精品解析：广东2026届高三一模数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一） 数学 本试卷共5页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知集合，若 ，则（ ） A. －2 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由于集合， ， 则，故 2. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 3. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 4. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 5. 已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 6. 已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 7. 如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ） A. 16 B. 18 C. D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接过点作直线，分别交于点，先证明，推得平面即过点的截面，所求即为多面体的体积，利用棱柱的体积公式计算即得. 【详解】 如图，取的中点，连接过点作直线，分别交于点，连接， 因为正方形的中心，则，因，则易得. 又因为棱的中点，则易得，即四边形为平行四边形， 则得，故，于是，平面即过点的截面， 显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体，记其体积为， 则. 8. 已知曲线，则曲线上的点到原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则得，设，求导判断其单调性，可得，进而，利用两点之间距离公式与二次函数的性质即可求得答案. 【详解】设，则得，显然 ，则， 设，则， 当 时，，即函数在上单调递增， 又，则，此时，， 设曲线上任一点 ，则，且， 则， 故当时，取得最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据选项中的函数，利用三角函数的周期公式和单调性判断方法逐一判断即可. 【详解】对于A，因函数 在上单调递减，故在区间上单调递增，故A错误； 对于B，函数的最小正周期为，且在上单调递减，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，故C错误； 对于D，因函数的最小正周期为 ，则函数的最小正周期为， 当时，，函数在上单调递减且函数值为正， 故函数在上单调递减，即D正确. 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 11. 在半径为定值的球的表面上有四个不共面的点，且为球的直径，已知和 的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体存在的情况下，使得四面体体积有唯一值的条件可以是（ ） A. 的长 B. 的大小 C. 与平面所成角的大小 D. 二面角 的大小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意判断哪些边是唯一值，结合四面体的体积计算公式，判断四面体体积唯一解的决定条件. 【详解】如图，因是球的直径，所以， 又的大小已知，从而为定值，从而也为定值， 由 的大小已知，所以为定值（唯一确定）， 由（其中为点到平面的距离），要使四面体的体积有唯一值（即为定值）只需点到平面的距离为定值即可. 对于选项A，当的长为已知时，由，那么也为定值，四面体的6条边均可以唯一确定，四面体的体积为唯一值，满足题意. 对于选项B，当的大小已知时，那么为定值（唯一确定），同理，由，也为定值，四面体的6条边均可以唯一确定，四面体的体积为唯一值，满足题意. 对于选项C，当与平面所成角已知时，不妨设为，那么，为定值，四面体的体积为唯一值，满足题意. 对于选项D，二面角 为已知时，可以确定点到平面的距离为定值，由于为定值，不能唯一确定点，不能唯一确定，不合题意. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【解析】 【详解】依题意，. 13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 14. 如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线 的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】切线 ，与椭圆方程联立，由得，求出直线方程，进而求得坐标，计算，得解. 【详解】方法一：由题意可知直线 的斜率存在，设切线 ， 联立，消去整理得 ， ，化简得； 因为，且，则直线， 联立，解得，所以， 同理，可得， ， 同理，可得， 又，所以. 方法二： 设切点为,延长交于, 由光学性质可得关于切线对称， , 同理， 四、解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 如图，平面 平面，四边形与都是直角梯形，． （1）求证：，，，四点共面； （2）设 ，求平面 与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）由平面 平面， ，得 平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 ： 设 ， 则 ， 故， ， 共面. （2） 【解析】 【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 ,设 ,通过向量法可证得 ，即 共面; (2)分别求出平面 与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，故 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ， 得，取，可得 ； ， 设平面的法向量为 ， 由 ， 得，取 ，所以 ， ， 设平面 与平面夹角为 , 即平面 与平面夹角的余弦值. 16. 设函数 ，已知是函数的极值点． （1）求 的值； （2）设函数，证明： ． 【答案】（1）1 （2）由（1）得 ，所以 ， 由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的， ， 要证 ，即证 ， 即证 ，只需证 ， 令 ，则， 当时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 所以 ， 综上， 在 上恒成立. 【解析】 【分析】（1）由极值点处导数为0即可求解出参数 ，代回检验得解； （2）由（1）得 ，要证 ，即证 ，即证 ，构造函数 ，利用导数证明. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 则， 因为是函数的极值点， 所以 ，解得， 当时， ，， 当时，，则 ， ，故 ， 所以函数在 上单调递增； 当时， ，则 ， ，故 ， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故. 【小问2详解】 略 17. 设的内角所对的边分别为 ，且，记. （1）若成等差数列，求的最小值； （2）若 成等比数列，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求解； （2）由（1）得，结合正弦定理，等比数列性质，三角形边长关系求解. 【小问1详解】 ， 因为成等差数列，所以， 又 ，所以，又，所以， 所以， ， 当 取得最大值时，取得最小值， 因为，所以， 所以当时，取得最小值1. 【小问2详解】 因为 成等比数列，所以， 由（1）知， 因为，所以， 将代入，化简得， 两边同除以，得，即， 所以，解得， 因为，所以 ，即，得， 所以的取值范围为. 18. 设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线 与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的最小值； （3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【答案】（1） （2） 9 （3） 如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点. 设与边切于点，则， 在中，. 设点 ，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点 ， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以. 【解析】 【分析】（1）依题意列出关于 的方程组，求解即得双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为 与双曲线方程联立，推得，写出的表达式，利用的范围，即可求得的最小值； （3）先证明与边的切点即为点，再证，由此推得点在直线上，再证，结合，且，可得点均在上，即得证. 【小问1详解】 不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率 ① ， 在 中，当 时，，故，即② ， 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为 . 【小问2详解】 由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为 ， 由，化简得， 设 ，则，解得， 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9. 【小问3详解】 略 19. 甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和 个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 【答案】（1） （2） （i）因为甲社区中男生和女生都认识，因此. 当时，，， 所以， ， ， 因为， 两边 同乘以，得. （ii） 【解析】 【分析】（1）现根据古典概率公式求出甲乙社区的参赛选手都是男生或女生的概率，再根据互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式求解； （2）（i）根据题意结合排列数和组合数公式求出，观察公式的结构特征，证明；（ii）先求得的递推关系式，得到和有相同的递推关系和初始值，利用古典概率公式求解. 【小问1详解】 设事件表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是女生”， 事件表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是男生”， 则，，， 所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即， 因为，所以，即事件与互斥， 又事件与互相独立，事件与互相独立， 所以所求事件的概率. 【小问2详解】 （i）略 （ii）先考虑的递推关系式. 当时，考虑乙社区中的女生，有以下两种情况： ①当女生被选中时，其余 队共有种不同的选法， 可在余下个男生中任选一人，有种选法， 因此由乘法计数原理可知，共有种选法； ②当女生没被选中时，此时从中选出个女生，从中选出个男生组队，共有种选法； 所以当时，， 当 时，由前述分析可得， 由（i）可知满足相同的递推公式， 因为，，， 所以和有相同的递推关系和初始值， 所以对任意和，均有. 所以， 设乙社区中各选个男生和个女生，男、女组成个队，共有种情况，且， 因此，满足组队要求的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一） 数学 本试卷共5页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知集合，若 ，则（ ） A. －2 B. 0 C. 2 D. 4 2. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 3. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 7. 如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ） A. 16 B. 18 C. D. 24 8. 已知曲线，则曲线上的点到原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（ ） A. B. C. D. 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 11. 在半径为定值的球 的表面上有四个不共面的点，且为球 的直径，已知和 的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体存在的情况下，使得四面体体积有唯一值的条件可以是（ ） A. 的长 B. 的大小 C. 与平面所成角的大小 D. 二面角 的大小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点 和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 14. 如图， 为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 如图，平面 平面，四边形与都是直角梯形，． （1）求证：，， ，四点共面； （2）设 ，求平面 与平面夹角的余弦值． 16. 设函数 ，已知是函数的极值点． （1）求的值； （2）设函数，证明： ． 17. 设的内角所对的边分别为，且，记. （1）若成等差数列，求的最小值； （2）若成等比数列，求的取值范围. 18. 设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的最小值； （3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 19. 甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和 个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $