7.1.2两条直线垂直（课堂导学）-2025-2026学年七年级下册数学课堂导学高阶训练（人教版）

7.1.2两条直线垂直 考点梳理 1.一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是 时，我们说a与b互相 垂直，记作a⊥b。两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点 叫作 2.关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点 与已知直线垂直。 3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。简单说成： 4.直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离。 课堂讲练 例1、如图，直线AB与直线CD相交于点O,下列条件中，不能说明AB⊥CD的是() A.∠AOC=90° B.∠AOC+∠BOD=180° 0 C.∠AOC=∠BOD D.∠AOC=∠BOC D 变式1、如图，直线AB⊥CD于点O,EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成 立的是() A.互为余角 B.互为补角 B C.互为对顶角 D D.互为邻补角 例2、根据下列语句画图： (1)如图①，过点P画射线AB的垂线，Q为垂足； (2)如图②，过点P画射线BN的垂线，交射线BN的反向延长线于点Q; (3)如图③，过点P画线段AM的垂线，交线段AM的延长线于点Q。 p P •P B M B A ① ② ③ 5/85 71.2两条直线垂直 变式2、如图①②，分别过点P作AB的垂线，垂足为C。 A B A B ① ② 例3、如图，O是直线AB上一点，射线OC,OD,OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE, OD⊥OC,∠COE=40°，求∠AOD的度数。 E A B 变式3、如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB。若∠AOD=I50°，则∠COE的度数为() A.75° B.60° C.45° D.30° E D B C A 变式3图 变式4图 变式4、如图，OA⊥OB,OC⊥OD,垂足为O,∠AOD=120°，则∠COB的度数为。 变式5、如图，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=0°，OF⊥OE。求： (1)∠BOD的度数； (2) ∠DOF的度数。 E D B C 例4、如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线 上选一点来建火车站，应建在() A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 李庄0 6/85 7.1.2两条直线垂直 变式6、如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是() A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B.现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C.现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 D.现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释 B A 现象1：测量跳远的成绩 现象2：弯曲的河道改直 例5、如图，量得直线1外一点P到1的距离PB的长为6c。若A是直线1上的一点，则线段 PA的长不可能是() A.5.5cm B.6.2cm C.7.5cm D.8cm P B 变式7、如图，P是直线a外一点，A,B,C,D为直线a上的点，PA=5,PB=4,PC=3, PD=7,根据所给数据写出点P到直线a的距离d的取值范围： P AB D 变式8、如图，AB,CD,NE相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON=90°，∠AOC=50°。 （1)线段 的长度表示点M到NE的距离； (2)比较MN与MO的长短（用“<连接)，并说明理由； (3)求∠AON的度数。 M 7/857.1.2两条直线垂直 考点梳理 1.一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是 时，我们说a与b互相 垂直，记作a⊥b”。两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点 叫作 答案：直角；垂足 2.关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点 与已知直线垂直。 答案：有且只有一条直线 3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。简单说成： 答案：垂线段；垂线段最短 4.直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离。 答案：垂线段 漂堂讲练 例I、如图，直线AB与直线CD相交于点O,下列条件中，不能说明AB⊥CD的是() A.∠AOC=90° B.∠AOC+∠BOD=1809 C.∠AOC=∠BOD D.∠AOC=∠BOC 0 D 答案：C 变式1、如图，直线AB⊥CD于点O,EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成 立的是() A.互为余角 B.互为补角 C.互为对顶角 D.互为邻补角 6/113 7.1.2两条直线垂直 答案：A 解析：因为AB⊥CD,所以∠COB=90°，即∠1+∠COE=90°。又因为∠2和∠COE是对顶角， 所以∠2=∠C0E,因此∠1+∠290°，即两角互为余角。 例2、根据下列语句画图： (1)如图①，过点P画射线AB的垂线，Q为垂足； …P A B ① P A 答案： ① (2)如图②，过点P画射线BN的垂线，交射线BN的反向延长线于点Q; P B ② P 答案： ② (3) 如图③，过点P画线段AM的垂线，交线段AM的延长线于点Q。 P M A ③ 7/113 7.1.2两条直线垂直 M 。 答案： ③ 变式2、如图①②，分别过点P作AB的垂线，垂足为C。 D B A B ① ② D B A B 答案： ② 例3、如图，O是直线AB上一点，射线OC,OD,OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE, OD⊥OC,∠COE=40°，求∠AOD的度数。 A 0 B 答案：因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=40°。因为OD⊥OC,所以∠COD=90°。 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+90°=130°。 变式3、如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB。若∠AOD=150°，则∠COE的度数为() A.75° B.60° C.45° D.30° C 0 B D 答案：B 8/113 7.1.2两条直线垂直 变式4、如图，OA⊥OB,OC⊥OD,垂足为O,∠AOD=120°，则∠COB的度数为一。 B D 0 答案：60° 变式5、如图，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°，OF⊥OE。求： E D B 0 C (1)∠BOD的度数； 答案：因为0A平分∠E0C,∠E0C=70,所以∠A0C-∠E0C=35.因为∠B0D和∠A0C 是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=35°。 (2)∠DOF的度数。 答案：因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°。因为∠EOC=70°，所以∠DOF=180°一∠EOF-∠EOC =180°-90°-70°=20°。 例4、如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线 上选一点来建火车站，应建在（) A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 A D 李庄 答案：A 解析：根据垂线段最短的原理，点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此应选李庄到铁路的 垂足位置建火车站，即点A处。 9/113 7.1.2两条直线垂直 变式6、如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是() A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释 B.现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C.现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 D.现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释 A B A 现象1：测量跳远的成绩 现象2：弯曲的河道改直 答案：C 例5、如图，量得直线1外一点P到1的距离PB的长为6cm。若A是直线1上的一点，则线段 PA的长不可能是() A.5.5cm B.6.2cm C.7.5cm D.8cm P B 答案：A 变式7、如图，P是直线a外一点，A,B,C,D为直线a上的点，PA=5,PB=4,PC=3, PD=7,根据所给数据写出点P到直线a的距离d的取值范围： AB C 答案：0<d≤3 变式8、如图，AB,CD,NE相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON=90°，∠AOC=50°。 D N M （1)线段 的长度表示点M到NE的距离； 答案：MO 10/113 7.1.2两条直线垂直 (2)比较MN与MO的长短（用<连接)，并说明理由； 答案：MO<MN理由：垂线段最短。MO是点M到NE的垂线段，MN是点M到NE的斜线 段，根据垂线段最短，所以MO<MN。 (3)求∠AON的度数。 1 答案：因为∠BOD=∠A0C=50,OM平分∠BOD,所以∠B0M=2∠B0D=25.所以∠AON =180°-∠BOM-∠MON=180°-25°-90°=65°。 11/113