专题一 几何压轴题 三阶 类型3 阅读理解型探究题-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

类型③》阅读理解型探究题 6.[2025深圳]综合与探究 【探索发现】如图①，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形 【抽象定义】以等腰三角形的一个腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形 的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图 ②，在△ABC中，AB=AC,AC=AD,∠D=∠BAC,此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC 是“伴随三角形” 【问题解决】如图③，在四边形ABCD中，AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC. 则①AD与BC的位置关系为： :②AC2AD·BC(填“>”“<”或“=”). 【方法应用】①如图④，若AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边上， 求证：四边形ABDE是双等四边形； ②如图⑤，在等膜三角形AC中，AC=BC,esB=子AB=5,在BC上方的平面内找一点D,使 四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请 说明理由 bwwbwwtwtww B D 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 第6题图 50 专项分类提升练·辽宁数学 一战成名新中考 7.[2025丹东二模]已知，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=ax(60°<a<120),将△ABC绕点A逆时 针方向旋转得到△ADE,使点C的对应点E落在边AB上，射线DE交BC于点F,连接AF. 问题初探： (1)如图①，当x=90时，求证：点E是AB的中点： (2)小明在(1)问的条件下继续探究，发现DF所在直线是AB的垂直平分线，从而求出∠BAF的 度数，进而得到∠DAF的度数，因此他说AF=BF=)DF,请你写出小明结论的具体证明过程； 实践探究： (3)如图②，当α≠90时，判断AF,BF,DF之间的数量关系，并说明理由；小明认为在a=90°的条 件下，AF=BF=DF,也可以写成AF+BF=DF,所以猜想当&≠90时，AF+BF=DF也成立；小 2 丽在DF上截取DG=BF,连接AG,如图③，通过证明△ADG≌△ABF,从而得到小明的结论是 正确的.请你帮助小丽完成证明过程； 问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下 面这个问题： (4)若AB=8,BC=7,直接写出AF的长 0 图① 图② 图③ 第7题图 专项分类提升练·辽宁数学 51 8.[2024省样卷]【问题初探】 (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在△ACD中，∠D=2∠C,AB⊥CD,垂足为B, 且BC>AB.求证：BC=AD+BD. ①如图②，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD,连接AE,将 线段BC与AD,BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系 ②如图③，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线， 分别与AC,CD交于F,E两点，连接AE,将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量 关系 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 (2)李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的 关系：为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图①进行变换并提出了下面问题，请你 解答 如图④，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC(,点D与点C在AB同侧)，若∠ADB= 2∠C.求证：BC=AD+BD: (学以致用】 3,C0121 (3)如图⑤，在四边形ABCD中，AD=10,C ,sin0=3 ,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3LADC,求 四边形ABCD的面积， 图① 图② 图③ C 图④ 图⑤ 第8题图 52 专项分类提升练·辽宁数学②如解图，过点N作NQ⊥EP于点Q, D 第5题解图 由折叠的性质可得∠AEC=∠AEG,.·EF平分∠DEB .∠GEF=∠BEF .·∠AEC+∠AEG+∠GEF+∠BEF=180°，∴.∠AEG+ ∠FEG=90° 由旋转的性质可得P=BG=弓，∠PBG=90r, .∠P=∠PGE=45°，∠PEF+∠GEF=90, .∠AEG=∠PEF,∴.tan∠AEG=tan∠PEF, 由（3)0可得DG=子D6=DG+EG-4. 在△ADE中，an∠AED=4D2=L ΓDE42, 3在A80N,a∠052号0=20， 在△PNQ中，PO=0 tanp=NQ, ÷EP=QE+PQ=3NQ=2 …Pw=052 0s sinp 6, 易得PG=52 GN=PG-PN=5 3 6.【问题解决】解：①AD∥BC(或平行)；②=； 【方法应用】①证明：略； ②解：存在 过点A作AH⊥BC于点H,如解图， B H C 第6题解图① ”cos6=3 ，4B=5,BH=3,AH=4, 设CH=x,则AC=BC=x+3, 在Rt△AHC中，CH+A=AC, 即x2+42=(x+3)2,解得x=6, 7 7 25 .CH-6.BC-AC- 第一种情况：如解图①，当CA=CD,∠ACB=∠D= ∠CAD时，CD=AC=25 第二种情况：如解图②，当AD=AC,∠ACB=∠D= ∠ACD时 过点A作AML CD于点M,.CM=DM, M H C 第6题解图② 参考答案与重难题舟 一战成名新中考 易得△ACH≌△ACM,.CH=CM,.CD=2CM=2CH 7 =3 第三种情况：如解图③，当DA=DC,∠D=∠ACB时， H C 第6题解图③ ∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠B,∴.△CAB∽△DAC, 25 BC AB' 255c0 CD AC CD 6 125 36 上防述，存在一点D满足条件，D的K为2发了 变 36 7.（1)证明：略： (2)证明：·将△ABC绕点A逆时针方向旋转得到 △ADE,使点C的对应点E落在边AB上，.∠ACB= ∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=60°，..∠B=∠D=30°， 由(1)知E是AB的中点， .DF垂直平分线段AB,.AF=BF ..∠BAF=∠B=30,.∠DAF=∠DAE+∠BAF=90°， 在Rt△ADF中，∠DAF=90°，∠D=30°， AF=BF=2 DF; (3)证明：在DF上截取DG=BF,连接AG,如题图③」 :将△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE, ∴.∠B=∠D,AD=AB,∠BAC=∠DAE=6O°， (AD=AB. 在△ADC和△ABF中，了∠D=LB, DG=BF. ..△ADG≌△ABF(SAS),.AG=AF,∠DAG=∠BAF, .∴.∠DAG+∠GAB=∠BAF+∠GAB, ..∠GAF=∠DAE=60°，.△GAF是等边三角形」 .AF=GF,..AF+BF=CF+DG=DF; (④)解：AP的长为分或9【解法提示】当∠ACB是锐 角时，如解图①，过点B作BH⊥AC于点H,在Rt△ABH 电，LBAC=60°，4B=8,LABH=30°，AHE)ABE 4,..BH AB-AH=4,.BC 7,.CH √/BC-BH=1,∴.AC=4+1=5,·将△ABC绕点A逆 时针方向旋转得到△ADE,.AE=AC=5,DE=BC=7, AD=AB=8,∠D=∠ABC,.BE=8-5=3,∠BAC= ∠DAE=60°，.∠D=∠ABC,∠DEA=∠BEF,∴.△DEA abB邵s即子- 3 EF-BF EF-15 7 BF=号，AF+BF=DE,AF=DF-BF=DE+EF-BF9 7+524-”:当∠ACB是钝角时，如解图②，过点B 作BK⊥AC交AC的延长线于点K,同理可得AK=4,CK =1,.AC=4-1=3,.将△ABC绕点A逆时针方向旋 转得到△ADE,.AE=AC=3,DE=BC=7,AD=AB=8, ∠D=∠ABC,∴.BE=8-3=5,∠BAC=∠DAE=60°，. ∠D=∠ABC,∠DEA=∠BEF,△DEA△BEF,BE E 析·辽宁数学 31 7 BF=DF.AF=DF-BF=DE+EF-BF-7+15_40-24 777 综上所述，A的长为或9 图① 图② 第7题解图 8.(1)解：①选择小鹏同学的解题思路，证明如下： BE=BD,AB⊥CD,∴.AB是线段DE的垂直平分线 .·.AE=AD,.∠D=∠AED ∠D=2∠C,.∠AED=2∠C, 又：∠AED=∠C+∠CAE,.∠C=∠CAE .CE=AE,∴.CE=AD,∴.BC=CE+BE=AD+BD: ②选择小亮同学的解题思路，证明如下： .:EF是线段AC的垂直平分线，.AE=EC .·.∠C=∠CAE,.∠AED=∠C+∠CAE=2∠C, 又.·∠D=2∠C,.∠D=∠AED .AE=AD,.'.CE=AD. .AE=AD,AB⊥CD,.BE=BD .·.BC=CE+BE=AD+BD: (选择一名同学的解题思路证明即可) (2)证明：如解图①，过点A作AE∥DB交CB的延长线 于点E,在BC上截取BF=BE,连接AF, 第8题解图① .·AE∥DB,AD∥BC, .四边形AEBD是平行四边形， .AD=BE,AE=BD,∠ADB=∠E .'∠ADB=2∠C,.∠E=2∠C .:∠ABC=90°，.AB⊥FE 又BE=BF.AB是线段EF的垂直平分线， .AE=AF,.∠E=∠AFE, .'∠E=2∠C,∴.∠AFE=2∠C 又.∠AFE=∠C+∠CAF,.∠C=∠CAF .CF=AF,∴.CF=AE, .'BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD; (3)解：如解图②，延长AB交DC的延长线于点E,作 AH⊥DE于点H,作BF⊥DE于点F, B F C H 第8题解图② .'∠BCD=∠BAD,∠BCD+∠BCE=180°，∠BAD+∠E+ ∠D=180°， .∠BCE=∠E+∠D .'∠ABC=∠E+∠BCE .∠ABC=∠E+∠E+∠D=2∠E+∠D, .:∠ABC=3∠ADC,.∴.3∠D=2∠E+∠D 32 参考答案与重对 ∴∠D=∠E,∠BCE=∠E+∠D=2∠E, 又BF⊥DE,同(1)可证EF=BC+CF. 100 3 AD=3,sinD=亏，Ah⊥DE, 1003 .AH=AD·sinD= 3X520, 加-vmr-√-20 3 ·∠D=∠E,.AD=AE, 又：AH⊥DE,HE=HD,DE=2HD=160 31 121 CD= ，，:C=DbcD=160=Y 3 设EF=x,则CF=EC-EF=13-x, .EF=BC+CF,..BC=EF-CF=x-(13-x)=2x-13, .在Rt△BFC中，BF2=BC2-CF2=(2x-13)2-(13-x)2 =3x2-26x, sin0=号∠D=∠EanE=am0=3 3 4 BF=EF·anE=4, 3 32 ∴（子）2=3x-26x,解得=34=0（舍去）， B3x32 -X- 8, 43 Saa=5w5m-·Ah60a股} x160x20-1x13x8=14 3 2 3 专题二二次函数压轴题 类型1二次函数图象与性质综合题 例解：(1)点A的坐标为(3,0)，a,c的值分别为 21 9 （@当了时.做品小省为) 最大值为， 4当弓 时取得最小值为号即时三 9 16 5 ,解得1=3 885 “函数⅓的最大值为兮1=331，则由解图可 知m1≤t-n≤m2, 例题解图 :当=1时，子(-12+1=1，解得名=%=1：由 （1知宁号当g=1时宁-号=1，得 题解析·辽宁数学