专题一 几何压轴题 三阶 类型2 以图形折叠为载体的探究题-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

类型②)以图形折叠为载体的探究题 4.[2025沈阳大东区二模]综合与实践 【问题情境】如图①，小明将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角 线BD上，点B的对应点记为B',折痕与边AD,BC分别交于点E,F 【问题解决】(1)若AB=4,AD=8, ①如图②，当点B'与点D重合时，求AE的长； ②如图③，若BF=3,求BB'的长： 【问题探究】(2)如图④，连接AC,设AC与BD交于点O,当∠ACB=30时，求证：A'B'AC; 【深入探究】(3)在(2)的情形下，设AC与EF交于点P,求三条线段AP,B'D,EF之间满足的等量 关系 A D D(B' B B B 图① 图② 图③ 图④ 第4题图 48 专项分类提升练·辽宁数学 一战成名新中考 5.[2025沈阳浑南区二模]已知：如图①，∠ACB=90°，AC=2,点E为CB上一点，连接AE,将△ACE 沿AE翻折得到△ADE,作∠DEB的平分线EF,过点A作AF∥CB,交EF于点F,直线DE交AF于 点G. (1)如图②，当点D与G重合时，求四边形ACED的面积； (2)求证：BG=2A: (3)如图③，点G在线段DE上，DG:GE=3:5,将线段EG绕点E顺时针旋转90°，点G旋转至点 P,连接GP,交EF于点N ①求GE的长； ②求GW的长 D D(G G A D B E B B 图① 图② 图③ 第5题图 专项分类提升练·辽宁数学 49解法三：如解图③，过点A作AO⊥BC于点O,交CE于 点F,截取CG=BE,连接BG,.·∠BAE+∠ABE=∠BAE +∠EAO=30°，∴.∠EAO=∠ABE,.·∠AFE=∠CFO, ∠AEF=∠COF=90°，∴.∠BCG=∠EAF=∠ABE,.·CB =BA,·.△CBG≌△BAE,∴.∠GBC=∠BAE,∴.∠BGE= ∠GBC+∠BCG=30°，由∠BEG=120°，.∠EBG=30°， ∴.EB=EG=CG,得CE=2BE; 4 7D 0 第3题解图③ (3)取AC的中点O,如解图④，当点P在线段OA上 时，记射线BP与AD交于点H, 第3题解图④ .:AH∥BC,·.∠AHB=∠CBH .·∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, 、.△HAB∽△BEG,ABEC AH BE 设FG=x,则EF=BE=2x, 10 .EG=3x,.. 2xAH 35,AH= 3 AD∥BC,.△APH△CPB, 10 AH APAP 3 2 AP 2 B0PC心P05=3心AC5 易知△ABC为等边三角形， .AC=AB=5,AP=5×=2: 如解图⑤，当点P在线段OC上时，延长AD交射线BP 于点H, 第3题解图⑤ 同理可得，∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， .△BAH△GEB, 设BE=EF=2m,则GF=EG=m, AB EG m 1 六AM6证2m2AH=10, 同理可得，△APH∽△CPB, AP 2 CP BC AP=5x2、10 33 综上所述，AP的K为2或号 4.(1)解：①AE=3; 30 参考答案与重对 ②设EF与BD交于点H,如解图①， A 第4题解图① 由折叠得EF⊥BB',BF=B'F=3,BB'=2BH, .·∠BHF=∠C=90°，∠FBH=∠DBC. .△BFH∽△BDC, BF BH BD BC BD=√BC+CD=45, :3H,解得M=65 458 , BB'=2BH=125. 5 (2)证明：略： (3)解：如解图②，过点E作EG⊥BC于点G,设EF交 BD于点H, 第4题解图② 由折叠得EF⊥BD,B'F=BF,∠BFE=∠B'FE, 设AE=m,EF=n,由(2)得∠BAC=60°=∠ABD, ∴.∠BB'F=∠DBC=30°，.∠BFE=∠B'FE=60) G=i0-5G=3m0=3, ·∠EAB=∠ABG=∠BGE=90°，.四边形ABGE是 矩形 ·AB=EG= 2n.BG=AE=m.AD//BC, FBFm+B=BF.cos30= 1 2(m+2 n), BB=2BH=5(m+2D), :BD=2AB=√3n, 1 B'D=BD-BR'=n-5(mt >a)=n-/3m. AD∥BC,.∠DEF=∠EFG=60°， ∴.∠APE=∠DEF-∠DAC=60°-30°=30°=∠DAC, .AP=2AE·cos30°=√3m, .AP+B'D=J3m+( 2n-3m)= 2h, :AP+B'D=5EF,即，5EF=2(AP+B'D). 2 5.(1)解：四边形ACED的面积为4： （(2)证明：略： (3)解：①GE=2 题解析·辽宁数学 ②如解图，过点N作NQ⊥EP于点Q, D 第5题解图 由折叠的性质可得∠AEC=∠AEG,.·EF平分∠DEB .∠GEF=∠BEF .·∠AEC+∠AEG+∠GEF+∠BEF=180°，∴.∠AEG+ ∠FEG=90° 由旋转的性质可得P=BG=弓，∠PBG=90r, .∠P=∠PGE=45°，∠PEF+∠GEF=90, .∠AEG=∠PEF,∴.tan∠AEG=tan∠PEF, 由（3)0可得DG=子D6=DG+EG-4. 在△ADE中，an∠AED=4D2=L ΓDE42, 3在A80N,a∠052号0=20， 在△PNQ中，PO=0 tanp=NQ, ÷EP=QE+PQ=3NQ=2 …Pw=052 0s sinp 6, 易得PG=52 GN=PG-PN=5 3 6.【问题解决】解：①AD∥BC(或平行)；②=； 【方法应用】①证明：略； ②解：存在 过点A作AH⊥BC于点H,如解图， B H C 第6题解图① ”cos6=3 ，4B=5,BH=3,AH=4, 设CH=x,则AC=BC=x+3, 在Rt△AHC中，CH+A=AC, 即x2+42=(x+3)2,解得x=6, 7 7 25 .CH-6.BC-AC- 第一种情况：如解图①，当CA=CD,∠ACB=∠D= ∠CAD时，CD=AC=25 第二种情况：如解图②，当AD=AC,∠ACB=∠D= ∠ACD时 过点A作AML CD于点M,.CM=DM, M H C 第6题解图② 参考答案与重难题舟 一战成名新中考 易得△ACH≌△ACM,.CH=CM,.CD=2CM=2CH 7 =3 第三种情况：如解图③，当DA=DC,∠D=∠ACB时， H C 第6题解图③ ∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠B,∴.△CAB∽△DAC, 25 BC AB' 255c0 CD AC CD 6 125 36 上防述，存在一点D满足条件，D的K为2发了 变 36 7.（1)证明：略： (2)证明：·将△ABC绕点A逆时针方向旋转得到 △ADE,使点C的对应点E落在边AB上，.∠ACB= ∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=60°，..∠B=∠D=30°， 由(1)知E是AB的中点， .DF垂直平分线段AB,.AF=BF ..∠BAF=∠B=30,.∠DAF=∠DAE+∠BAF=90°， 在Rt△ADF中，∠DAF=90°，∠D=30°， AF=BF=2 DF; (3)证明：在DF上截取DG=BF,连接AG,如题图③」 :将△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE, ∴.∠B=∠D,AD=AB,∠BAC=∠DAE=6O°， (AD=AB. 在△ADC和△ABF中，了∠D=LB, DG=BF. ..△ADG≌△ABF(SAS),.AG=AF,∠DAG=∠BAF, .∴.∠DAG+∠GAB=∠BAF+∠GAB, ..∠GAF=∠DAE=60°，.△GAF是等边三角形」 .AF=GF,..AF+BF=CF+DG=DF; (④)解：AP的长为分或9【解法提示】当∠ACB是锐 角时，如解图①，过点B作BH⊥AC于点H,在Rt△ABH 电，LBAC=60°，4B=8,LABH=30°，AHE)ABE 4,..BH AB-AH=4,.BC 7,.CH √/BC-BH=1,∴.AC=4+1=5,·将△ABC绕点A逆 时针方向旋转得到△ADE,.AE=AC=5,DE=BC=7, AD=AB=8,∠D=∠ABC,.BE=8-5=3,∠BAC= ∠DAE=60°，.∠D=∠ABC,∠DEA=∠BEF,∴.△DEA abB邵s即子- 3 EF-BF EF-15 7 BF=号，AF+BF=DE,AF=DF-BF=DE+EF-BF9 7+524-”:当∠ACB是钝角时，如解图②，过点B 作BK⊥AC交AC的延长线于点K,同理可得AK=4,CK =1,.AC=4-1=3,.将△ABC绕点A逆时针方向旋 转得到△ADE,.AE=AC=3,DE=BC=7,AD=AB=8, ∠D=∠ABC,∴.BE=8-3=5,∠BAC=∠DAE=60°，. ∠D=∠ABC,∠DEA=∠BEF,△DEA△BEF,BE E 析·辽宁数学 31