5.4 第5课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质&培优专题6 二次函数的图象和性质-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

15.y1>y2>y316.(1)C(2)a≤2 (a-1)+2抛物线顶点的纵坐标为-子（口-1） 1 17.y=号z-2y18B 十2”子<0顶点纵坐标的最大值为2 19解：联立=2x+4 x=0|x=6 =(x一2)解得 或 y=4或y=16“点A的坐 20.解：(1)将(3,0)代人二次函数表达式，得-32+2×3+m =0,解得m=3.(2)二次函数的表达式为y=一x2十 标为(0,4)，点B的坐标为(6,16).设直线y=2x十4与x 2x十3.令y=0,得-x2十2x十3=0，解得x=3或x= 轴交于点D,则点D的坐标为（一2,0）.：抛物线y=(x -1,点B的坐标为(-1,0).(3)S△ABD=S△ABc,点 -2)2的顶点C的坐标为(2,0)，.CD=4,∴.S△Bc= D在第一象限，∴点C,D关于二次函数对称轴对称.由 5-5e=7×4X16-2×4X4=2t 二次函数表达式可得其对称轴为x=1.又，点C的坐标 为(0,3)，∴点D的坐标为(2,3). 第4课时二次函数y=a(x一h)2十k 21.D 的图象和性质 22.解：(1)将(0,0)代人二次函数y=x2-2mx十m2-1中， 1.(1)B(2)B2.B3.A4.B5.ABC 得0=m2-1,解得m=士1，.二次函数的表达式为y= 6.(1,0)7.A8.y=2(x+2)2-2 x2+2x或y=x2-2x.(2)当m=2时，二次函数表达 9解：1)a= 2h=1,b=-5.(2)它的开口向上，对称轴 式为y=x2-4x+3,即y=(x-2)2-1,∴.C(0,3), D(2,一1).(3)存在.理由：连接CD,可知当点P位于 为直线x=1,顶点坐标为(1，一5). CD与x轴的交点时，PC十PD最短.由题意可求得经过 10.A11.B12.A13.C C,D两点的直线的表达式为y=-2x十3，令y=0,则 14.D[解析]y=a(x-1)2-a的对称轴为直线x=1,顶点 坐标为(1，-a).当a>0时，在-1≤x≤4，函数有最小值 -2x十3=0，解得z=号，当点P的坐标为（号，0）时， -a,∴.-a=-4,∴.a=4.当a<0时，在-1≤x≤4，当x PC+PD最短. =4时，函数有最小值，∴9a-a=一4，解得a=一子综 培优专题6：二次函数的图象和性质 1.D2.B3.AD4.C5.A 上所述a的值为4或子 6.-2.57.y=x2+4x十3 8.(1)y=-x2+2x十3(2)W5 15.3(答案不唯一)16.617.一1或5 9.解：(1)(-2,0)(3,0)(0,4)(2)①，CP∥x轴，C(0, 18.解：(1)，抛物线的表达式为y=(x十m)2十k,且其顶点 4),易得P(1,4),∴.CP=1.易得AB=5.CP∥x轴， 为M(1,-4),∴.y=(x-1)2-4.令y=0,得(x-1)2-4 =0,解得x1=3,x2=-1,.A(-1,0),B(3,0). 品-器-片®蜘图，过点P作PQB交C于 (2)存在：△PAB与△AB同底，且SAu-是SMs, 点Q.易得直线BC的表达式为y=-专x十4已知点P =是1w=号×4=5，即n=士5又"点P在 的黄坐标为m,则P(m,号m+号m十4)，Q(名m y=(x-1)2-4的图象上，yp≥-4，yp=5,则(x- m,号m2+号m+,=m-(m-m） 1)2-4=5,解得x1=4,x2=-2,.存在合适的点P,坐 3 标为(4,5)或(-2,5). 12+3m.PQ/AB,bA=是=22" 第5课时二次函数y=a.x2+bx十c 5 的图象和性质 (m一)+品当m号时，的最大值 1.B 2.A 3.B 4.ABC 5.D 6.(1)D(2)C(3)y1<y3<y2 为品 7.(-2,0)8.D9.(3,10)10.D11.D12.-4 13.A14.C15.D16.AD17.B 18.(1)(2,-1)(2)y2=x2-4x+3(3)8 19.解：(1)0(2)：y=x2+(a十1)x十a向上平移2个单位 长度可得y=+(a+1)x+a+2y-(c+尘) ·20·同行学案学练测 5.5确定二次函数的表达式 () 1.A2.D3.A4.B5.y=-3x2-12x-96.D 7.y=x2-4x+3 8.獬：(1)A(-1,0),B(4,0),.A0=1,OB=4,.AB= AO+OB=1+4=5..AB=OC,∴.OC=5,即点C的坐标 为(0,5).(2)设二次函数的表达式为y=a(x 4)(x十1).点C(0,5)在函数图象上，.5=a(0 0X0+1D解得a=-号∴y=-号（红-40(x+1D. 5.6二次函数的图象与一元二次方程 A(一1,0)，B4,0),∴线段AB的中点坐标为（受，0）， 1.D2.(1)B(2)A3.-44.D5.B6.C 7.x1=-2,x2=18.C9.1.4 即抛物线的对称轴为直线x=是.：a=一号<0，当 10m<-号 [解析]当m十6=0，即m=-6时，y=-14x 一号时)有最大值需 一5，此时函数为一次函数，其图象与x轴有交点.当m十 16 (m+6≠0 9.示例：y=(x-2)2-110.y=2(x-1)2-8 6≠0时，由题意得 4=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)≥0 11.y=x2-2x 12.313.①③④ 解得m≤-号且m≠-6，家上所述，m的取值范围为 14.解：(1)二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点B(0, 一4)，∴.c=一4..对称轴为直线x=1,图象经过A(一2,0)， 11.D12.A 1 ,解得 a=2,抛物线的表达式为y 13.x1=2,x2=-414.x<-1或x>415.-3<x<1 4a-2b-4=0 b=-1 16.(1)x1=1,x2=3(2)1<x<3(3)x>2(4)k<2 =子r-工-4、（②）设直线AB的表达式为y=x十几 17.解：如图，当y=0时，一x2+4x十5=0，解得x1=一1，x2 =5,则A(一1,0)，B(5,0).将该二次函数在x轴上方的 A(-2,0),B(0,-40,{厂26+n=0, (k=一2 图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的表达式为y= ln=-4 ,解得 {n=-4 (x十1)(x-5),即y=x2-4x-5(-1≤x≤5).当直线y .直线AB的表达式为y=-2x一4.A,C关于直线x =一x十b经过点A(-1,0)时，1十b=0,解得b=-1.当 直线y=一x十b与抛物线y=x-4x-5(-1≤x≤5)有 =1对称，∴.C(4,0).设N(m,0).MN⊥x轴，.M(m, 唯一公共点时，方程x2-4x一5=一x十b有相等的实数 -2m-4),∴.NC=4-m..MN=3NC,∴.2m+4=3(4 解，解得6=一.因此，当直线y=一x十b与新图象有 29 mm-点M(管 15.解：(1)抛物线y=-x2+bz十c经过点B(0,3)和点 4个交点时，b的取值范围为一9<b<一1 A(3,0),. 一9+36十c=0解得抛物线的表达 (c=3 1b=2 式是y=一x2十2x十3.设直线AB的表达式为y=kx十 m.根据题意得3k十m=0 m=3 (k=一1 m=3 ,直线的表达 式为y=-x十3.(2)如图，过点P作PN⊥OA于点 N,交直线AB于点M.设点P的横坐标为a,则点P的 18.(1)解：由题意，得△=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+ 坐标为(a,-a2+2a十3)，点M的坐标是(a,-a十3).又 4a2=(2a十b)2≥0，∴.二次函数图象与x轴的交点的个 点P,M在第一象限，∴.PM=-a2+2a十3-(-a十 数有两个或一个.(2)解：当x=1时，y=a+b-(a十b) =0,.抛物线不经过点C.把点A(-1,4),B(0,一1)分 3)--a+3a,'SaM-SAP+S-PM:OA 别代人，得4=a-b-(a+b) 32该=次面 =2(-a2+a)x3=8(a-)》广+g当a=号 【1=-a十，解得3 数的表达式为y=3x2-2x-1.(3)证明：当x=2时，m 时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 =4a+2b-(a+b)=3a+b>0①.，a+b<0, ∴.-a-b>0②，①十②，得2a>0,.a>0.第5课时 二次函数y=。 (教材P38 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：将二次函数的一般式配方成顶点式 1.把二次函数y=一x2一2x十3配方化为y a(x-h)2十k的形式是() A.y=-(x-1)2-4B.y=-(x+1)2+4 C.y=-(x-1)2+3 D.y=-(x+1)2-3 2.（宁波中考)抛物线y=x2-2x+m2+2(m是 常数)的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点二：二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 3.当k>0时，二次函数y=kx2一2x一1的图象 大致为( 4.（多选)对于二次函数y=x2一2x一1，下列说 法正确的是( A.函数图象的对称轴是直线x=1 B.函数图象的顶点坐标为(1，一2) C.当x>2时，y随x的增大而增大 D.函数图象与y轴交于点(0,1) 5.（温州中考)已知二次函数y=x2一4x十2，关 于该函数在一1≤x≤3的取值范围内，下列 说法正确的是( ) A.有最大值一1，有最小值一2 B.有最大值0，有最小值一1 C.有最大值7，有最小值一1 D.有最大值7，有最小值一2 6.[一题多辨](1)点P1(-1,y1),P2(3,y2), P3(5,y)均在二次函数y=一x2十2x十c的 图象上，则y1y2y的大小关系是() A.y3>y2>y1 B.y3>y1=y2 C.y1>y2>y3 D.y1=y2>y3 第5章对函数的再探索☑ x2十bx十c的图象和性质 ~40练习) (2)(温州中考变式)已知(-3，y1),(一2， y2),(1,y3)是抛物线y=3x2+12x+m上的 点，则( ) A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2 C.y2<y1<y3 D.y1<y3<y2 (3)已知点A(-4,y1),B(-2,y2),C(1,y3) 都在二次函数y=ax2+2ax一5(a是常数， 且a<0)的图象上，则y1,y2,y3之间的大小 关系是 (用“<”连接) 7.如图，若抛物线y=ax2十 bx+c上的P(4,0),Q两点关 于直线x=1对称，则Q点的 P 坐标为 知识点三：抛物线y=ax2+bx十c的平移 8.(济宁中考)将抛物线y=x2一6x十5向上平 移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 后，得到的抛物线表达式是( A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2 9.将抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)向下平移 3个单位长度，再向左平移4个单位长度得到 抛物线y=一2x2一4x十5，则原抛物线的顶 点坐标是 易错点：错判对称轴的位置而致错 10.(常州中考)已知二次函数y=x2+(m一 1)x+1,当x>1时，y随x的增大而增大， 则m的取值范围是() A.m=-1 B.m=3 C.m≤-1 D.m≥-1 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 素养提升微专题” 【二次函数图象的对称性】 11.已知二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部 分对应值如下表 x 1 0 2 3 y 一1 1 做神龙题得好成绩39 /同行学案学练测九年级数学下QD 则该二次函数图象的对称轴为( A.y轴 B直线x=5 C.直线x=2 D直线x= 2 12.已知抛物线y=一x2+bx+4经过（一2，n) 和(4，n)两点，则n的值为 【图象共存问题】 13.(自贡中考)一次函数y=ax十 b与反比例函数y=C的图象 如图，则二次函数y=ax2十 bx十c的大致图象是( 14.(泰安中考)在同一平面直角坐标系内，二次 函数y=ax2+bx十b(a≠0)与一次函数 y=ax十b的图象可能是( 之头头桌 【二次函数y=ax2十bx十c的图象 与a,b,c的关系】 15.已知二次函数y=ax2+ bx十c(a≠0)的图象如图所 示，对称轴为直线x= 2 下列结论中正确的是( A.abc0 B.a+6=0 C.2b+c>0 D.4a+c<26 16.(多选)如图是二次函数 y=a.x2十bx十c图象的 部分，且过点A(3,0),二 次函数图象的对称轴是直 线x=1,则下列结论正确的是( A.b2>4ac B.ac0 C.2a-b=0 D.a-b十c=0 40 做神龙题得好成绩 17.如图，若二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)图 象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点C, 与x轴交于点A,B(一1,0)，下列结论：①二 次函数的最大值为a+b十c;②a一b十c< 0;③b2-4ac<0;④当y>0时，-1<x<3. 其中正确的个数是( yt B -10 A.1 B.2 C.3 D.4 18.如图，7×8网格中每个小正方形的边长均为 1,将抛物线y1=x2-一1向右平移 2个单位长度得到抛物线y2. (1)抛物线y2的顶点坐标为 (2)抛物线y2的函数表达式为 (3)图中阴影部分的面积为 Y 19.(安徽中考)设抛物线y=x2十(a十1)x十a, 其中a为实数， (1)若抛物线经过点（一1，m),则m= (2)将抛物线y=x2十(a十1)x十a向上平 移2个单位长度，求所得抛物线顶点的纵坐 标的最大值 20.如图所示，二次函数y=一x2十2x十m的图 象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交 点为B,且与y轴交于点C. (1)求m的值. (2)求点B的坐标 (3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中 x>0,y>O),使S△ABD=S△ABC,求点D的 坐标. 即培优创新 >》>》>>)>>)>>)>>难度等级综合题 21.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中 x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而 增大，且一2≤x≤1时，y的最大值为9，则a 的值为() A.1或-2 B.一√2或2 C.√2 D.1 第5章对函数的再探索☑ 22.[推理能力]已知二次函数y=x2一2mx十 m2-1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0, 0)时，求二次函数的表达式 (2)如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于 点C,顶点为D,求C,D两点的坐标 (3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P, 使得PC十PD最短？若点P存在，求出点 P的坐标；若点P不存在，请说明理由. 做神龙题得好成绩41 同行学案学练测九年级数学下QD 华 培优专题6：二次 养 1.（玉林中考)小嘉说：“将二次函数y=x2的图 象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法： ①向右平移2个单位长度； 抽象能 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单 位长度； ③向下平移4个单位长度； 运算能 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度.” 你认为小嘉说的方法中正确的个数是( ) 几何 A.1 B.2 C.3 D.4 直观 2.（绥化中考)已知二次函 数y=ax2+bx+c的部 间观念 分函数图象如图所示，则 一次函数y=ax+b2 推理 4ac与反比例函数y 能力 4a+2b十c在同一平面 数据观念 直角坐标系中的图象大致是( 模型观念· 本小 应用 意识 3.（多选)二次函数y=ax2十bx十c,自变量z 创新 与函数y的对应值如下表. 意识 .-5-4-3-2-10 … y …40-2-204 下列说法正确的是( A抛物线的开口向上 B.当x>一3时，y随x的增大而增大 C.二次函数的最小值是一2 D,抛物线的对称轴是直线x=一 4.某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s) 的关系式是h=一2t2+20t+1,若这种礼炮 在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空 到引爆需要的时间为() A.3s B.4s C.5s D.10s 42 做神龙题得好成绩 函数的图象和性质 5.（巴中中考)二次函数y= a.x2+bx十c(a≠0)的图象 如图，有下列结论：①b2> 0 4ac;②abc<0;③2a+b c>0;④a十b十c<0.其中正确的是( A.①④B.②④C.②③D.①②③④ 6.当0≤x≤7时，函数y=一2x2+8x-6的最 大值是 7.抛物线y=x2一4x十3关于y轴对称的抛物 线的表达式为 8.(牡丹江中考)已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴 交于A(一1,0)，B(3,0)两 点，与y轴交于点C,顶点 为D. (1)该抛物线的表达式为 (2)连接BC,CD,BD,P为BD的中点，连接 CP,则线段CP的长是 9.(黄石中考)如图，抛物线y= 3x+3x+4 2 与坐标轴分别交于A,B,C三点，P是第一象 限内抛物线上的一点且横坐标为m. (1)A,B,C三点的坐标分别为 (2)连接AP,交线段BC于点D. PD ①当CP与x轴平行时，求DA的值. @当CP与x轴不平行时，求册的最大值