专题二 二次函数压轴题 类型1 二次函数图象与性质综合题-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题二二次函数压轴题 类型①》二次函数图象与性质综合题 例[225辽字23商节接如图，在平面直角坐标系0中，二次函数=(-)241的图象与年 轴的正半轴相交于点A,二次函数y,=ax+c的图象经过点A,且与二次函数y,的图象的另一个 交点为B,点B的横坐标为乙 (1)求点A的坐标及a,c的值； 交思维教练 先求出A,B两点坐标，再分别代入y2=ax2+c,列出二元一次方程组解之 【自主解答】 (2)二次函数=(-1)2+1(-了≤<3)与=次函数为=2+c(x≥3)组成新函数为，当 了≤≤-n时，函数，的最小值为)？，最大值为，求n的取值范围 女思维教练 将函数y,对应的图象描粗 读图可知，点B对应y,的最小值 思维构建 Om A 11-5 =ya一t=5 13 画图定范围一最大值为 m1≤l-n≤m2 【自主解答】 【反思】如果最大值是一个不为1的定值，n的值是唯一的吗，为什么？ 专项分类提升练·辽宁数学 53 @针对训练 1.[2025丹东二模节选]抛物线y=ax2+bx-1过点A(2,-1),B(3,2),点M(m,y1),点N(1-m,y2)是 抛物线上两点，将此抛物线上M,N两点之间的部分（包括M,N两点）记为图象G (1)求抛物线的表达式； (2)当M,N重合时，求点M的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象G上时，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d,求d 与m之间的关系式. 54 专项分类提升练·辽宁数学 一战成名新中考 2.[2025福建]在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(1,t),B(2,t). (1)求的值： (2)已知二次函数y=ar+-2的最大值为1子 ①求该二次函数的表达式： ②多解法若M(x1,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0. 求证：-1少2 mx1-2 专项分类提升练·辽宁数学 55 3.「2025北京1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点0和点A(3,3a) (1)求c的值，并用含a的式子表示b: (2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=a于点N. ①若a=1,t=4,求MN的长； ②已知在点P从点0运动到点B(2a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的 取值范围 56 专项分类提升练·辽宁数学7 BF=DF.AF=DF-BF=DE+EF-BF-7+15_40-24 777 综上所述，A的长为或9 图① 图② 第7题解图 8.(1)解：①选择小鹏同学的解题思路，证明如下： BE=BD,AB⊥CD,∴.AB是线段DE的垂直平分线 .·.AE=AD,.∠D=∠AED ∠D=2∠C,.∠AED=2∠C, 又：∠AED=∠C+∠CAE,.∠C=∠CAE .CE=AE,∴.CE=AD,∴.BC=CE+BE=AD+BD: ②选择小亮同学的解题思路，证明如下： .:EF是线段AC的垂直平分线，.AE=EC .·.∠C=∠CAE,.∠AED=∠C+∠CAE=2∠C, 又.·∠D=2∠C,.∠D=∠AED .AE=AD,.'.CE=AD. .AE=AD,AB⊥CD,.BE=BD .·.BC=CE+BE=AD+BD: (选择一名同学的解题思路证明即可) (2)证明：如解图①，过点A作AE∥DB交CB的延长线 于点E,在BC上截取BF=BE,连接AF, 第8题解图① .·AE∥DB,AD∥BC, .四边形AEBD是平行四边形， .AD=BE,AE=BD,∠ADB=∠E .'∠ADB=2∠C,.∠E=2∠C .:∠ABC=90°，.AB⊥FE 又BE=BF.AB是线段EF的垂直平分线， .AE=AF,.∠E=∠AFE, .'∠E=2∠C,∴.∠AFE=2∠C 又.∠AFE=∠C+∠CAF,.∠C=∠CAF .CF=AF,∴.CF=AE, .'BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD; (3)解：如解图②，延长AB交DC的延长线于点E,作 AH⊥DE于点H,作BF⊥DE于点F, B F C H 第8题解图② .'∠BCD=∠BAD,∠BCD+∠BCE=180°，∠BAD+∠E+ ∠D=180°， .∠BCE=∠E+∠D .'∠ABC=∠E+∠BCE .∠ABC=∠E+∠E+∠D=2∠E+∠D, .:∠ABC=3∠ADC,.∴.3∠D=2∠E+∠D 32 参考答案与重对 ∴∠D=∠E,∠BCE=∠E+∠D=2∠E, 又BF⊥DE,同(1)可证EF=BC+CF. 100 3 AD=3,sinD=亏，Ah⊥DE, 1003 .AH=AD·sinD= 3X520, 加-vmr-√-20 3 ·∠D=∠E,.AD=AE, 又：AH⊥DE,HE=HD,DE=2HD=160 31 121 CD= ，，:C=DbcD=160=Y 3 设EF=x,则CF=EC-EF=13-x, .EF=BC+CF,..BC=EF-CF=x-(13-x)=2x-13, .在Rt△BFC中，BF2=BC2-CF2=(2x-13)2-(13-x)2 =3x2-26x, sin0=号∠D=∠EanE=am0=3 3 4 BF=EF·anE=4, 3 32 ∴（子）2=3x-26x,解得=34=0（舍去）， B3x32 -X- 8, 43 Saa=5w5m-·Ah60a股} x160x20-1x13x8=14 3 2 3 专题二二次函数压轴题 类型1二次函数图象与性质综合题 例解：(1)点A的坐标为(3,0)，a,c的值分别为 21 9 （@当了时.做品小省为) 最大值为， 4当弓 时取得最小值为号即时三 9 16 5 ,解得1=3 885 “函数⅓的最大值为兮1=331，则由解图可 知m1≤t-n≤m2, 例题解图 :当=1时，子(-12+1=1，解得名=%=1：由 （1知宁号当g=1时宁-号=1，得 题解析·辽宁数学 x=√I或x=-√I(舍去)，.1≤-n≤√11， 31 爪解得号T≤≤号 .5 【反思】唯一确定.当最大值小于1时，t-n<m1,且对 应的函数值是唯一确定的，则t-唯一确定：同理，当 最大值大于1时，-n>m2,且对应的函数值是唯一确 定的，则-唯一确定.综上可知，当最大值是一个不 为1的定值时，n的值是唯一确定的. 1.解：(1)抛物线的表达式为y=x2-2x-1; 17 (2)点M的坐标为(2,4)： (3)y=x2-2x-1=(x-1)2-2,1>0, .抛物线开口向上，对称轴为直线x=1顶点坐标为(1， -2). ·抛物线的顶点在图象G上， .图象G的最低点的纵坐标为-2，且点M,N在抛物线 对称轴的两侧. ①若点M在对称轴左侧，点W在对称轴右侧 依题意得m≤1≤1-m,解得m≤0， 此时M到对称轴的距离为1-m,N到对称轴的距离 为-m. 又.1-m>-m, .图象G的最高点为点M, ∴图象G最高点的纵坐标为y1=m2-2m-1, .d=m2-2m-1-(-2)=m2-2m+1: ②若点N在对称轴左侧，点M在对称轴右侧， 依题意得1-m≤1≤m,解得m≥1， 此时M到对称轴的距离为m-1,N到对称轴的距离 为m, 又：m-1<m, 图象G的最高点为点N, ∴.图象G最高点的纵坐标为y2=(1-m-1)2-2=m2-2, ∴.d=m2-2-(-2)=m2, 综上，d与m之间的关系式为d={m2m+1(m≤0)， （m2(m≥1). 2.（1)解：6=-3： (2)①解：该二次函数的表达式为y=-x2+3x-2; ②证明：解法一：由题意得二次函数y=-x2+3x-2的图 3 象的对称轴为直线x= 2 M(x1,m),N(2,m)为二次函数y=-x2+3-2的图 象上的不同两点， .m=-x+3x1-2=-x2+3x2-2,x2=3-x1, .x3-21-x1-(x-1)2-(x1-1)2-(x-1)2 “x1-2x1-2(x1-2)(x1-1)2-3x1+2 -m =（1)2 解法二：点M(x1,m)在函数y=-x2+3x-2的图象上 .m=-x+3x1-2, 由①知，点M(,m),N(m)关于直线x=对称 33 不妨设x<,则，22，即x+,=3 x-1)。-2(-10(x-2)-m(6-2) mx1-2 m(x1-2) =（-1)(x-2)(x,-1)-m(6-2) m(x1-2) =（-3,+2)(x,-1)-m(,-2) m(x1-2)》 参考答案与重难题解 一战成名新中考 -m(x1-1)-m(2-2)》 m(x1-2)） -m(x1+x2-3) m(x1-2) =0, (x1-1)262-2 m x-2' 3.解：(1)c=0,b=-2a; (2)①.…a=1,t=4, .该抛物线及直线解析式分别为y=x2-2x,y=x, 点P的坐标为(4,0)，如解图①， P衣 第3题解图① PM⊥x轴，.xg=xw=4, :点M在抛物线y=x2-2x上，点N在直线y=x上， yw=42-2×4=8,即M(4,8),yv=4,即N(4,4), ∴.MW=8-4=4: ②当点P从点0运动到点B(2a,0)的过程中， PM⊥x轴，P(L,0),.x=xv=L, 由(1)知，抛物线解析式为y=ax2-2ax, 将x=t代入y=ax2-2ax,可得y=at2-2al,即M(t,al- 2al), 将x=t代入y=ax,可得y=al,即N(t,al), .MN=l at-2at-atl l at'-3atl, 令MN=0,即at2-3at=0,解得1=0或t=3, 若a>0,则2a>0,即点P在y轴右侧，如解图②， 第3题解图② 当0<1≤3时，可有MW=-at2+3al,其图象开口向下，对 称错为宜线(：子 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MW的长随 的增大而增大.则2a≤子解得0≤子0k≤子 当t>3时，可有MW=a2-3al,其图象开口向上，对称轴 为直线1=，不符合题意： 若a<0,则2a<0,即点P在y轴左侧，如解图③， 第3题解图③ 当t<0时，可有MW=-at2+3al,其图象开口向上，对称 轴为直线=2 析·辽宁数学 33 若MW的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t 的减小而增大， 则2a子，解得a 3 4a<0 综上所述a的取值范围为a≤且a≠0 类型2二次函数与几何图形综合题 例1（)（-2.0：10（分子：(2.4： (2)3:42:17: (3)-2≤n≤2：①(n,n+2),(n,n2+n-2):②-n2+4: √2n+2W2. 例2(1)证明：设直线AB的解析式为y=x+b(k≠0)， 13k+b=0, 由条件可得 16解得 k= 7 3’.y= 3 91 b=-1 -1, 1 则点E的坐标为(m,3m-1), 1 29 将x=m代人2，得D(m,2m2), 1 .13 将x=m代人，得C(m,m+2m 4）, 1 1 4 6 7 4 1 。9 1 1 D=(3m-1)-(2m-2)=2(-4m+6m+4 .DE=2CE: （2)解：m=】或m=号 5 9 【解法提示】四边形ACBD如解图，当AC∥DB时， △BDE∽△ACE, .DE-BE 2片 人1 朗31 1 3,解得m= 11 -43 -或m= 9 9 不合题意，舍 16. 去)； 当AD∥BC时，△ADE∽△BCE. y个x=m 例2题解图 DE AE AE lyel 2 花批28了 1-16 八=解得m=-g或” )(不合题意， 9 舍去) 11 综上，m= 5 9 或m=-g 34 参考答案与重难 1.解：(1)b=-6,c=5; (2)点P的横坐标为5+④或5-√④ 2 2 【解法提示】对于抛物线y=x2-6x+5, 当y=0时，x2-6x+5=0,解得x1=1,2=5, 当x=0时，y=5,.A(1,0),B(5,0),C(0,5),.0B= 0C=5,AB=5-1=4, .·∠C0B=90°，..∠OBC=∠OCB=45 如解图，过点B向上作x轴的垂线，在垂线上截取BD =BA=4,连接CD,连接AD与BC交 于点E,则D(5,4),.∠DBC=90°- ∠0BC=45°=∠OBC,∴.BC⊥AD,ED =EA,∴.SADBC=S△ABC, 过点D作DP∥BC交抛物线于P,则 S△Pc=S△c=S△AHBc,即存在点P,设直 线BC的解析式为y=mx+n,代入B (5,0),c(0,5),得5m+n=0. ln=5, 第1题解图 {m=l,:直线BC的解析式为y=-t (n=5, +5,BC∥PD,.设直线PD的解析式为y=-x+g,代入 D(5,4),得-5+q=4,解得q=9,∴.直线PD的解析式为 y=-+9,与抛物线解析式联立得=x+9, 整理得 y=x2-6x+5, -5-4=0,解得+年或5④点P的 2 2 横坐标为5+④或5-V④ 2 2 2.解：(1)y=x2-2x-3: (2)存在.由y=x2-2x-3可知C(0,-3), .0B=0C=3,即∠0CB=∠0BC=45°， 第一种情况：当点P在直线BC上方时， 如解图①，记BP与y轴交于点K,则∠OBP+∠CBP= ∠0BC=45°， 第2题解图① 又.∠CBP+∠AC0=45°，∴.∠OBP=∠ACO, ÷lan∠0BP=tanLAC0,即OK04=⊥ 0B0C3 .0K=0B=1,即K(0,-1), 3 由B(3,0),K(0,-1)可得直线P的解析式为y= 3- 1, 联立 y=3-1 y=x2-2-3, 2 x=- 解得{红=3（与B点重合）或 3’ (y=0 11 9 211 P(3,9) 第二种情况：当点P在直线BC下方时， 题解析·辽宁数学