专题七 与圆有关的模型(含曲线型几何最值)-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题七与圆有关的模型（含曲线型几何最值） 类型①》点圆、线圆最值模型 ◆点圆最值（记⊙0半径为r) 定点在圆外 定点在圆上 定点在圆内 动点P 动点P 动，点P 图形 定点A 最大P 定点A 最大P 最小P 10 最小P 定点A 最大P, (最小P 解法 基本方法：“一箭穿心”找最值，“近”最小，“远”最大 提炼 基本依据：三角形三边关系及三，点共线，圆中最长弦是直径 最大值为AP,=OA+r 最大值为AP2=2r 最大值为AP,=OA+r 最值 最小值为AP,=OA-T 最小值为AP,=0 最小值为AP,=r-AO ◆线圆最值（记⊙0半径为r,圆心0到定直线m的距离为d) 线圆相离 线圆相切 线圆相交 最大P 动点P 动点P 最大P 最大P 动点P 动点P 图形 0 最小P m m m Q最死) (最小P) 依据与 依据1：垂线段最短；依据2：三角形三边关系及三，点共线 总结 总结：过圆心作定直线的垂线与圆相交，“近垂足”取最小，“远垂足”取最大 PQ大=d+r PQ最小=d-r PQk大=2r PQ大=d+r 最值 (PQ≤PM≤OM+ (PQ≥0Q-0P≥ PQ最小=0 PQ张小=0 OP=d+r) OM-OP=d-r) 例1[2025本溪一模]如图，在平面直角坐标系中，点A(3,0),B(0,33),点C是坐标平面内一点， 且BC=2,点D是线段AC的中点，连接OD.当OD取最大值时，点D的坐标为 汶思维教练 题眼：点B是定点，BC=2是定长 思考：动点C的轨迹是什么？ 结论：以B为圆心，2为半径的圆 ,点圆最值 一箭穿心 D 题眼：点D是AC的中点，A是定，点，BC=2 思考：看到中点你能想到什么？ 辅助线：连接AB,取AB的中点E,连接OE,DEO Ax 0 F Ax 结论：DE=1,点D在圆心为E,半径为1的圆上动态过程图 最值图 拓展连接BD,△OBD面积的最小值为 专项分类提升练·辽宁数学 31 【思维教练】先确定点D在圆上，再由圆心向y轴作垂线，垂线与圆的交点为D,求此时点D到y 轴的距离即可确定△OBD面积的最小值 ©针对训练 1.[2022柳州改编]如图，正方形ABCD的边长为4，点P是以AB为直径的半圆O上一点，连接CP, 则CP的最小值为 D 第1题图 第2题图 2.一成名原创如图，A,B是半径为2的⊙0上的两点，且AB=23,点C为⊙0上一动点（不与点 A,B重合)，则△ABC面积的最大值为 ( A.5 B.23 C.33 D35智 类型②》定点定长模型—利用圆的定义 特征 图示 圆心与半径 其他常考图形 动，点P(或多个 定点A,B,C)到 圆心：点0 定点0的距离 半径：r 是定值r B 旋转成圆 折叠成圆 中位线圆 例2[2025锦州一模]如图，在矩形ABCD中，M为AD边上的动点，过点M作直线l交BC于点N, BN=3AM,作四边形ABNM关于直线l对称的四边形GHNM,连接CH.若AB=4,BC=8,则CH的 最小值为 汝思维教练 题眼：矩形ABCD,BN=3AM ↓ 解读：AM∥BN,AM:BN=1:3是定值 模型思维：平行+线段比定值想A字相似 D ↓ M 辅助线：延长BA,NM交于点O,连接OC,OH 推理：由相似得0A=2是定值，知点O是定，点 B 由对称得B,H关于ON对称，OH=OB,得圆 最值 32 专项分类提升练·辽宁数学 一战成名新中考 @针对训练 3.一成名原创如图，在△ABC中，AC=BC=3√2，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点P在AC上， CP=2,将线段CP绕点C旋转得到线段CP,连接DP',PA,当DP'⊥AB时，AP'= D 第3题图 第4题图 备用图 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E,F分别在AB,AD上，且EF=6,点M是EF的中点，连 接CM,则CM的最小值为 类型③》定角定弦模型—利用圆周角定理 特征 定长线段AB对的∠APB的度数为定值 锐角型 如60° 直角型 钝角型 如135 P ● 图形 609 360°-2a 2 209 a 圆心和动，点在定弦的同侧 圆心和动，点在定弦的两侧 说明 定弦是直径 圆心角等于定角的2倍 圆心角等于360°-2倍定角 例3如图，AB=4,点P是线段AB外一点，∠APB=45°，C,D分别是AB,BP的中点，则CD的最大 值为 交思维教练 D 题眼：4B=4,∠APB=459 定线 定角 45 459 D 45 D 思考：点P的轨迹怎么画？ 题眼：C,D分别是AB,PB的中点 909 90 思考：CD和AP有怎样的关系？ C B B 动态过程图 最值位置图 @针对训练 5.[2024扬州]如图，已知两条平行线11，L2,点A是11上的定点，AB⊥2于点B,点 C,D分别是L1,l2上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BHL CD于点H,则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 【点拨】由题易得△AEC≌△BED,从而得到BE是定长，又由BH⊥CD得∠BHE B D =90°是定角，则可作直角对直径的辅助圆O,当AH与⊙O相切时，∠BAH最 第5题图 大，即可求解 专项分类提升练·辽宁数学 33 6.[2025锦州零模]如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3√3，点E在边AB上，AE:EB=1:2,在矩形内 找一点P,使得∠BPE=60°，则线段DP的最小值为 【点拨】由题可得点P在以BE为弦所对圆周角∠BPE=60°的圆上运动，当DP的延长线过圆心 时，PD有最小值 第6题图 备用图 类型④》四点共圆模型 类型 对角互补型 定边对定角型 一般图形 特殊化(90°对90°) 一般图形 特殊化(90°) B B 图示 0 180°-aC m O D 特点 四边形ABCD中，∠A+∠C=∠B+∠D=180° 定弦CD同侧两等角∠DAC=∠DBC 例4[2025丹东二模改编]如图，点F是正方形ABCD外一点，且在BC的上方，∠BFC=45°.连接 DF,则∠DFB= …文思维教练 题眼：正方形ABCD,∠BFC=45 辅助线：连接BD,得∠BDC=∠BFC=45 ↓ 0 模型思维：定边BC同侧两等角 ↓ 结论：点B,C,F,D四，点共圆 ©针对训练 7.[2023本溪明山区月考]如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC,量角器上点D对应 的读数是100°，则∠BCD的度数为 ( A.30° B.40° C.50° D.80° 第7题图 第8题图 8.如图，AB=AD=6,∠A=60°，点C在∠DAB内部，且∠A+∠C=180°，则四边形ABCD面积的最大值 为 34 专项分类提升练·辽宁数学 一战成名新中考 类型⑤定角定高与最大张角辅助圆 ◆两个变化的辅助圆 类型 图示与作图 思路说明 定角：∠BAC=Q 作△ABC的外接圆 定高：AD⊥BC,AD=h 过程分析 最值图形 O,设半径为r,则ON 定角 rcosa,BC =2CN 定高 2rsina.r+ON=r(1+ 辅助圆 cosa)≥AN≥AD,从 而当A,O,D三点共 本质：△ABC的外接圆半径最小 线时r最小，BC最小 已知AB=a为定长 作△ABP的外接圆O, 在KN上确定一，点P 当⊙0和直线KN相交 最大 使得∠APB最大 过程分析 最值图形 时，必然在⊙0内有一 张角 D 点P,使得∠APB> 辅助圆 ∠APB;当⊙O和直线 N相切时，LAPB 最大 例5[2024宜宾]如图，正方形ABCD的边长为1，M,N是边BC,CD上的动点，若∠MAN=45°，则 MW的最小值为 思维教练 题眼：正方形，∠MAN=45 模型：正方形中半角模型 E 辅助线：作AG⊥AM交CD延长线于G ↓ 推理：证∠NAG=45°，NG=NM A 动态过程图 最值位置图 ∠NAG和垂线AD构成：定角定高模型 例6如图，某雕像MN位于河段OA上，游客P在步道OB上行走，已知∠AOB=30°，MN=2OM= 40米，当观景视角∠MPW最大时，求游客P行走的距离OP的长. ￠思维教练 题眼：MN=2OM=40米，∠MPN最大 A 模型：M,N,P构成最大张角 M 辅助线：作△MNP的外接圆 B B B 推理：当圆和OB相切时满足题意 动态过程图 最值位置图 【自主解答】 专项分类提升练·辽宁数学 35.·∠MAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=90° .∴.∠MAB=∠FAC ·.·将△BCE沿BC翻折得到△BC,BE⊥CE, .∴.∠BFC=∠BEC=90, ∠BAC=90°，四边形ABFC的内角和是360°， ·.∠ABF+∠ACF=360°-90°-90°=180°； .:∠ABF+∠ABM=180°， ∴.∠ABM=∠ACF 又.AB=AC, .∴.△ABM≌△ACF(ASA), ∴.AM=AF,MB=FC, ∴.△MAF是等腰直角三角形， .MF=√2AF, MF=MB+BF=CF+BF, .CF+BF=√2AF M 例题解图 1.42.1 3.A【解析】解法一：如解图，连接BD,CD,BC是⊙O 的直径，.∠BAC=∠BDC=90°，AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD,.BD=DC,.BD=CD,在四边形AB DC中，∠BAC=∠BDC=90°，.∴∠ACD+∠ABD=180° 将△ADC绕点D逆时针旋转90°后得到△A'DB, ∠ACD=∠A'BD,.∴.∠ABD+∠ACD=∠ABD+∠A'BD= 180°，A,B,A'三点共线，.AB+AC=AB+A'B=AA',由 旋转可知∠A'DA=90°，A'D=AD,.△A'DA是等腰直 角三角形，AB+ACA Ak< 第3题解图 解法二：特殊值法.当点A是BC的中点时，AD是⊙O 的直径，设圆0半径为r,则AB=AC=√2r,AD=2r,则 AB+AC2+2-2. AD 2r 4解：PB+PD=√2PA,证明略 专题七与圆有关的模型 （含曲线型几何最值) 例12.25)函层3 ，1.25-22.C 例24 3.√I0或√34【解析】以点C为圆心，CP长为半径画 圆，连接CD交⊙C于点P,',延长DC交⊙C于点P, 连接AP,则P在⊙C上，CP=CP{=CP=2,如解图， ∠ACB=90°，AC=BC=32,.AB=√2AC=6,点D是 参考答案与重难题 一战成名新中考 AB的中点，.CD=AD =24B=3,∠ADC=90°，当DP ⊥AB时，∠ADP'=90°，此时点C、D、P在同一条直线 上，分两种情况：当点P'在CD上时，在Rt△ADP中， DP1=CD-CP1=1,.AP1=√AD+(DP,')=√3+1下= √I0:当点P'在DC的延长线上时，在R△ADP中， DP5=CD+CP5=5,.AP=√AD+(DP2')=√3+5= √34.综上所述，当DP'⊥AB时，AP'=√10或√34. B 第3题解图 4.7例322 8行【解折1作△B的外接西，圆心为点0，BH1 CD于点H,.∠BHE=90°，BE是⊙0的直径，.0 是BE的中点，l1∥2，点A是L1上的定点，AB⊥L2于 点B,∠CAE=∠DBE=90°，AB为定值，点C、D分 别是1、L2上的动点，.∠ACE=∠BDE,在△ACE和 I∠ACE=∠BDE, △BDE中， AC=BD. ·.△ACE≌△BDE N∠CAE=∠DBE (ASA).:AE=BE=2AB..OH=OE=2 BE-AB, =OE4AE=-AB+)AB=AB,“点H在。 41 4 运动，当AH与⊙0相切时，∠BAH最大，AH⊥OH, 1 .∠OHA=90°，..sin∠BAH= OH AB 0A3 3 D 第5题解图 6.2√7-2【解析】点P在以BE为弦所对圆周角∠BPE =60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心0时，PD 有最小值，连接OE,OB,过O作OH⊥BE于H,过O作 OM⊥AD于M,.AE:EB=1:2,AB=3√3，.BE=2√3， 3.0E=0B.OH LBE,.EOH=RO ‘.0元L=Hd97乙=HO87·∴·06=OHf7`￡=49，= 0h50H= 六∠E0H=60°，lam∠E0H=an60°=E 1,.·∠0EH=90°-60°=30°，..P0=0E=20H=2,.·四 边形ABCD是矩形，.∠A=90°，：∠AM0=∠AH0= 90°，.四边形AH0M是矩形，.AM=OH=1,OM=AH= AE+EH 23,..DM AD-AM =5-1=4,..OD 解析·辽宁数学 27 √DM+0M=27,.PD=0D-0P=2√7-2..PD的 最小值是27-2. 第6题解图 例4907.B 8.12√3【解析】如解图，连接BD,取BD的中点N,连接 CN,AN,.AD=AB=6,∠BAD=60°，∴△ABD是等边三 角形D=6Sam= =AB=95,要使四边形 ABCD的面积最大，只需△BCD的面积最大..∠BAD +∠BCD=180°，.A,B,C,D四点共圆，∴.当CN⊥BD 时，△BCD取得最大面积，此时BN=DN=3,A、N、C三 点共线.∠DCV=60CN-00=厅，此时5 2D·CN=33四边形ABCD面积的最大值为 9W3+3√3=12√3. 第8题解图 例522-2 例6解：如解图，取MN的中点D,过点D作DP⊥OB于 P,以直径MW作⊙D,当⊙D与OB相切时，观景视角 ∠MPWN最大 MN=2OM=40m,点D是MN的中点， .∴.DM=DW=20m,∴.OD=40m, .∠AOB=30°，DP⊥OB, 0p 20D=203(m). B 例6题解图 专题八直线型几何最值模型 例1A1.C 2.B【解析】四边形ABCD是正方形，AD=AB, ∠DAB=∠ABC=90°，又.·AE=BF,.△ADE≌△BAF (SAS),∴.∠ADE=∠BAF,∴.∠DOF=∠ADO+∠DAO= ∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，·点M是DF的中点， OM=0F,如解图所示，作点G关于BC的对称点H, 连接h,Ba,DHh=C0N+宁G=号DP F=子(DF+HP)当D,R,H三点共线时.DP4Hr 有最小值，即此时0M+FC有最小值，最小值即为 28 参考答案与重为 DH长度的一半，.·AG=2GB,AB=6.BH=BG=2, AH=AB+BH=8,:AD=6,.在Rt△ADH中，DH= VaD+iF=10,0M:FG的最小值为5 第2题解图 例2√133.(-1,0)4.10例322-2 5.42【解析】如解图，过点F作FG⊥直线AD于G, ∠G=∠ADC=90°，：将CE绕点E逆时针旋转90°得 到EF,∴.EF=EC,∠FEC=90°，∴.∠FEG+∠CED= 90°，：∠CED+∠DCE=90°，∴.∠FEG=∠ECD,. △EFC≌△CED(AAS),∴.ED=FG,CD=EG,设ED长 为x,在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,.CD=3,AE=5 -x..EG=3,FG=x,..AG=AE+EG=5-x+3=8-x Rt△AFG中，由勾股定理可得，AG2+FG2=AFP,即 (8-x)2+x2=AF2,.AF2=2x2-16x+64,2x2-16x+64= 2(x-4)2+32,.AF2≥32，AF>0,.AF≥42，当x= 4,即DE=4时，AF取得最小值4√2，符合题意 B 第5题解图 636 2 【解析】如解图，连接AC交BD于点O,连接OW 延长交AD于点E,.∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD s、1 )AC=)BD,AD=BC,由勾股定理得AC √AB+BC=√32+(35)=6，.0A=0B=0C=0D= 24cs 2×6=3=AB,△0AB为等边三角形， ∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，.∠AOD=180°-∠A0B =180°-60°=120°，.·△AMN是等边三角形，.∠MAW =60°，AM=AN,.∠BAM=∠BA0-∠MA0=60°- ∠MAO,∠OAN=∠MAN-∠MA0=60°-∠MAO,. ∠OAN=∠BAM,在△OAN和△BAM中， (AO=AB, ∠OAN=∠BAM,∴.△OAN≌△BAM(SAS),.∴∠AOW AN=AM. =∠ABM=60°，ON=BM,.当点M在对角线BD上运 动时，点N在射线OE上运动，·∠DOW=∠AOD- ∠A0W=120°-60°=60°，.∠D0W=∠A0N,即0E平 分∠AOD,又OA=OD,OE⊥AD,且OE是AD边上 中线，当N与E重合时，DN取到最小值，最小值为DE 的长，DE= 0-c-3 1 33 2,DN4= 2 第6题解图 题解析·辽宁数学