5.4 第3课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

培优专题5：反比例函数与一次函数的综合 AD的表达式为y=-2a+5令y=0,得x=多， 1.CD 2.D 3.-24.-2<k<05.3 ∴点P的坐标为（号，0），∴SPu=SMm一SaPm=2 1 6.y=-6 [解折]：直线y=多x一3分别交工轴、y轴于 X2×2- 2 x A,B两点，∴A(2,0),B(0,一3).设点D坐标为(xD,0), 则点C坐标为xn+2,3).又：Sm=ADX3=9, B ∴号2-xn)X3=9,∴xn=-4,则点D(-4,0),点C D （一2,3).又：点C在反比例函数y=兰的图象上，6 9.解：(1)八反比例函数y=m经过点A(-3,2),m=一6， 一2X3-一6，∴反比例函数的表达式为y=一6 x 7.12[解析]如图，以PQ为边作矩形PQQ'P',交双曲线于 ∴反比例圈数的表达式为y=一兰“点B(1,0)在反比 y=x 例函数y=一 点P',Q'联立方程组 6,解得 |x=-√6x=6 的图象上=一6，B1,一6把点 或 y= x y=-√6y=√6 A,B的坐标代入y=虹十6，得3张+6=2， 点A的坐标为（一√6，一√6），点B的坐标为（√6，√6）. k+6=一6，解得 6=-4一次函数的表达式为y=一2x一4.(2)设直 k=一2 设PQ=2m…0P=m,点P的坐标为(-号号)， 线AB交y轴于点C.在y=一2x一4中，令x=0,得y= 根据图形的对称性可知PP'=AB=QQ',点P'的坐标 为(-号m十2w6,号m+26).又：点p'在双曲线y -4,C(0,-4),∴.0C=4,∴Sa0B=S△c+S△B0=2 上，(-受m+26)(停m+2v6)=,解得m=6 ×4×3+2×4×1=8.(3)点P的坐标为(-6,0)或 (-E,0或(vB,0)或(-号，)， (负值已舍去)，∴.PQ=2m=12. 10.解：(1)把A(3,5)代入y2=”(m≠0)，可得m=3X5= 15,心反比例函数的表达式为2=15 把点B(a,-3)代 入=2，可得a=-5,B(-5,-3).把A3,5, 15 13k十b=5 B(-5,-3)代入y1=kx+b,可得 -5k+b=-3 ,解得 8.解：(1)把点A(1,a)代人一次函数y=-x+4,得a=-1 62。一次函数的表达式为=x+2.2)一次函 十4，解得a=3,.A(1,3).把点A(1,3)代入反比例函数y 数的表达式为y1=x十2，令x=0,则y=2,.一次函数 -冬得及=3，反比例函数的表达式为y= 之解方程组 与y轴的交点为P(0,2).此时，PB-PC=BC最大，P 即为所求.令y=0,则x=一2，.C(-2,0),.BC= y=-x+4 x1=1x2=3 √(-5+2)2+32=3√2.(3)当y1>y2时，x的取值范 3 y-z =3'g=1心点B的坐标为3，D. ,得 围是-5<x<0或x>3. (2)如图，作点B关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连 1解：1)-4长x<-2。(2)将A(-2,4)代入y=空，得 接AD,交x轴于点P,连接PB,此时PA十PB的值最小， ∴.D(3,一1).设直线AD的表达式为y=mx十n.把A,D m=一8，反比例函数的表达式为y=一将A(一2， 3m+n=一1解得m一2， 两点的坐标代入得m+n=3 n=5，直线 4=-2a+b 4),B(-4,2)代入y=ax+b,得 2=一4a+6解得 6=6心一次函数的表达式为y=x+6.(3)在y= a=1 11.解：(1)把点(1，b)代入y=2x-3,得2-3=b,解得b= 一1，∴.交点坐标为(1，-1).把(1，-1)代入y=a.x2,得a 十6中，当y=0时，x=-6,.C(-6,0),.S△o= =一1.(2)当a=一1时，二次函数表达式为y=一x2, Sam-Sac=专0cX(w-yg)=号×6X2=6, ∴.它的对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0).(3)二次函数 y=一x2,当x<0时，y随x的增大而增大. Sm=号X6=8点P在y辅上，号0PX1z 1 12.BD13.A =3,.OP=3,.P(0,3)或(0，-3) 14.a>b>d>c15.D16.2317.C 5.3二次函数 18.解：(1)设直线AB的表达式为y=x+b.A(2,0), 1.AC 2.C (2k十b=0 B(1,1)都在y=x+b的图象上，. 3.(1)m=√3或m=-√3(2)m=1或m=-1(3)m=2 b+6=】,解得 k=一1 4.B5.C6.A7.A ,直线AB的表达式为y=-x十2.点B(1, b=2 8.解：如图，把两条互相垂直的道路平移到地面相邻的边上 由矩形的面积公式，得y=(20一x)(32-x),整理，得y= 1)在y=ax2的图象上，∴a=1,抛物线的表达式为y=x2. x2-52x+640(0<x<20). =一x+2 x=-2。x=1 (2)由1 ,解得 =x2 y=4 或，y=1心点C的坐标 y m2 (20-x)m 为(-2，.(3)Sam=Sm-Sau=号×2X4-号 1 T4(32-x)m→ ×2×1=3. 9.C10.A 第2课时二次函数y=a,x2十k的图象和性质 1y=号r+u0x≤0) 1.C2.BD3.A4.(1)A(2)C 5.C6.C7.A 12.y=2x2-4x+4(0<x<2) 8.解：能.设平移后的图象对应的二次函数表达式为y= 1a解，由题意得△AEPn△ABC小0既即号- 4 寻2+6，将点3，-3)代入表达式得6=一6，所以平移的 写解得EF122S=EFBG-2,x 2 2 方向是向下，平移的距离是6个单位长度， ，S与之同的函数关系武为S= 9.A10.A11.D12.D13.C14.c 3 15.1816.C +6x(0≤x≤4). 17.解：(1)点A为直线y=x+1与x轴的交点，点A的 14.解：(1)，AB=xm,.BC=(24-3x)m.由题意，得S= 坐标为（一1,0）.·点B的横坐标为2，代入y=x十1，得 BC·AB=(24-3.x)x=-3z2+24x. (24-3x>0 y=3,∴点B的坐标为(2,3).·抛物线顶点在y轴上， ,解 x>0 ∴.可设抛物线的表达式为y=ax2十c.把A,B两点的坐 得0<x<8,.S与x之间的函数表达式为S=一3x2+ 标代人，得/+c=0 如+c=3'解得 {c=一1心抛物线的表达式 a=1 24x(0<x<8).(2)由(1)知BC=(24-3x)m.由题意， 得24-3x≤9，解得x≥5.由(1)知0<x<8,.5≤x<8. 为y=x2-1.(2)△ABM是直角三角形.理由如下： 15.解，(1)由题意可知AP=2z,BQ=4红，则y=BC.AB ,抛物线的表达式为y=x2一1，∴.点M的坐标为(0， 一1).点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(2,3)， 名0·BP=2×24X12-号×4k12-2a),即y= ∴.AB=32,AM=√2，BM=25.AB2+A=(3√2)2 4x2-24x+144.(2)0<x<6.(3)不能.理由如下：当 +(W2)2=20,BM2=(2√/5)2=20，∴.AB2+AM=BMP, y=172时，4x2-24x十144=172，解得x1=7,x2=-1. ∴.△ABM是直角三角形. ,0<x<6,∴.四边形APQC的面积不能等于172cm2. 第3课时二次函数y=a(x一h)2的图象 5.4二次函数的图象和性质 和性质 第1课时二次函数y=a.x2的图象和性质 1.B2.A3.D4.ABC5.D6.(1)C(2)D 1.BD2.BC3.A4.A5.2π6.A7.C 7y=2x-209 8士29410=-含女 8.A9.AD10.C11.AD12.B13.D14.D 同行学案学练测·19· 15.y1>y2>y316.(1)C(2)a≤2 (a-1)+2抛物线顶点的纵坐标为-子（口-1） 1 17.y=号z-2y18B 十2”子<0顶点纵坐标的最大值为2 19解：联立=2x+4 x=0|x=6 =(x一2)解得 或 y=4或y=16“点A的坐 20.解：(1)将(3,0)代人二次函数表达式，得-32+2×3+m =0,解得m=3.(2)二次函数的表达式为y=一x2十 标为(0,4)，点B的坐标为(6,16).设直线y=2x十4与x 2x十3.令y=0,得-x2十2x十3=0，解得x=3或x= 轴交于点D,则点D的坐标为（一2,0）.：抛物线y=(x -1,点B的坐标为(-1,0).(3)S△ABD=S△ABc,点 -2)2的顶点C的坐标为(2,0)，.CD=4,∴.S△Bc= D在第一象限，∴点C,D关于二次函数对称轴对称.由 5-5e=7×4X16-2×4X4=2t 二次函数表达式可得其对称轴为x=1.又，点C的坐标 为(0,3)，∴点D的坐标为(2,3). 第4课时二次函数y=a(x一h)2十k 21.D 的图象和性质 22.解：(1)将(0,0)代人二次函数y=x2-2mx十m2-1中， 1.(1)B(2)B2.B3.A4.B5.ABC 得0=m2-1,解得m=士1，.二次函数的表达式为y= 6.(1,0)7.A8.y=2(x+2)2-2 x2+2x或y=x2-2x.(2)当m=2时，二次函数表达 9解：1)a= 2h=1,b=-5.(2)它的开口向上，对称轴 式为y=x2-4x+3,即y=(x-2)2-1,∴.C(0,3), D(2,一1).(3)存在.理由：连接CD,可知当点P位于 为直线x=1,顶点坐标为(1，一5). CD与x轴的交点时，PC十PD最短.由题意可求得经过 10.A11.B12.A13.C C,D两点的直线的表达式为y=-2x十3，令y=0,则 14.D[解析]y=a(x-1)2-a的对称轴为直线x=1,顶点 坐标为(1，-a).当a>0时，在-1≤x≤4，函数有最小值 -2x十3=0，解得z=号，当点P的坐标为（号，0）时， -a,∴.-a=-4,∴.a=4.当a<0时，在-1≤x≤4，当x PC+PD最短. =4时，函数有最小值，∴9a-a=一4，解得a=一子综 培优专题6：二次函数的图象和性质 1.D2.B3.AD4.C5.A 上所述a的值为4或子 6.-2.57.y=x2+4x十3 8.(1)y=-x2+2x十3(2)W5 15.3(答案不唯一)16.617.一1或5 9.解：(1)(-2,0)(3,0)(0,4)(2)①，CP∥x轴，C(0, 18.解：(1)，抛物线的表达式为y=(x十m)2十k,且其顶点 4),易得P(1,4),∴.CP=1.易得AB=5.CP∥x轴， 为M(1,-4),∴.y=(x-1)2-4.令y=0,得(x-1)2-4 =0,解得x1=3,x2=-1,.A(-1,0),B(3,0). 品-器-片®蜘图，过点P作PQB交C于 (2)存在：△PAB与△AB同底，且SAu-是SMs, 点Q.易得直线BC的表达式为y=-专x十4已知点P =是1w=号×4=5，即n=士5又"点P在 的黄坐标为m,则P(m,号m+号m十4)，Q(名m y=(x-1)2-4的图象上，yp≥-4，yp=5,则(x- m,号m2+号m+,=m-(m-m） 1)2-4=5,解得x1=4,x2=-2,.存在合适的点P,坐 3 标为(4,5)或(-2,5). 12+3m.PQ/AB,bA=是=22" 第5课时二次函数y=a.x2+bx十c 5 的图象和性质 (m一)+品当m号时，的最大值 1.B 2.A 3.B 4.ABC 5.D 6.(1)D(2)C(3)y1<y3<y2 为品 7.(-2,0)8.D9.(3,10)10.D11.D12.-4 13.A14.C15.D16.AD17.B 18.(1)(2,-1)(2)y2=x2-4x+3(3)8 19.解：(1)0(2)：y=x2+(a十1)x十a向上平移2个单位 长度可得y=+(a+1)x+a+2y-(c+尘) ·20·同行学案学练测 5.5确定二次函数的表达式 () 1.A2.D3.A4.B5.y=-3x2-12x-96.D 7.y=x2-4x+3 8.獬：(1)A(-1,0),B(4,0),.A0=1,OB=4,.AB= AO+OB=1+4=5..AB=OC,∴.OC=5,即点C的坐标 为(0,5).(2)设二次函数的表达式为y=a(x 4)(x十1).点C(0,5)在函数图象上，.5=a(0 0X0+1D解得a=-号∴y=-号（红-40(x+1D. 5.6二次函数的图象与一元二次方程 A(一1,0)，B4,0),∴线段AB的中点坐标为（受，0）， 1.D2.(1)B(2)A3.-44.D5.B6.C 7.x1=-2,x2=18.C9.1.4 即抛物线的对称轴为直线x=是.：a=一号<0，当 10m<-号 [解析]当m十6=0，即m=-6时，y=-14x 一号时)有最大值需 一5，此时函数为一次函数，其图象与x轴有交点.当m十 16 (m+6≠0 9.示例：y=(x-2)2-110.y=2(x-1)2-8 6≠0时，由题意得 4=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)≥0 11.y=x2-2x 12.313.①③④ 解得m≤-号且m≠-6，家上所述，m的取值范围为 14.解：(1)二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点B(0, 一4)，∴.c=一4..对称轴为直线x=1,图象经过A(一2,0)， 11.D12.A 1 ,解得 a=2,抛物线的表达式为y 13.x1=2,x2=-414.x<-1或x>415.-3<x<1 4a-2b-4=0 b=-1 16.(1)x1=1,x2=3(2)1<x<3(3)x>2(4)k<2 =子r-工-4、（②）设直线AB的表达式为y=x十几 17.解：如图，当y=0时，一x2+4x十5=0，解得x1=一1，x2 =5,则A(一1,0)，B(5,0).将该二次函数在x轴上方的 A(-2,0),B(0,-40,{厂26+n=0, (k=一2 图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的表达式为y= ln=-4 ,解得 {n=-4 (x十1)(x-5),即y=x2-4x-5(-1≤x≤5).当直线y .直线AB的表达式为y=-2x一4.A,C关于直线x =一x十b经过点A(-1,0)时，1十b=0,解得b=-1.当 直线y=一x十b与抛物线y=x-4x-5(-1≤x≤5)有 =1对称，∴.C(4,0).设N(m,0).MN⊥x轴，.M(m, 唯一公共点时，方程x2-4x一5=一x十b有相等的实数 -2m-4),∴.NC=4-m..MN=3NC,∴.2m+4=3(4 解，解得6=一.因此，当直线y=一x十b与新图象有 29 mm-点M(管 15.解：(1)抛物线y=-x2+bz十c经过点B(0,3)和点 4个交点时，b的取值范围为一9<b<一1 A(3,0),. 一9+36十c=0解得抛物线的表达 (c=3 1b=2 式是y=一x2十2x十3.设直线AB的表达式为y=kx十 m.根据题意得3k十m=0 m=3 (k=一1 m=3 ,直线的表达 式为y=-x十3.(2)如图，过点P作PN⊥OA于点 N,交直线AB于点M.设点P的横坐标为a,则点P的 18.(1)解：由题意，得△=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+ 坐标为(a,-a2+2a十3)，点M的坐标是(a,-a十3).又 4a2=(2a十b)2≥0，∴.二次函数图象与x轴的交点的个 点P,M在第一象限，∴.PM=-a2+2a十3-(-a十 数有两个或一个.(2)解：当x=1时，y=a+b-(a十b) =0,.抛物线不经过点C.把点A(-1,4),B(0,一1)分 3)--a+3a,'SaM-SAP+S-PM:OA 别代人，得4=a-b-(a+b) 32该=次面 =2(-a2+a)x3=8(a-)》广+g当a=号 【1=-a十，解得3 数的表达式为y=3x2-2x-1.(3)证明：当x=2时，m 时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 =4a+2b-(a+b)=3a+b>0①.，a+b<0, ∴.-a-b>0②，①十②，得2a>0,.a>0.第3课时 二次函数y= (教材P35 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.抛物线y=一5(x一2)2的顶点坐标是() A.(-2,0)B.(2,0)C.(0,-2)D.(0,2) 2.(兰州中考)在下列二次函数中，其图象的对 称轴为直线x=一2的是( ) A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2 3.在同一平面直角坐标系中，函数y=一x+1 与y= 多（红一1）的图象大致是( 4.（多选)对于函数y=一2(x一m)2的图象，下 列说法正确的是( A.开口向下 B.对称轴是直线x=m C.最大值为0 D.与y轴不相交 5.已知二次函数y=一2(x+h)2,当x<-3 时，y随x的增大而增大；当x>一3时，y随 x的增大而减小，则当x=1时，y的值 为() A.-12B.12 C.32 D.-32 6.[一题多辦](1)已知点A(1,y1),B(√3，y2), C2,)都在二次函数y=-3)2的图 象上，则() A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y2>y1 D.y1>y3>y2 (2)若抛物线y=一2(x一1)2上有三点A(一1， y1),B(W2,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大 小关系为( A.y<y<y B.y2<y3<y1 C.y2<y1<y3 D.y1<y3<y2 第5章对函数的再探索☑ （x一h)2的图象和性质 ~36练习) 7.有一个二次函数y=a(x一k)2的图象，三位 同学分别说出了它的一些特点： 甲：开口向上； 乙：对称轴是直线x=2; 丙：与y轴的交点到原点的距离为2 满足上述全部特点的二次函数的表达式 为 知识点二：抛物线y=a(x一h)2与y=ax2之间的 平移 8.将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x十 2)2,则这个平移过程正确的是( A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向上平移2个单位长度 D.向下平移2个单位长度 9.（多选)对于任意实数h,抛物线y=(x一h)2 与抛物线y=x2( A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D.都有最低点 10.若将抛物线向右平移2个单位长度后，所得 抛物线的表达式为y=2x2,则原来抛物线的 表达式为( ) A.y=2x2+2 B.y=2x2-2 C.y=2(x+2)2 D.y=2(x-2)2 易错点：混淆函数y=ax2十k与y=a(x一h)2的图 象的性质 11.（多选)对于二次函数y=3x2+1和y=3(x 一1)2，以下说法正确的是() A.它们的图象都是开口向上 B.它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都 是(0,0) C.当x>0时，它们的函数值y都是随着x 的增大而增大 D.它们图象的开口的大小是一样的 做神龙题得好成绩 35 ☑同行学案学练测九年级数学下QD 即能力提升 >>》>>>>>>>>》>> 难度等级中等题 12.二次函数y-a(x一1)2与反比例函数y=二0 在同一直角坐标系中的图象可能是( 6平 13.顶点为（一6,0），开口向下，形状与函数y 2x的图象相同的抛物线的表达式是( A.y=2(x-6)2 B.y=2(x+6) C.y=-2x6)2 ”Dy=- 2x+6)2 14.(丽水中考)将函数y=x2的图象用下列方 法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的 方法是( ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向下平移1个单位长度 15.已知点A(a2,y1),B(a2+1,y2),C(a2+3,y3) 都在函数y=一(x十4)2的图象上，则y,y2, y3的大小关系是 .(用“>”连接) 16.(1)[一题多辨]若二次函数y=2(x-m)2, 当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取 值范围是( ) A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3 (2)已知二次函数y=3(x一a)2的图象，当 x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值 范围是 17.如图是二次函数y= x-)的图象，其中 OA=OC,则该抛物线的 表达式为 36做神龙题得好成绩 即培优创新>>>>>难度等级综合题 18.(潍坊中考)已知二次函数y=一(x一h)2(h 为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时， 与其对应的函数值y的最大值为一1，则h 的值为( ) A3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 19.如图，已知抛物线y=（x一2)2的顶点为C, 直线y=2x十4与抛物线交于A,B两点，求 △ABC的面积. /o c