专题一 几何压轴题 三阶 类型1 以旋转为引子的探究题-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

√DM+0M=27,.PD=0D-0P=2√7-2..PD的 最小值是27-2. 第6题解图 例4907.B 8.12√3【解析】如解图，连接BD,取BD的中点N,连接 CN,AN,.AD=AB=6,∠BAD=60°，∴△ABD是等边三 角形D=6Sam= =AB=95,要使四边形 ABCD的面积最大，只需△BCD的面积最大..∠BAD +∠BCD=180°，.A,B,C,D四点共圆，∴.当CN⊥BD 时，△BCD取得最大面积，此时BN=DN=3,A、N、C三 点共线.∠DCV=60CN-00=厅，此时5 2D·CN=33四边形ABCD面积的最大值为 9W3+3√3=12√3. 第8题解图 例522-2 例6解：如解图，取MN的中点D,过点D作DP⊥OB于 P,以直径MW作⊙D,当⊙D与OB相切时，观景视角 ∠MPWN最大 MN=2OM=40m,点D是MN的中点， .∴.DM=DW=20m,∴.OD=40m, .∠AOB=30°，DP⊥OB, 0p 20D=203(m). B 例6题解图 专题八直线型几何最值模型 例1A1.C 2.B【解析】四边形ABCD是正方形，AD=AB, ∠DAB=∠ABC=90°，又.·AE=BF,.△ADE≌△BAF (SAS),∴.∠ADE=∠BAF,∴.∠DOF=∠ADO+∠DAO= ∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，·点M是DF的中点， OM=0F,如解图所示，作点G关于BC的对称点H, 连接h,Ba,DHh=C0N+宁G=号DP F=子(DF+HP)当D,R,H三点共线时.DP4Hr 有最小值，即此时0M+FC有最小值，最小值即为 28 参考答案与重为 DH长度的一半，.·AG=2GB,AB=6.BH=BG=2, AH=AB+BH=8,:AD=6,.在Rt△ADH中，DH= VaD+iF=10,0M:FG的最小值为5 第2题解图 例2√133.(-1,0)4.10例322-2 5.42【解析】如解图，过点F作FG⊥直线AD于G, ∠G=∠ADC=90°，：将CE绕点E逆时针旋转90°得 到EF,∴.EF=EC,∠FEC=90°，∴.∠FEG+∠CED= 90°，：∠CED+∠DCE=90°，∴.∠FEG=∠ECD,. △EFC≌△CED(AAS),∴.ED=FG,CD=EG,设ED长 为x,在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,.CD=3,AE=5 -x..EG=3,FG=x,..AG=AE+EG=5-x+3=8-x Rt△AFG中，由勾股定理可得，AG2+FG2=AFP,即 (8-x)2+x2=AF2,.AF2=2x2-16x+64,2x2-16x+64= 2(x-4)2+32,.AF2≥32，AF>0,.AF≥42，当x= 4,即DE=4时，AF取得最小值4√2，符合题意 B 第5题解图 636 2 【解析】如解图，连接AC交BD于点O,连接OW 延长交AD于点E,.∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD s、1 )AC=)BD,AD=BC,由勾股定理得AC √AB+BC=√32+(35)=6，.0A=0B=0C=0D= 24cs 2×6=3=AB,△0AB为等边三角形， ∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，.∠AOD=180°-∠A0B =180°-60°=120°，.·△AMN是等边三角形，.∠MAW =60°，AM=AN,.∠BAM=∠BA0-∠MA0=60°- ∠MAO,∠OAN=∠MAN-∠MA0=60°-∠MAO,. ∠OAN=∠BAM,在△OAN和△BAM中， (AO=AB, ∠OAN=∠BAM,∴.△OAN≌△BAM(SAS),.∴∠AOW AN=AM. =∠ABM=60°，ON=BM,.当点M在对角线BD上运 动时，点N在射线OE上运动，·∠DOW=∠AOD- ∠A0W=120°-60°=60°，.∠D0W=∠A0N,即0E平 分∠AOD,又OA=OD,OE⊥AD,且OE是AD边上 中线，当N与E重合时，DN取到最小值，最小值为DE 的长，DE= 0-c-3 1 33 2,DN4= 2 第6题解图 题解析·辽宁数学 一战成名新中考 三、压轴题分类提升练 专题一 几何压轴题 一阶技能必备 (3)解：存在，△BP而积的最大值为【解法提示】 13 如解图，连接PA,过点A作AM⊥PE于点M,易知PE 例160° 例2 例3√0或√34 长为定值，则当点B到PE的距离最大时，SABe最大， 例45或35 (作图略) 二阶 突破设问 例190 例2证明：略 例3解：CM=3,7 7 例4解：PC=PD,证明略 第2题解图 例5解：连接CD,取AB的中点O,连接C0,如解图， 即当AM与AB共线，且BM=BA+AM时，△BEP的面积 最大， 由题意得PF=PG=) D 0 5 例5题解图 AG=EF=2,∠G=LF=90°，PA=PE= ·∠CEG=∠DEF,.∠CED=∠GEF 1 1 由旋转得CE=EG,·DE=EF,.△CDE≌△GFE, Sa=2S矩形E PE·AM ∴.CD=CF,∠CDE=∠EFD=∠EDF 15 1 AM= .·在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点， 22 3x2,AM=12 2 ..AO=B0=C0,.∠OCB=∠CBA 15 .EF∥BC,∴.∠CBA=∠F, .S△BPE= 2P呢BM=2×x(3 4 .∴.∠COD=∠OCB+∠CBA=2∠CBA=2∠F=∠CDE+ ∠EDF=∠CDO, 即△PBE面积的最大值为27为 ABAB ..CD=CO=CF,.. =2 3.解：(1)30，BP⊥AC; GF CO (2)CE=2BE,理由如下： 解法一：如解图①，把△ABE绕点B顺时针旋转60得 例6证明：略. 例730例8 3√27 7 例9 32 3 到△CBQ,连接EQ 三阶综合训练 D 1.解：(1)BD=CE,60; (2)MF=CF.理由：：△ABC和△AMW都是等边三 角形， ·.AB=AC,AM=AN,∠ABC=∠ANM=∠BAC=∠MAN 0 =60°， 第3题解图① ·.∠NAC=∠MAB .BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC,A与C重合， AB=AC. .△BEQ为等边三角形 在△MAB和△NAC中， ∠MAB=∠NAC, .∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, (AM=AN. 点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， .△MAB≌△NAC(SAS), ∴.∠AEB=150°，∠BEC=120° ∴.∠MBA=∠NCA, ∴.∠CEQ=60°，∠B0C=150° .·△ABC≌△AMN. ∠EQC=150°-60°=90°， ∴AC=AW,∴.∠NCA=∠CNA,.∠MBA=∠CNA, ·.∠EC0=90°-60°=30° .·∠ABC=∠ANM=60° .CE=2E0=2BE: .180°-（∠MBA+∠ABC)=180°-（∠CNA+∠ANWM), 解法二：如解图②，作CG⊥BP于点G,连接BD交AC ..∠FBC=∠FNM 于点O,则∠GBD=∠PCG,∠ECG=30°=∠CB0,得 I∠FBC=∠FWM, ∠GBC=∠ECA,由BC=AC,∠BGC=∠CEA,得△AEC 在△FBC和△FNM中，{∠F=∠F, ≌△CGB,则BG=CE=2EG=BE+EG,得BE=EG,得EC BC=NM =2BE; ∴.△FBC≌△FNM(AAS),∴.MF=CF; (3)SAACM=9. 2.(1)解：EC=3-√5： (2)①证明：略； 受解：01：名 第3题解图② 参考答案与重难题解析·辽宁数学 29 解法三：如解图③，过点A作AO⊥BC于点O,交CE于 点F,截取CG=BE,连接BG,.·∠BAE+∠ABE=∠BAE +∠EAO=30°，∴.∠EAO=∠ABE,.·∠AFE=∠CFO, ∠AEF=∠COF=90°，∴.∠BCG=∠EAF=∠ABE,.·CB =BA,·.△CBG≌△BAE,∴.∠GBC=∠BAE,∴.∠BGE= ∠GBC+∠BCG=30°，由∠BEG=120°，.∠EBG=30°， ∴.EB=EG=CG,得CE=2BE; 4 7D 0 第3题解图③ (3)取AC的中点O,如解图④，当点P在线段OA上 时，记射线BP与AD交于点H, 第3题解图④ .:AH∥BC,·.∠AHB=∠CBH .·∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, 、.△HAB∽△BEG,ABEC AH BE 设FG=x,则EF=BE=2x, 10 .EG=3x,.. 2xAH 35,AH= 3 AD∥BC,.△APH△CPB, 10 AH APAP 3 2 AP 2 B0PC心P05=3心AC5 易知△ABC为等边三角形， .AC=AB=5,AP=5×=2: 如解图⑤，当点P在线段OC上时，延长AD交射线BP 于点H, 第3题解图⑤ 同理可得，∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， .△BAH△GEB, 设BE=EF=2m,则GF=EG=m, AB EG m 1 六AM6证2m2AH=10, 同理可得，△APH∽△CPB, AP 2 CP BC AP=5x2、10 33 综上所述，AP的K为2或号 4.(1)解：①AE=3; 30 参考答案与重对 ②设EF与BD交于点H,如解图①， A 第4题解图① 由折叠得EF⊥BB',BF=B'F=3,BB'=2BH, .·∠BHF=∠C=90°，∠FBH=∠DBC. .△BFH∽△BDC, BF BH BD BC BD=√BC+CD=45, :3H,解得M=65 458 , BB'=2BH=125. 5 (2)证明：略： (3)解：如解图②，过点E作EG⊥BC于点G,设EF交 BD于点H, 第4题解图② 由折叠得EF⊥BD,B'F=BF,∠BFE=∠B'FE, 设AE=m,EF=n,由(2)得∠BAC=60°=∠ABD, ∴.∠BB'F=∠DBC=30°，.∠BFE=∠B'FE=60) G=i0-5G=3m0=3, ·∠EAB=∠ABG=∠BGE=90°，.四边形ABGE是 矩形 ·AB=EG= 2n.BG=AE=m.AD//BC, FBFm+B=BF.cos30= 1 2(m+2 n), BB=2BH=5(m+2D), :BD=2AB=√3n, 1 B'D=BD-BR'=n-5(mt >a)=n-/3m. AD∥BC,.∠DEF=∠EFG=60°， ∴.∠APE=∠DEF-∠DAC=60°-30°=30°=∠DAC, .AP=2AE·cos30°=√3m, .AP+B'D=J3m+( 2n-3m)= 2h, :AP+B'D=5EF,即，5EF=2(AP+B'D). 2 5.(1)解：四边形ACED的面积为4： （(2)证明：略： (3)解：①GE=2 题解析·辽宁数学一战成名新中考 目阶综合训练 类型①以旋转为引子的探究题 1.综合与实践 【问题情境】数学兴趣小组利用特殊的等腰三角形一等边三角形展开研究. 【数学思考】如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，连接BD,CE. (1)当点D,E,C在一条直线上时，BD与CE的数量关系是 ,∠BDC= 【深入探究】换成两个全等的等边三角形继续研究.如图②，△ABC和△AMW都是等边三角形，且 △ABC≌△AMN,AB=6. (2)连接MB,CW并分别延长交于点F,试猜想MF和CF的数量关系，并说明理由； (3)如图③，将△AMN绕点A按顺时针方向旋转，当∠MAB=90°时，连接CW,BM,CM,求△ACM 的面积 B B 图① 图② 图③ 第1题图 专项分类提升练·辽宁数学 45 2.「2024锦州凌河区三模7在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形AB CD,旋转角为α(0°<α<180)，得到矩形AEFG,点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G. (1)如图①，当点E落在DC边上时，求线段EC的长度； (2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H,连接AC, ①求证：△ACD≌△CAE; ②求线段DH的长度； (3)如图③，设点P为边FG的中点，连接PB,PE,BE,在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是 否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值：若不存在，请说明理由 G D D 图① 图② 图③ 第2题图 46 专项分类提升练·辽宁数学 一战成名新中考 3.「2025贵州1如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的 一点（点E与点B不重合） 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关 系是 ； 【问题探究】 (2)多解法如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线 段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120得到EF,射线EF交射线BC于点G, 若BE=2FG,AB=5,求AP的长 E O(P B 图① 图② 第3题图 备用图 专项分类提升练·辽宁数学 47