20.1第1课时勾股定理 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理 知识分点练 夯基础 知识点1 认识勾股定理 1．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”则这个风车的外围周长是（    ） A．44 B．51 C．76 D． 知识点2 运用勾股定理 3．在中，，，则________． 4．若一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，则其斜边长为______． 5．如图，在中，，，则的值为______． 6．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 7．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 能力综合练 练思维 8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 9．在中，已知，，，的对边分别是a，b，c，且，，则c的长为 _________________ ． 10．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 11．如图，数轴上点A表示的实数是______． 12．如图，在中，，分别以为斜边作等腰直角三角形，，以为边作正方形S．若与的面积和为1，则正方形S的边长为_______． 13．如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 14．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 拓展探究练 提素养 15．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成或．已知点，， (1)试求P，Q两点的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，试求M，N两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 16．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 17．如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． (1)求a，b的值； (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值： ②若为直角三角形，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理 知识分点练 夯基础 知识点1 认识勾股定理 1．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 2．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”则这个风车的外围周长是（    ） A．44 B．51 C．76 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求直角三角形斜边长，再根据图形特点计算风车外围周长． 【详解】解：“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为：， 则这个风车的外围周长是：． 故选：C． 知识点2 运用勾股定理 3．在中，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故答案为：． 4．若一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，则其斜边长为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方”是解题的关键，根据两直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度． 【详解】解：已知一个直角三角形的两直角边长分别为4、5，根据勾股定理可得， 其斜边长为． 故答案为：． 5．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理．利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， 由勾股定理得 ∴． 6．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 7．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，根据勾股定理求出，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 即池水看起来变浅了． 能力综合练 练思维 8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 9．在中，已知，，，的对边分别是a，b，c，且，，则c的长为 _________________ ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，正确识别直角三角形的斜边是解题关键，直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边是斜边， 根据勾股定理得， 将，代入得：． 10．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 【答案】4 【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得，， ∴． ∴践踏草坪少走的距离为． 故答案为：4． 11．如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先理解题意，列式，则数轴上点A表示的实数是，即可作答． 【详解】解：如图： 观察数轴以及作图痕迹，得出， 则数轴上点A表示的实数是， 故答案为： ． 12．如图，在中，，分别以为斜边作等腰直角三角形，，以为边作正方形S．若与的面积和为1，则正方形S的边长为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，分别以，为边向的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题的关键． 设，根据勾股定理得到，根据与的面积和为1得到，即可求出正方形S的边长． 【详解】解：分别以，为边向的外部作正方形，设， 根据勾股定理可知，， 的面积为的面积为正方形S的面积， ∵与的面积和为1， ∴ ∴ ．即正方形S的边长为2． 故答案为：2． 13．如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），角平分线的判定定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明，从而可得出，根据角平分线的判定可得出平分； （2）先根据得出，再利用勾股定理求得，从而利用线段的差求得． 【详解】（1）证明：∵于E，于F， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 14．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 拓展探究练 提素养 15．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成或．已知点，， (1)试求P，Q两点的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，试求M，N两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据平面内两点间的距离公式求解； （2）点M，N在平行于y轴的直线上，距离公式为； （3）根据两点间的距离公式求出三条边的长度，即可判断此三角形的形状． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由题意知，； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ，，， ， ， ， ， 为等腰三角形． 16．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 17．如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． (1)求a，b的值； (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值： ②若为直角三角形，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）①由勾股定理可得，由题意可得，表示出，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可得出结果．②分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：①∵，，， ∴， 由题意可得：， ∴，， 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（舍去）； 综上所述，或． ②当为直角三角形时，分2种情况： 当点和点重合时，，满足题意，此时； 当时，由①可知：，，， ∴， ∴，解得； 综上所述：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $