7.1 复数的概念（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1 复数的概念 知识点一 复数的概念 1、叫虚数单位，满足，当时，． 2、形如的数叫复数，记作． 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 3、复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数 4、复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 即学即练 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【答案】ABCD 【分析】根据虚数不能比大小可判断A的正误；取可判断B的正误；取可判断C的正误；根据纯虚集、虚数集、实数集三者之间的关系可判断D的正误. 【详解】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误； 对于B，取，则，但，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集， 若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误． 故选：ABCD． 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用求解. 【详解】，虚部为－1 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 知识点二 复数的几何意义 1、复数的坐标表示 （1）任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的．因此，可以用直角坐标系中的点来表示复数 （2）把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 （3）复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量一一对应，所以复数也可以用向量来表示。 （4）向量的模也叫作复数的模（或绝对值）,，． 2、复数加减法的几何意义 （1）以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． （2）根据复数加减法的几何意义有以下性质： ① ②若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 ③若 ,则此平行四边形为菱形 ④若且，则此平行四边形为正方形 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由实部为0，列式即可解出答案； （2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可； （4）由实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为． 由题意得， 解得或． （2）由题意，， ． （3）由题意，， 或． （4）由已知得，故． 3．（多选）（25-26高二下·云南昭通·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 题型01 复数的基本概念 1、了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件跟它们之间的关系。 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0； 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，纯虚数是虚数的真子集。 2、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断． 【详解】依题意，三个集合之间的关系如图所示， 所以，，，． 故选：C． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 3．（25-26高一下·全国·课后作业）i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的定义判断即可. 【详解】选项 A： 是虚数，不是实数， 而 中的元素都是实数，因此 ，故A错误； 选项 B：，而 ，所以 成立，故B正确； 选项 C：， 是虚数，不属于 ，故C错误； 选项 D： 是虚数，也不属于 ，故D错误. 故选：B 题型02 复数的实部与虚部 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； 注意：虚部指的是虚数单位前面的系数，不包含 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的基本概念，即可求解. 【详解】根据复数的概念，可得复数的虚部为. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 题型03 根据复数类型求参 1、根据复数的概念来判断实部、虚部是否为0，从而求得参数的值。 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0； 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 2、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 典｜例｜精｜析 1．（2026高一下·北京·专题练习）已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解. 【详解】复数是纯虚数， 故，解得，故. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知, ．若，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据实数的性质，结合复数的性质进行求解即可. 【详解】，，均为实数，且的实部小于的实部， ，解得， ，故实数m的取值范围是． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，A为的一内角，若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】令，根据求出此时k的范围，再对该范围取补集，则得到恒成立时k的范围，得解． 【详解】令，则，，其中， ∵当时，， ∴的值域为， ∴当时，恒成立，即当时， 不论A为何值，恒成立，z总是虚数． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【分析】由复数的概念可得，若复数是实数，则其虚部为0，由此即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． 题型04 复数的几何意义 复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量一一对应，所以复数也可以用向量来表示。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 【答案】 【分析】设，根据列方程组即可求解. 【详解】记为复平面的原点，由题意得，，． 设，则，． 由题意知，，所以，解得， 故点对应的复数为． 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 【答案】A 【分析】确定复数对应点的坐标，即可判断. 【详解】由复数的性质得对应的点为，对应的点为， 易知与两点在复平面内关于实轴对称. 故选：A． 2．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东·月考）已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. 题型05 复数对应的点所在的象限 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知复数， 其对应点的坐标为，因此， 解得，即的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 1．（四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由整理可得， 可知复数在复平面内对应的点为， 因为，则，， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 2．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义求出. 【详解】由题意得，，其在复平面内对应的点为，所以位于第二象限． 故选：B． 3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 题型06 求复数的模 复数的模（或绝对值）, 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】，． ，． 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的公式，列不等式求出实数的取值范围. 【详解】由，得，即， 或，解得或. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖北荆州·月考）复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】直接计算复数的模即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 3．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 题型07复数的模的几何意义 1、复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 2、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 3、两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？ 【答案】复数在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，1为半径的圆． 【分析】由可得，且，进而有，则有，由复数的模的几何意义知，复数在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，1为半径的圆． 【详解】设， 因为，所以，所以． 由得， 即，所以． 因为， 所以． 因为等价于，且， 所以，即， 即，即， 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 2．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 3．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D    题型08复数的概念综合应用 对应复数的概念，以下几个知识点为常考内容： 1、虚数、纯虚数、实数三者之间的关系以及限制条件 2、虚数无法比较大小，但是模可以比较大小 3、虚部是不包含虚数单位的，虚部是个实数。 4、模的几何意义以及复数的几何意义，与向量结合，再利用数形结合来解决问题，属于比较难的考点。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BC 【分析】根据复数的性质逐一判断选项. 【详解】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误； 对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确； 对于C，，则， 复数的虚部为，C选项正确； 对于D，， 即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆， 则圆的面积，D选项错误. 故选：BC 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）（25-26高三上·安徽·月考）已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 【答案】BCD 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 【答案】ABD 【分析】由复数模的计算判断即可判断A；分别计算出的模即可判断B；计算即可判断C；由复平面的定义判断D． 【详解】设，则 ，故A正确； 因为，，，， 这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上，故B正确； 因为为定值，最大、最小值相等，都是1，故C错误； 根据复平面的定义，轴是复平面的实轴，轴是虚轴，故D正确． 故选：ABD． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数 7.1 复数的概念 知识点一 复数的概念 1、叫虚数单位，满足，当时，． 2、形如的数叫复数，记作． 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 3、复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数 4、复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 即学即练 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 知识点二 复数的几何意义 1、复数的坐标表示 （1）任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的．因此，可以用直角坐标系中的点来表示复数 （2）把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 （3）复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量一一对应，所以复数也可以用向量来表示。 （4）向量的模也叫作复数的模（或绝对值）,，． 2、复数加减法的几何意义 （1）以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． （2）根据复数加减法的几何意义有以下性质： ① ②若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 ③若 ,则此平行四边形为菱形 ④若且，则此平行四边形为正方形 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 3．（多选）（25-26高二下·云南昭通·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 题型01 复数的基本概念 1、了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件跟它们之间的关系。 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0； 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，纯虚数是虚数的真子集。 2、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设全集x是复数，x是实数，x是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 题型02 复数的实部与虚部 复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； 注意：虚部指的是虚数单位前面的系数，不包含 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·贵州·期中）复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 题型03 根据复数类型求参 1、根据复数的概念来判断实部、虚部是否为0，从而求得参数的值。 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0； 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 2、实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小。 典｜例｜精｜析 1．（2026高一下·北京·专题练习）已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知, ．若，求实数m的取值范围． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，A为的一内角，若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________． 题型04 复数的几何意义 复平面内的点与以原点为起点、以为终点的向量一一对应，所以复数也可以用向量来表示。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 2．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东·月考）已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 题型05 复数对应的点所在的象限 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 题型06 求复数的模 复数的模（或绝对值）, 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北荆州·月考）复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07复数的模的几何意义 1、复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 2、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 3、两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 2．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 题型08复数的概念综合应用 对应复数的概念，以下几个知识点为常考内容： 1、虚数、纯虚数、实数三者之间的关系以及限制条件 2、虚数无法比较大小，但是模可以比较大小 3、虚部是不包含虚数单位的，虚部是个实数。 4、模的几何意义以及复数的几何意义，与向量结合，再利用数形结合来解决问题，属于比较难的考点。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 2．（多选）（25-26高三上·安徽·月考）已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $