精品解析：江苏无锡市天一实验学校2025-2026学年七年级（下）开学收心数学试卷

2025-2026学年七年级（下）开学收心数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下面各组数中，相等的一组是（ ） A. 2与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，且m、n异号，则的值为（　　） A. 7或 B. 3或 C. 3 D. 7或3 5. 若，则的余角等于（ ） A. 40° B. 50° C. 90° D. 140° 6. 把一副三角板（其中）与（其中）按如图方式拼在一起，其中点在同一直线上．若平分平分，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一个数的绝对值等于3，这个数是（ ） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9. 一本笔记本原价a元，降价后比原来便宜了b元，小玲买了3本这样的笔记本，比原来便宜了（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 10. 如图，已知点C为线段的中点，点B、D分别在线段、上，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每空2分，计16分） 11. 已知与是同类项，则____． 12. 2022年1月28日，北京冬奥组委发布《北京冬奥会低碳管理报告（赛前）》，根据本次“绿色办奥”理念，以及疫情下筹办和举办北京冬奥会的实际情况，修订后的基准线排放量约为130.6万吨二氧化碳当量，其中“130.6万”用科学记数法表示为________ ． 13. 用“+、-、×、÷”将19、20、21、22组成24：___________． 14. 某种商品原价是m元，第一次降价打“八折”，第二次降价每件又减15元，第二次降价后每件的售价是49元，则______． 15. 时钟上显示时，时针和分针的夹角是______度． 16. 商店准备将定价为5元的笔记本按如下方式促销：若购买不超过5本，按原价付款；若一次性购买5本以上，超过部分打八折，现有50元钱，最多可购买该笔记本______本． 17. 如图，已知，垂足为O，若，则_______． 18. “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 _________． 三．解答题（本大题共9小题，计74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 中考新趋势·新定义 若，是有理数，定义一种运算“”：． （1）计算的值； （2）计算的值； （3）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 20. 解方程： （1） （2） 21. 将下列各数在数轴上表示出来，并把它们用“”连接起来． ，0，，，． 22. 化简： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中x，y满足． 23. 如图，已知点B是线段上一点，过点A作，连接，，使． （1）求证 ； （2）若，求的度数 24. 如图，已知，，是的角平分线，求的度数． 25. 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距28个单位长度．动点P从点A出发，以4单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： （1）秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是_______； （2）动点Q从点C运动至A点需要__________秒； （3）P，Q两点相遇时，________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是________； （4）如果P，Q两点相距1个单位长度，请求出t的值． 26. 第十九届杭州亚运会的吉祥物宸宸、琮琮和莲莲，因其美好的寓意及可爱的造型，成为了近段时间最畅销的产品．某商店10月份售出这三种吉祥物共1200个，其中宸宸的销量与总销量的比为． （1）10月份宸宸的销量是多少？ （2）已知琮琮的销量比莲莲销量的2倍少100个，求该商店10月份售出吉祥物琮琮和莲莲各多少个？ 27. 如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． （1）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ （2）如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级（下）开学收心数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下面各组数中，相等的一组是（ ） A. 2与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，相反数，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别求出各选项的每一个数，进行对比即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，，不相等，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，相等，符合题意， 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项的法则，合并同类项的法则为将它们的系数相加，字母和字母的指数不变即可．直接利用合并同类项法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解； 【详解】解： 关于的方程的解是整数； 则整数，，共个； 故选：C 4. 若，，且m、n异号，则的值为（　　） A. 7或 B. 3或 C. 3 D. 7或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了的绝对值的定义，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的定义，求出m和n的值，即可解答． 【详解】解：∵，，且m、n异号， ∴或， ∴或， 故选：A． 5. 若，则的余角等于（ ） A. 40° B. 50° C. 90° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据余角的定义即可求解． 【详解】解：∵∠A=40°， ∴它的余角=90°－40°=50°． 故选：B 【点睛】本题考查了余角的知识，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键． 6. 把一副三角板（其中）与（其中）按如图方式拼在一起，其中点在同一直线上．若平分平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的和差和角平分线的意义，先根据平角的定义计算出，再根据角平分线的意义得出，最后根据求解即可． 【详解】∵点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角的定义，根据，得到，即可得到，由，利用邻补角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 一个数的绝对值等于3，这个数是（ ） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点3和﹣3到原点的距离是3，所以绝对值等于3的数是±3．故选C． 9. 一本笔记本原价a元，降价后比原来便宜了b元，小玲买了3本这样的笔记本，比原来便宜了（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意直接列式计算即可． 【详解】解：一本笔记本原价元，降价后比原来便宜了元， 则三本便宜了元， 故选：D． 【点睛】本题主要考查列代数式，理解题意是解题关键． 10. 如图，已知点C为线段的中点，点B、D分别在线段、上，且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据线段中点的意义，可得，再结合，利用线段差可判断A；根据，结合线段差可判断B；根据，结合线段差可判断C；根据已知无法得出，由此可判断D． 【详解】解：∵点C为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C正确，不符合题意； 根据已知条件无法得出， 故D错误，符合题意； 故选：D． 二．填空题（本大题共8小题，每空2分，计16分） 11. 已知与是同类项，则____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，据此求出m与n的值，即可求出． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 12. 2022年1月28日，北京冬奥组委发布《北京冬奥会低碳管理报告（赛前）》，根据本次“绿色办奥”理念，以及疫情下筹办和举办北京冬奥会的实际情况，修订后的基准线排放量约为130.6万吨二氧化碳当量，其中“130.6万”用科学记数法表示为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13. 用“+、-、×、÷”将19、20、21、22组成24：___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了四则运算，解题的关键是运用逆推法或凑数法，进行一步一步的推导，即可得出答案． 【详解】解： ； 或 ， 故答案为：或． 14. 某种商品原价是m元，第一次降价打“八折”，第二次降价每件又减15元，第二次降价后每件的售价是49元，则______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据“第一次降价打“八折”，第二次降价每件又减15元，第二次降价后每件的售价是49元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：80 15. 时钟上显示时，时针和分针的夹角是______度． 【答案】105 【解析】 【分析】钟表的一周，分成12个大格，求出每个大格的度数是，根据时针与分诊的格数解答即可． 【详解】解：∵，时钟上的时针和分针相距的份数是：， ∴，时钟上的时针和分针之间的夹角是． 故答案为：105． 【点睛】此题主要考查了钟面角的有关知识，得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格是解决问题的关键． 16. 商店准备将定价为5元的笔记本按如下方式促销：若购买不超过5本，按原价付款；若一次性购买5本以上，超过部分打八折，现有50元钱，最多可购买该笔记本______本． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用；设购买该笔记本x本，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：设购买该笔记本x本， 由题意得：， 解得：； 由于x为正整数，则； 即最多可购买该笔记本11本； 故答案为：11． 17. 如图，已知，垂足为O，若，则_______． 【答案】##121度 【解析】 【分析】根据，得，又因为，即可求出，再根据求解． 【详解】∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 18. “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 _________． 【答案】615或645或675 【解析】 【分析】本题考查有理数乘法，理解并运用数学常识是解题关键． 根据示例求出b，再根据已知判断a应为奇数，从而求出结果即可． 【详解】解：由图得，，，， ∴如图， ∴， ∴如图， 由图得，a应为奇数1，3，5， 所以两个两位数可以为；；； ∴相乘结果为615或645或675 故答案为：615或645或675 三．解答题（本大题共9小题，计74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 中考新趋势·新定义 若，是有理数，定义一种运算“”：． （1）计算的值； （2）计算的值； （3）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】（1） （2） （3） 解：∵，， ∴， ∴定义的新运算“”对交换律成立． 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则，先计算括号里的计算即可； （3）按照交换律的性质，计算判断即可． 本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加减混合，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 略 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）合并同类项，最后系数化为1即可求解； （2）移项，合并同类项，最后系数化为1即可求解； 本题考查了解一元一次方程，掌握移项和合并同类项是解题关键． 【小问1详解】 解：  【小问2详解】 解： 21. 将下列各数在数轴上表示出来，并把它们用“”连接起来． ，0，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，比较有理数的大小，解题的关键是掌握数轴上点的特点．先利用绝对值的定义，相反数的定义化简能化简的数，再将这些有理数表示在数轴上，再把它们用“”连接起来即可． 【详解】解：，， 在数轴上表示如下： 用“<”连接： ． 22. 化简： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】（1） （2） （3）化简为，值为33 【解析】 【分析】（1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可； （3）先根据整式的加减运算法则进行计算，然后再根据偶次方的非负性质，绝对值的非负性质得出：，，求出x、y的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵，，， ，， ，， ． 23. 如图，已知点B是线段上一点，过点A作，连接，，使． （1）求证 ； （2）若，求的度数 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，根据得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据平行线的性质得出，根据得出，求出即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，平行的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 24. 如图，已知，，是的角平分线，求的度数． 【答案】75° 【解析】 【分析】根据角的和差性质计算，得∠AOC；根据角平分线的性质计算，得；再根据角的和差性质计算，即可得到答案． 【详解】∵∠AOB＝120°，∠BOC＝30° ∴∠AOC＝∠AOB -∠BOC＝90° 又∵OD是∠AOC的角平分线， ∴ ∴∠BOD＝∠COD+∠BOC =45°＋30°＝75°． 【点睛】本题考查了角的和差和角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角的和差和角平分线的性质，从而完成求解． 25. 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距28个单位长度．动点P从点A出发，以4单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： （1）秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是_______； （2）动点Q从点C运动至A点需要__________秒； （3）P，Q两点相遇时，________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是________； （4）如果P，Q两点相距1个单位长度，请求出t的值． 【答案】（1） （2） （3）； （4）1或 【解析】 【分析】本题主要考查数了轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）当秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数， （2）分别计算出，，段的运动时间求和即可； （3）先求出点Q从C到B需要秒，点P从A到O需要秒，点P经过4秒到达点3处；设点P从3到10，点Q从10到3相遇于点M，需要x秒， 列出方程，求出，根据运动速度求出结果即可； （4）分情况讨论，①动点 Q 在 上，动点 P 在 上，②动点 Q 在 上，动点 P 在 上，③动点 Q 在 上，动点 P 在 上，④动点 Q 在 上，动点 P 在 上，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当秒时，， 则P点对应的数为； 【小问2详解】 解：动点Q从点C运动至A点所需时间为： （秒）； 【小问3详解】 解：点Q从C到B需要秒，点P从A到O需要秒，点P经过4秒到达点3处； 设点P从3到10，点Q从10到3相遇于点M，需要x秒， ， 解得：； ∴． 此时，点P运动到． ∴M 所对应的数为：； 【小问4详解】 解：由（3）可得，点Q从C到B需要4秒，经过4秒到达点3处；设还需要经过a 秒相距1个单位． ①还没有相遇，差1个单位长度， ， 解得：， ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①相遇后，又走了1个单位长度 ， ， ∴． 综上所述，如果P，Q两点相距1个单位长度，t的值为1或． 26. 第十九届杭州亚运会的吉祥物宸宸、琮琮和莲莲，因其美好的寓意及可爱的造型，成为了近段时间最畅销的产品．某商店10月份售出这三种吉祥物共1200个，其中宸宸的销量与总销量的比为． （1）10月份宸宸的销量是多少？ （2）已知琮琮的销量比莲莲销量的2倍少100个，求该商店10月份售出吉祥物琮琮和莲莲各多少个？ 【答案】（1）400个 （2）10月份售出吉祥物莲莲的数量为300个，琮琮的个数为个． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次方程的应用，有理数乘法的应用. （1）用总销量乘以宸宸的销量与总销量的比即可求解． （2）设10月份售出吉祥物莲莲的数量为x个，则售出吉祥物琮琮的个数为，然后列出关于x的一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 解：(个) 故10月份宸宸的销量是400个． 【小问2详解】 设10月份售出吉祥物莲莲的数量为x个，则吉祥物琮琮为个， 根据题意得：， 解得：， 则， ∴10月份售出吉祥物莲莲的数量为300个，琮琮的个数为个． 27. 如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． （1）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ （2）如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，② （2）①，②的度数不发生变化， 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可得出结果； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【小问1详解】 解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转， 设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． 【小问2详解】 解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $