5.2 培优专题3 作适当的辅助线解决问题&培优专题4 镶嵌在反比例函数图象上的特殊四边形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

☑同行学案学练测九年级数学下QD 李 培优专题3：作适 华 养 1.(遵义中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A, B两点的纵坐标分别为4,2，反比例函数y= 抽象能力 飞(x>0)的图象经过A,B两点，若菱形 运算能力 ABCD的面积为2√5，则k的值为() A.2 B.3 C.4 D.6 几何直观·空间观念 第1题图 第2题图 推理能力 2.(巴中中考)如图，反比例函数y=(c>0)的 数据观念 图象经过A,B两点，过点A作AC⊥y轴于 点C,过点B作BD⊥y轴于点D,过点B作 模型观念 BE⊥x轴于点E,连接AD,已知AC=1, BE=1,S矩形BoE=4,则S△4CD= 应用 3.（锦州中考)如图，在平面直角坐标系中， 意识 □OABC的顶点A,B在第一象限内，顶点C 创新 在y轴上，经过点A的反比例函数y=(x> 意识 O)的图象交BC于点D.若CD=2BD, ☐OABC的面积为15，则k的值为 4.[一线三等角·构造法]如图，在平面直角坐 标系中，正方形ABCD的顶点A,D分别在x 轴、y轴上，反比例函数)y=(>0,x>0)的 24 做神龙题得好成绩 当的辅助线解决问题 图象经过正方形顶点C.若点A(2,0),D(0, 4),则= D 0 5.如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上， ∠ABO=90°，点A的坐标为（一1,2），将 △AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应 点D恰好落在双曲线y=飞上，则k的值 为 D B O 第5题图 第6题图 6.（济宁中考变式)如图，点A的坐标是（一2， 0),点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将 △ABC绕点B逆时针旋转90°后得到 △ABC.若反比例函数y一是的图象恰好经 过A'B的中点D,则k的值为 7.(安徽中考)如图，□OABC的顶点O是坐标 原点，A在x轴的正半轴上，B,C在第一象 限，反比例函数y=的图象经过点C,y=飞 (k≠0)的图象经过点B.若OC=AC,则 k= 第5章对函数的再探索√ 培优专题4：镶嵌在反比例函数图象上的特殊四边形 数 学 素 类型一：反比例函数图象与平行四边形 0)的图象经过点G,则k的值为 养 1.(郴州中考)如图，点A,C分别是正比例函数 y=x的图象与反比例函数y=4的图象的交 点，过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作 CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积 为 能 第4题图 第5题图 力 5.（齐齐哈尔中考)如图，在平面直角坐标系中， 矩形ABCD的边AB在y轴上，点C的坐标 为(2，一2)，且AO:BO=1：2,点D在函数 y一冬x>0)的图象上，则长的值为一 类型二：反比例函数图象与菱形 类型四：反比例函数图象与正方形 2.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边 OC在x轴上，点B(a,4),点C(5,0).若反比 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3 与x轴、y轴分别交于A,B两点，以线段AB 例函数y=经过点A,则的值等于( 为边在第二象限内作正方形ABCD,点C恰好 A.25 B.24 C.12 D.5 落在双曲线y=。上，则的值是 0 0 C 创 第2题图 第3题图 新 识 3.如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC= 7.（日照中考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 60°，反比例函数y=(x>0)的图象经过点 四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形， 点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反 A,交BC边于点D,若△AOD的面积为 比例函数y=二(k≠0，x>0)的图象过点B, 2√3，则的值为( A.4√5B.33 C.2√3 D.4 E.若AB=2,则k的值为 类型三：反比例函数图象与矩形 4.如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y 轴上，B(一2,1)，将△OAB绕点O顺时针旋 转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED, C OE交BC于点G,若反比例函数y=(x< 做神龙题得好成绩 25曲线CD的表达式为y-2(:≠0》.C(10,20),k:= 3=0有两个相等的实数根，∴.△=62-4a×(-3)=0,∴.a =-3,.y=-3x十6. 200,双曲线CD的表达式为y=20(10≤x≤24)，y y=-x+6 x 5.C[解析]由方程组 1 ,得x2-bx+1=0.直 2x+10(0x<5) x 关于x的函数表达式为y= J20(5x<10) 200 线y=一工十b与反比例函数y=二的图象有两个公共点， (10x≤24) x .方程x2一bx十1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2一 (2)由(1)得恒温系统设定的恒定温度为20℃.(3)把 4>0,∴.b>2或b<一2.故选C. y=10代人y=200中，解得x=20,20-10=10(.答： 6.C[解析：反比例函数y=一二的图象与反比例函数)y x 恒温系统最多关闭10h,才能使蔬菜避免受到伤害. 培优专题1：反比例函数中的面积计算 =2的图象关于y轴对称，联立方程组 2 1D2B3c4B52 y=-x+m 6.2[解析]一次函数y=x十k(k>0)的图象与x轴和y轴 得2产-mx十2-0“y兰的图象与一次函数y=-x十 分别交于点A和点B.令x=0,则y=k,令y=0,则x= m有两个不同的交点，∴.方程x2一mx十2=0有两个不同 一，故点A,B的坐标分别为（一k,0),(0,k),则△OAB 的实数根，.A=m2-8>0,∴.m>2W2或m<-2√2. 的面积=OA·OB=号，而矩形ODCE的面积为， 7.解：当反比例函数的图象过点C时，把C的坐标代入得 “7=k,解得k=0(含去)或k=2故答案为2. =2X1=2:把)=-z十6代入y=是得-z十6=名2 7.4 一6.x十k=0,△=（一6）2一4k=36一4k.反比例函数y [解析]如图，过点M作MH⊥OB于点H.AD∥ 的图象与△ABC有公共点，36一4≥0，解得k≤9 OB,△ADM0△OM,S=(品)}'=告 即k的取值范围是2≤k≤9. SABOM 培优专题3：作适当的辅助线解决问题 'S△ADM=4,.SAROM=9.:'DB⊥OB,MH⊥OB,.MH 1.C[解析]如图，过点A作BC的垂线，交CB的延长线于 mB9-800-20H-号0sa 点E.“A,B两点在反比例函数y-(x>0)的图象上， 5 且纵坐标分别为4,2，A(年，4)，B(受，2，∴AE=2, BE=号k-青=.：菱形ABCD的面积为25， ∴.BC·AE=25,即BC=√5，.AB=BC=√5.在 Rt△AEB中，BE=√AB2-AE=1,.4k=1,k=4. H B 培优专题2：巧用根的判别式解图象的 公共点问题 1.D2.-1b1 3.C[解析]根据题意可得x十6=一立，化简，得x2+6x十 0 1=0.因为两个函数图象只有一个公共点，所以△=b2一 2 [解析]如图，过点A作AH⊥x轴于点H,交BD于 4ac=0,即b2-4=0,解得b=±2.故选C 4解：)A3,11=会=3，y=3 点F,则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形. (2)一 “Sm=4,反比例函数y一兰(>0)的图象经过点 次函数y=ar十6(a≠0)的图象与反比例函数)=的图 B,…k=4,.S矩形A0H=4.AC=1,∴.0C=4÷1=4, 象只有-个交点ax十6=2只有-个解，ar2+6x ∴.CD=OC-OD=OC-BE=4-1=3,∴.S矩形Ar=1X3 ·18·同行学案学练测 =3,∴.S△ACD= 2 7.3[解析]如图，设C点坐标为(a,）,作CHLx轴于点 H,过点A作AG⊥BC于点G.,四边形OABC是平行四 边形，OC=AC,.OH=AH,CG=BG,四边形HAGC是 矩形，0H=0G=BG=a,即B(3a,合)）“y=名(k≠ E 0)的图象经过点B,∴k=3a· 13 3.18[解析]如图，过点D作DN⊥y轴于点N,过点B作 X BM⊥y轴于点M.由题可设OC=a,CN=2b,MN=b. D0ABC的面积为15，BM=5,ND=号BM- 只点A,D的整标分别为（侣0）.（出a+2), 0 H A .6=9at266=号ak=5×36=5×3 培优专题4：镶嵌在反比例函数图象上 a 的特殊四边形 .2 ×5a=18. 1.82.C 3.C[解析]如图，连接AC,过点A作AE⊥OC于点E. ,四边形OABC是菱形，.AO∥CB,OA=OC,且∠AOC =60°，∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC,∴.S△4oE= 5we.C- - 2b=25. 4.24 5.一3[解析]如图，过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB,垂足分 别为E,F.,△AOB绕点A顺时针 旋转90°后得到△ADC,∴.△AOB≌ OE C △ADC,∠BAC=90°，∴.∠C= ∠ABO=90°，.四边形ACEB是矩 B O 4-[解折]：B(-2,1,AB=1,0A=2.△0AB 形，∴.AC=DF=BE=AB=2,CD 绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到 -BO=AF=1,..DE=BF=AB-AF=2-1=1,OE= △OED,∴.ED=AB=1,OE=OA=2,∠OED=∠OAB B0十BE=1十2=3，.D(-3,1).,点D恰好落在双曲 =90°.'∠COG=∠EOD,∠OCG=∠OED,∴.△OCG0 线y-是上，=-3X1=-8 △0ED,部-，即9-名解得QG-, 6.15[解析]如图，作A'H⊥y轴于点H.:∠AOB= “G(-)把c(-)代人y=冬得&=-号×1 ∠BHA'=∠ABA'=90°，∴.∠ABO +∠A'BH=90°，∠ABO+∠BAO =90°，∠BAO=∠A'BH.BA 5.2[解析]，点C的坐标为(2，-2)，∴.矩形OBCE的面积 =BA',.△AOB≌△BHAY 为2X2=4.:AO:BO=1:2,.矩形AOED的面积为 (AAS),..OA=HB,OB=HA'. 2.:点D在函数y=(x>0)的图象上，k=2. 点A的坐标是（一2,0），点B的坐标是(0,6)，∴.OA=2, 6.-12 OB=6,..BH=OA=2,A'H=OB=6,..OH=4, 7.6+2W5[解析]设E(x,x),则B(2,x十2).：反比例函 k ∴.A'(6,4).BD=A'D,.D(3,5).反比例函数y= 数)-是（k≠0，x>0)的图象过点B,E.∴x2=2(x+2, 的图象经过点D,.k=15. 解得x1=1十√5，x2=1-√5（舍去），∴.k=x2=6十25.