20.1第3课时勾股定理的应用（2）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

20.1第3课时勾股定理的应用（2） 知识分点练 夯基础 知识点1 勾股定理与全等 1．如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 2．如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 知识点2 勾股定理与无理数 3．如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为_______________． 4．如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 5．如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 6．（1）如图①，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数－1对应的点向右滚动一周，圆上的点(开始时点与－1对应的点重合)恰好与数轴上的点重合，则点对应的实数是________． （2）如图②，数轴上的点表示原点，垂直于数轴，垂足为D，且，点D表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点(点在的左侧)，则点表示的数为________．    能力综合练 练思维 7．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 8．我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 9．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 10．如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 11．如图，在Rt中，，，以，为直径的半圆的面积分别为，，则________（结果保留）． 12．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________． 13．2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 14．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)写出图中点的坐标：_______； (2)若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； (3)的面积是_______； (4)已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 拓展探究练 提素养 15．综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论：． 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_________． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，是边上的高，求的值． 【定理应用】 （3）如图4，在长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为_________． 【数学思想】 （4）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是_________（填序号）． ①数形结合思想    ②分类讨论思想    ③函数思想 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1第3课时勾股定理的应用（2） 知识分点练 夯基础 知识点1 勾股定理与全等 1．如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），角平分线的判定定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明，从而可得出，根据角平分线的判定可得出平分； （2）先根据得出，再利用勾股定理求得，从而利用线段的差求得． 【详解】（1）证明：∵于E，于F， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 知识点2 勾股定理与无理数 3．如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴点表示的实数为， 故答案为：． 4．如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由数轴可知，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴； 故答案为． 5．如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示数等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先根据勾股定理算出的长度，进而得到的长度，再根据点C表示数，可得E点表示的数． 【详解】解：∵，，长方形中，，， ∴ ∴根据作图，可知：， ∵点C表示数， ∴点表示的数是， 故答案为：． 6．（1）如图①，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数－1对应的点向右滚动一周，圆上的点(开始时点与－1对应的点重合)恰好与数轴上的点重合，则点对应的实数是________． （2）如图②，数轴上的点表示原点，垂直于数轴，垂足为D，且，点D表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点(点在的左侧)，则点表示的数为________．    【答案】 / 【分析】本题考查圆的周长与数轴问题，实数与数轴问题，求出圆的周长及圆弧的半径是本题的关键． （1）要求点对应的实数就是求出的长，运用圆周长公式可求出，进而即可得解； （2）和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数． 【详解】解：（1）∵圆滚动一周，恰好从点到点， ∴， ∴， 即点对应的实数是． 故答案为：． （2）在中，， ∴， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 能力综合练 练思维 7．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 8．我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和网格问题，熟练掌握勾股定理，并结合网格的特点解答是解本题的关键． 根据勾股定理结合网格特点画图即可． 【详解】如图所示（位置不唯一）． ，． 9．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 10．如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 11．如图，在Rt中，，，以，为直径的半圆的面积分别为，，则________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了半圆的面积公式、勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 根据半圆面积公式，求出、即可解决问题． 【详解】解：由题意知，． 在Rt中，，由勾股定理，得． ∵， ∴． 故答案为． 12．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________． 【答案】15 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：设，则， ， ， 故， 解得；． 故答案为：15． 13．2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 14．如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． (1)写出图中点的坐标：_______； (2)若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； (3)的面积是_______； (4)已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 【答案】(1)； (2)； (3)12； (4)或． 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标、等腰三角形的判定、三角形的面积等，掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征、等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可； （4）结合等腰三角形的判定、三线合一、勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为． 故答案为：． （3）解：∵点，点， ∴， ∵点， ∴点到直线的距离， ∴ 故答案为：． （4）如图， ①若点为等腰三角形的顶点，即， ∵， ∴或（舍）． ②若点为等腰三角形的顶点，， ∵如图点， ∴轴 ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 拓展探究练 提素养 15．综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论：． 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_________． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，是边上的高，求的值． 【定理应用】 （3）如图4，在长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为_________． 【数学思想】 （4）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是_________（填序号）． ①数形结合思想    ②分类讨论思想    ③函数思想 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）① 【分析】本题主要考查勾股定理与网格，数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算方法，掌握勾股定理的运用是解题的关键． （1）运用勾股定理可得，设边上的高为，，运用网格与勾股定理可得，由此列式即可求解； （2）设，则，在中，，在中，，由此列式即可求解； （3）如图所示，连接，运用勾股定理可得，根据数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； （4）根据题意，解析过程进行分析即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得，， 设边上的高为， ∴， 如图所示，分别取格点，连接， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）如图所示，连接， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ∴， ∵数轴上点表示的数是， ∴点表示的数为， 故答案为：； （4）根据以上解析过程可得，运用的数学思想是“数形结合”， 故答案为：①． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $