相似，君一需m0 1 3.(1)D(2)A4.B5.2或4.5 6.C7.B8.B AD,整理得AD2-AD-1=0,解得AD=5+1 21 9.∠A=∠D(或BC:EF=2:1) 16.√2 10.证明：，BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9.,四边 形ABCD是正方形，.AB=BC=9,∠B=∠C=90° 17.解：I由题意，得MN=AB,DM=2AD=BC.:矩 形C与毛形ABCD相似小器-瓷号AD 瓷-号-，8票-是授-器△e ∽△ECF.