题型解法技巧 专题02 复数与平面向量 讲义-2026届高考数学三轮复习

专题02 复数与平面向量 高考考情 高考频度 ★★★★★ 命题规律 基础必考内容，重点考查复数的相关概念与复数的四则运算，平面向量基本定理、向量的平行与垂直、夹角与模长 高考题型 单选题（占70%）、填空题（占30%） 核心知识 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R), ． 2．z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 3．＝＝＋i(c＋di≠0)． 4．z=a＋bi的共轭复数=a－bi． 5．|z|＝||＝． 6．z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔． 7．若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1． 8．||||cosθ= x1x2+y1y2． 9．a∥b⇔存在实数λ使a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0． 10．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 11．cosθ＝＝． 12．|a|＝=． 真题重刷 一．选择题（共5小题） 1．（2025•新高考Ⅰ）（1+5i）i的虚部为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数乘法直接运算确定虚部即可． 【解答】解：令z＝（1+5i）i，则z＝5i2+i＝﹣5+i，所以z的虚部为1． 故选：C． 2．（2025•新高考Ⅱ）已知z＝1+i，则（　　） A．﹣i B．i C．﹣1 D．1 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则计算． 【解答】解：由题意得：． 故选：A． 3．（2025•北京）已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（　　） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：由i•z+2＝2i，得i•z＝﹣2+2i，则z， 得|z|． 故选：B． 4．（2025•北京）已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2．设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　） A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12] 【答案】D 【分析】由，|，可得点A、B在以O为圆心，为半径的圆上，取AB的中点H，得|OH|＝1，则点H在以O为圆心，1为半径的圆上，根据向量的线性运算及数量积运算，可得，再根据点到圆的距离范围可求得结论． 【解答】解：由，|，可知， 故点A、B在以O为圆心，为半径的圆上， 取AB的中点H，可知|OH|＝1， 所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上， 则 ， 所以， 另解：， 又H为AB中点，所以，所以， 又，， 则，故， 即|的取值范围是[8，12]． 故选：D． 5．（2025•新高考Ⅰ）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为（　　） A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】根据题意，求出对应速度对应的坐标，然后求出真风速的坐标，求出模长判断即可． 【解答】解：如图：视风风速对应向量的坐标为， 船速对应向量的坐标为（1，3）， 所以船行风速对应的向量坐标为（﹣1，﹣3）， 设真风风速对应向量为，则，所以（﹣2，2）， 所以22.828∈（1.1，3.3）， 故真风为轻风． 故选：A． 二．填空题（共11小题） 6．（2025•天津）已知i是虚数单位，则||＝　　　　． 【答案】 【分析】由复数的除法运算求得1﹣3i，再由求模公式计算即可． 【解答】解：因为1﹣3i， 所以||＝|1﹣3i|． 故答案为：． 7．（2025•上海）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝　　　　． 【答案】． 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可． 【解答】解：，故． 故答案为：． 8．（2025•上海）已知，，若∥，则x＝　　　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：，，∥，则2x＝1，解得x． 故答案为：． 9．（2026•上海）已知向量，且，则x＝　　　　． 【答案】2． 【分析】利用向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵，∴6x﹣3×4＝0，则x＝2． 故答案为：2． 10．（2025•新高考Ⅱ）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则||＝　　　　． 【答案】 【分析】求出的坐标，然后利用向量垂直的充要条件求出x，再利用求模公式求解． 【解答】解：因为（x，1），（x﹣1，2x），所以（1，1﹣2x）， 又⊥（），所以x+1﹣2x＝0，解得x＝1， 所以，则||． 故答案为：． 11．（2025•天津）△ABC中，D为AB边中点，，，则　　　　（用，表示）；若||＝5，AE⊥CB，则　　　　． 【答案】；﹣15 【分析】由平面向量的线性运算计算可求得第一空；由||＝5，AE⊥CB结合平面向量的线性运算与数量积建立关于的方程组，求解可得，，再由向量的数量积运算计算即可． 【解答】解：因为D为AB边中点，， 所以 ； 因为||＝5，所以，① 因为，且AE⊥CB， 所以，② 由①②可得：，， 因为， 所以 15． 故答案为：；﹣15． 12．（2025•上海）已知函数f，、、是平面内三个不同的单位向量．若f（•）+f（•）+f（•）＝0，则||的取值范围是　　　　． 【答案】． 【分析】由题可得必为一个为1，一个为﹣1，一个为0，不妨设，且，，，θ∈（﹣π，π），由分段函数可得，再由向量模的坐标运算化简后求三角函数的值域即可． 【解答】解：由题意知，三者全为0或一个为1，一个为﹣1，一个为0， 当全为0时，可知两两垂直，不符合题意； 所以必为一个为1，一个为﹣1，一个为0， 不妨设，， 由函数f，可知， 不妨设，，，θ∈（﹣π，π]， 所以，，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以． 故答案为：． 13．（2025•上海）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值　　　　． 【答案】4． 【分析】设，根据题意求得A、B所在圆的圆心和半径，然后根据数量投影的意义，结合图形求得在方向上的数量投影的最大值． 【解答】解：根据题意不妨设（1，0），（0，1），（x，y），（m，n）， 则， 由得（x﹣4）2+y2＝4， 由得m2+（n﹣6）2＝1， 设，故A在以C1（4，0）为圆心，2为半径的圆上， B在以C2（0，6）为圆心，1为半径的圆上， 过B作BD⊥OA于D，则OD即为在上的数量投影，如下所示： 因为A，B分别为两圆上任意动点，不妨固定B，则OB为定长， 设，即∠AOB＝θ，故|OD|＝|OB|•cosθ， 因为此时|OB|为定长，且θ＝∠AOB＜180°， 故随着θ的减小，cosθ增大，直至OA恰好与圆C1相切时，|OD|取得最大值，如下所示： 在OA与圆C1相切的基础上，移动点B，过C2作C2E⊥OA于E，故|OD|＝|OE|+|ED|； 在△C1AO中，∠C1AO＝90°，C1A＝2，OC1＝4， 故∠AOC1＝30°，∠C2OE＝60°，因为|OC2|＝6， 故在直角三角形C2OE中，|OC2|＝2|OE|，则OE＝3，即|OD|＝|OE|+|ED|＝3+|ED|； 在四边形BDEC2中，因为∠DEC2＝∠C2ED＝90°，故|DE|≤|BC2|＝1， 当且仅当BC2∥DE时等号成立，从而|OD|＝3+|ED|≤3+1＝4， 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为4． 故答案为：4． 14．（2025•上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是　　　　． 【答案】2． 【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），根据z2＝（）2，可得ab＝0，又|z|≤1，可得z在复平面内对应的点的轨迹，由复数模的几何意义，可得|z﹣2﹣3i|的最小值． 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi，（）2＝a2﹣b2﹣2abi， 因为z2＝（）2，所以abi＝0，即ab＝0， 又|z|≤1，所以z在复平面内对应的点的轨迹为或， |z﹣2﹣3i|表示点（a，b）到点（2，3）的距离， 由点（a，b）的轨迹可知，当a＝0，b＝1时，|z﹣2﹣3i|有最小值，最小值为2． 故答案为：2． 15．（2026•上海）已知m＞1，对于所有满足|z|＝2的复数z，都有|z﹣i|的最小值与|z﹣m|的最小值相同，则m＝　　　　． 【答案】3． 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可． 【解答】解：复数z满足|z|＝2，则复数z对应的点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆， |z﹣i|表示圆上一点到点（0，1）的距离， 又圆心（0，0）到点（0，1）的距离为1，则|z﹣i|的最小值为2﹣1＝1， 而|z﹣m|表示点（m，0）到圆上一点的距离，且点（m，0）到圆心（0，0）的距离为m，m＞1，则|z﹣m|的最小值为|2﹣m|， 又|z﹣i|的最小值与|z﹣m|的最小值相同，所以|2﹣m|＝1， 解得m＝3（m＞1）． 故答案为：3． 16．（2026•上海）在△ABC中，D、E在边BC上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为　　　　． 【答案】． 【分析】先利用与表示，再将转化为的计算，进而求解． 【解答】解：∵， ， ∴， ∵1，与所成的夹角为，∴， 令，则，t＞0， 当时，的最大值为． 故答案为：． 考向1 复数的概念 12 考向2 复数的运算 13 考向3 平面向量的线性运算 15 考向4 平面向量的数量积 17 考向5 平面向量的平行与垂直 19 考向6 平面向量的夹角与模长 21 典例分析 考向1 复数的概念 【例1】（2026•吉林一模）设复数z，则在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案． 【解答】解：∵z，∴， 则在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限． 故选：A． 【例2】（2026•江西模拟）已知复数，若z（2﹣i）是纯虚数，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用复数的运算先计算，进而得z，再由纯虚数的概念即可求解． 【解答】解：由复数，得z＝1﹣ai， 因为z（2﹣i）＝（1﹣ai）（2﹣i）＝2﹣a﹣（2a+1）i为纯虚数，所以， 解得a＝2． 故选：C． 【例3】（2026•临沂一模）的虚部是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念求解． 【解答】解：，其虚部为． 故选：D． 【例4】（2026•福州模拟）若（x﹣2i）i＝y+i（x，y∈R，i为虚数单位），则x+y＝　　　　． 【答案】3． 【分析】结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解． 【解答】解：（x﹣2i）i＝y+i，则2+xi＝y+i， x，y∈R，i为虚数单位，则， 故x+y＝3． 故答案为：3． 考向2 复数的运算 【例5】（2026•沧县模拟）若复数z满足|z|+z＝1+i，则（1+z）2＝（　　） A．0 B．﹣2i C．2i D．2 【答案】C 【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），根据复数求模公式和复数相等的定义，可得a，b的值，根据乘法运算法则，即可得答案． 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则， 因为|z|+z＝1+i，所以，解得，则z＝i， 得（1+z）2＝（1+i）2＝2i． 故选：C． 【例6】（2026•龙岩模拟）已知复数，则z的模为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由复数模计算公式可得答案． 【解答】解：复数，则． 故选：D． 【例7】（多选）（2026•兴义市校级模拟）已知复数，则（　　） A．z＝3+2i B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数ω满足|ω|＝1，则|ω﹣z|的最大值为 【答案】BD 【分析】利用复数的除法运算可判断A，利用复数的几何意义可判断B和D，利用复数模的运算可判断C． 【解答】解：由4﹣i，故A错误； z＝4﹣i在复平面内对应的点（4，﹣1）位于第四象限，故B正确； ，故C错误； 复数ω在复平面内表示在单位圆上的点，|ω﹣z|表示单位圆上的动点到定点（4，﹣1）的两点间距离， 所以|ω﹣z|的最大值为，故D正确． 故选：BD． 【例8】（2026•天津模拟）已知i是虚数单位，则　　　　． 【答案】i． 【分析】根据复数的基本运算求解即可． 【解答】解：因为（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i﹣i2＝3+i，故|3+i|， 所以i． 故答案为：i． 考向3 平面向量的线性运算 【例9】（2026•延安模拟）平面向量（3，﹣1），（x，1），且（1，﹣2），则x＝（　　） A．﹣1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得． 【解答】解：由题意得，，所以3﹣x＝1， 解得x＝2． 故选：B． 【例10】（2026•顺德区模拟）已知平面上两点A（2，1），B（﹣1，2），若，则C的坐标为（　　） A．（﹣5，2） B．（5，1） C．（﹣6，0） D．（﹣7，4） 【答案】D 【分析】根据向量共线的性质求解即可． 【解答】解：设C（x，y），由点A（2，1），B（﹣1，2），， 可得2（﹣3，1）＝（x+1，y﹣2）， 即﹣6＝x+1且2＝y﹣2，解得x＝﹣7，y＝4， 则C的坐标为（﹣7，4）． 故选：D． 【例11】（2026•宝鸡模拟）已知点O（0，0），向量，，，则P点坐标为（　　） A．（6，﹣1） B．（6，1） C．（4，﹣1） D．（4，1） 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可． 【解答】解：由题可得：， 则， 由点O（0，0），则P点坐标为（6，﹣1）． 故选：A． 【例12】（2026•福建模拟）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作辅助线，结合比例关系可知，即可得结果． 【解答】解：如图所示，过点E分别作EM⊥DC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，可知DMEN为矩形， 不妨设DE＝a＞0，由题意知：， 在Rt△ADE中，可得， 则， 可得， 即， 所以． 故选：B． 考向4 平面向量的数量积 【例13】（2026•凯里市校级模拟）已知向量，向量在上的投影向量为，则（　　） A． B．﹣2 C． D． 【答案】D 【分析】先计算向量的模长与同向单位向量，通过投影向量与单位向量的数量积求出在上的投影数量，再利用数量积的几何意义直接求得的值． 【解答】解：， 与同向的单位向量为， 在上的投影数量为， ． 故选：D． 【例14】（2026•密云区模拟）已知向量，则的最小值为（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算和三角函数的恒等变换即可求解． 【解答】解：已知向量， 则， 当时，取最小值． 故选：D． 【例15】（2026•烟台一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠BAD，点P，Q在四边形ABCD所在平面上，且满足||＝1，2，则的最大值为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设出P、Q的坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 由AB＝4，BC＝2，∠BAD，可得A（0，0），B（4，0），D（2，2）， 由，可知点P在以B为圆心，半径为1的圆上运动， 即点P的轨迹方程为：（x﹣4）2+y2＝1， 则可设P（4+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），Q（x，y）， 由，可得（2x，2y）＝（4+cosθ﹣x，sinθ﹣y），可得， 则 ， 当sinθ＝﹣1时，取得最大值． 故选：C． 【例16】（2026•汕头一模）AB为圆O的一条弦，且|AB|＝2，则的值为　　　　． 【答案】2． 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得． 【解答】解：取弦AB的中点M，连接OM，如图， 根据圆的垂径定理，得OM⊥AB， 因为|AB|＝2，所以|AM|＝1． 根据向量数量积的几何意义：． 故答案为：2． 考向5 平面向量的平行与垂直 【例17】（2026•上饶一模）已知，，若，则λ＝（　　） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 【答案】B 【分析】根据题意，求出λ与的坐标，结合向量平行的坐标表示方法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，已知，， 则λ（2+λ，1﹣2λ），（1，3）， 若，则1﹣2λ＝3（2+λ），变形可得λ＝﹣1． 故选：B． 【例18】（多选）（2026•长子县校级模拟）已知向量，，，则（　　） A． B．当时，4m+3n＝3 C．当时，m+n＝1 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】对于A，根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解；对于B，由向量平行的坐标公式计算即可得解；对于C，由向量垂直的坐标表示直接计算即可得解；对于D，直接由已知结合投影向量的定义和公式计算即可． 【解答】解：对于A，由题，故A错； 对于B，因为，所以有﹣3（n﹣1）＝4m，整理得4m+3n＝3，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 故选：BD． 【例19】（2026•渭南模拟）已知向量（1，﹣3），（﹣2，m），若∥，则m＝　　　　． 【答案】6． 【分析】根据共线向量的坐标运算即可求解． 【解答】解：因为向量（1，﹣3），（﹣2，m），且∥， 所以1×m＝﹣3×（﹣2）＝6，解得m＝6． 故答案为：6． 【例20】（2026•辽宁模拟）已知向量（1，﹣1），（）⊥，则在上的投影向量的模长为　　　　． 【答案】． 【分析】由已知可得，由垂直关系和向量的线性运算可得，然后根据投影向量计算即可． 【解答】解：因为，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以在上的投影向量的模长为 ． 故答案为：． 考向6 平面向量的夹角与模长 【例21】（2026•辽宁模拟）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据数量积的运算法则求得•的值，再由||，展开运算，即可得解． 【解答】解：•||•||cos2×1×（）＝1， 所以||2＝||2+2•||2＝4+2×1+1＝7， 所以||． 故选：C． 【例22】（2026•吉林一模）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可得x＝﹣2，再根据模长公式和两向量的夹角公式即可求解． 【解答】解：已知平面向量，， 因为，则，则2+x＝0，解得x＝﹣2， 则，， 则与的夹角的余弦值为：． 故选：C． 【例23】（2026•中山区校级一模）已知向量，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合向量共线、向量模公式，即可求解． 【解答】解：向量，，,则3λ＝6×2，解得λ＝4， 若，则，解得λ＝±4， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【例24】（2026•湖北模拟）已知平面向量，若，则　　　　． 【答案】1或． 【分析】根据向量垂直的坐标运算求参数，进而分类求解即可． 【解答】解：根据题意， 又，则， 所以x（x﹣2）+（﹣1）（﹣x）＝0，解得x＝0或x＝1． 当x＝1时，，则； 当x＝0时，，则． 故答案为：1或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数与平面向量 高考考情 高考频度 ★★★★★ 命题规律 基础必考内容，重点考查复数的相关概念与复数的四则运算，平面向量基本定理、向量的平行与垂直、夹角与模长 高考题型 单选题（占70%）、填空题（占30%） 核心知识 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R), ． 2．z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 3．＝＝＋i(c＋di≠0)． 4．z=a＋bi的共轭复数=a－bi． 5．|z|＝||＝． 6．z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔． 7．若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1． 8．||||cosθ= x1x2+y1y2． 9．a∥b⇔存在实数λ使a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0． 10．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 11．cosθ＝＝． 12．|a|＝=． 真题重刷 一．选择题（共5小题） 1．（2025•新高考Ⅰ）（1+5i）i的虚部为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．6 2．（2025•新高考Ⅱ）已知z＝1+i，则（　　） A．﹣i B．i C．﹣1 D．1 3．（2025•北京）已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（　　） A． B．2 C．4 D．8 4．（2025•北京）已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2．设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　） A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12] 5．（2025•新高考Ⅰ）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为（　　） A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 二．填空题（共11小题） 6．（2025•天津）已知i是虚数单位，则||＝　　　　． 7．（2025•上海）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝　　　　． 8．（2025•上海）已知，，若∥，则x＝　　　　． 9．（2026•上海）已知向量，且，则x＝　　　　． 10．（2025•新高考Ⅱ）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则||＝　　　　． 11．（2025•天津）△ABC中，D为AB边中点，，，则　　　　（用，表示）；若||＝5，AE⊥CB，则　　　　． 12．（2025•上海）已知函数f，、、是平面内三个不同的单位向量．若f（•）+f（•）+f（•）＝0，则||的取值范围是　　　　． 13．（2025•上海）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值　　　　． 14．（2025•上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是　　　　． 15．（2026•上海）已知m＞1，对于所有满足|z|＝2的复数z，都有|z﹣i|的最小值与|z﹣m|的最小值相同，则m＝　　　　． 16．（2026•上海）在△ABC中，D、E在边BC上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为　　　　． 考向1 复数的概念 4 考向2 复数的运算 5 考向3 平面向量的线性运算 5 考向4 平面向量的数量积 6 考向5 平面向量的平行与垂直 6 考向6 平面向量的夹角与模长 7 典例分析 考向1 复数的概念 【例1】（2026•吉林一模）设复数z，则在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（2026•江西模拟）已知复数，若z（2﹣i）是纯虚数，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【例3】（2026•临沂一模）的虚部是（　　） A． B． C． D． 【例4】（2026•福州模拟）若（x﹣2i）i＝y+i（x，y∈R，i为虚数单位），则x+y＝　　　　． 考向2 复数的运算 【例5】（2026•沧县模拟）若复数z满足|z|+z＝1+i，则（1+z）2＝（　　） A．0 B．﹣2i C．2i D．2 【例6】（2026•龙岩模拟）已知复数，则z的模为（　　） A．1 B． C． D．2 【例7】（多选）（2026•兴义市校级模拟）已知复数，则（　　） A．z＝3+2i B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数ω满足|ω|＝1，则|ω﹣z|的最大值为 【例8】（2026•天津模拟）已知i是虚数单位，则　　　　． 考向3 平面向量的线性运算 【例9】（2026•延安模拟）平面向量（3，﹣1），（x，1），且（1，﹣2），则x＝（　　） A．﹣1 B．2 C． D．3 【例10】（2026•顺德区模拟）已知平面上两点A（2，1），B（﹣1，2），若，则C的坐标为（　　） A．（﹣5，2） B．（5，1） C．（﹣6，0） D．（﹣7，4） 【例11】（2026•宝鸡模拟）已知点O（0，0），向量，，，则P点坐标为（　　） A．（6，﹣1） B．（6，1） C．（4，﹣1） D．（4，1） 【例12】（2026•福建模拟）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则（　　） A． B． C． D． 考向4 平面向量的数量积 【例13】（2026•凯里市校级模拟）已知向量，向量在上的投影向量为，则（　　） A． B．﹣2 C． D． 【例14】（2026•密云区模拟）已知向量，则的最小值为（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【例15】（2026•烟台一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠BAD，点P，Q在四边形ABCD所在平面上，且满足||＝1，2，则的最大值为（　　） A． B．3 C． D． 【例16】（2026•汕头一模）AB为圆O的一条弦，且|AB|＝2，则的值为　　　　． 考向5 平面向量的平行与垂直 【例17】（2026•上饶一模）已知，，若，则λ＝（　　） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 【例18】（多选）（2026•长子县校级模拟）已知向量，，，则（　　） A． B．当时，4m+3n＝3 C．当时，m+n＝1 D．在上的投影向量的坐标为 【例19】（2026•渭南模拟）已知向量（1，﹣3），（﹣2，m），若∥，则m＝　　　　． 【例20】（2026•辽宁模拟）已知向量（1，﹣1），（）⊥，则在上的投影向量的模长为　　　　． 考向6 平面向量的夹角与模长 【例21】（2026•辽宁模拟）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（　　） A． B． C． D．3 【例22】（2026•吉林一模）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【例23】（2026•中山区校级一模）已知向量，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例24】（2026•湖北模拟）已知平面向量，若，则　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 $