专题一 遇到中点咋思考-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名目 二、模型分类提升练 专题一遇到中点咋思考 类型①遇到中点巧构中位线 三角形与中点 四边形对边中点 边中点 一顶点是中点 两顶点是中点 连对角线取中点 倍长构全等+中位线 例1多解法[2023沈阳改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,点D在AC上，AD= 1,过点D作DEAB交直线BC于点E,点O是线段BD的中点，连接OE,则OE的长为 汝思维教练 题眼：点O是BD的中点 思维构建 辅助线：过，点D作DF∥OE交BC于F 解码：中位线性质得DF=2OE,EF=BE 在△CDF中，∠C=90°，求得CD,CF可得解 类型②)》特殊三角形+中点的构造 等腰+底边中点→连接应 拓展：见到线段垂直平分线→连接得 直角+斜边中点→连接形成 用“三线合一” 等腰 斜边中线 A 连接AD 连接EG 连接CD B D C B D 例2[2023本溪改编]如图，线段AB=8,点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转 120°得到线段BD,连接CD,在AB的上方作Rt△DCE,使∠DCE=90°，∠E=30°，点F为DE的中 点，连接AF,则AF的最小值为 攻思维教练… 题眼①：∠DCE=90°，F是DE的中，点 辅助线与结论：连接CF,得CF=DF=EF 题眼②：BC绕点B顺时针旋转120°得到BD 思维构建 解码：BC=BD,∠CBD=120° 辅助线与结论：连接BF,得△CBF≌△DBF 点F的轨迹：在过，点B且和AB的夹角为60°的直线 上，当AF⊥BF时，AF取最小值 专项分类提升练·辽宁数学 19 类型③》遇到中点作全等 遇到中点+“X”形线→作平行（或倍长中线）》 平行线+中点→延长 平行+等线→连接 会会会会会 例3[2023丹东东港市期中]如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC,若∠DAB= 60°，CD=3,则AD的长度为 …攻思维教练 题眼①：∠B=∠C=90°，E是BC的中，点 解码：DC,AB和，点E构成“平行线+中点” 思维构建 辅助线与结论：延长DE,AB交于F,则△DCE≌△FBE 题眼②：∠B=∠C=90°，∠A=60°，DE平分∠ADC 解码：AB∥CD,得∠ADC=120°，进而得∠ADF=60 结论：△ADF是等边三角形，AD=DF=2DE=4DC ©针对训练 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为 D 第1题图 第2题图 2.[2024营口期中]如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=12,E为AD的中点，F为CD边上任意一点，G,H 分别为EF,BF的中点，则GH的长是 3.[2025朝阳一中二模]如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE,点F是AE的中 点，连接DF,若AB=4,DF=√5，则AE的长为 B 第3题图 备用图 4.多解法如图，在矩形ABCD中，点H为对角线AC的中点，点E,F分别在边AB,BC上，FC=8, AE=6,点G为EF的中点，则GH的长为 G G B B 第4题图 备用图 20 专项分类提升练·辽宁数学一战成名新中考 DE=AE,四边形ABFE是矩形，BF=AE=DE=√7， 4.(1)证明：略； ∠CEH=∠BFH,∠CHE=∠BHF,.△CHE ∽△BHF 2成的长为等。 BF FH 5.解：(1)∠DCE=45°： CE EH' 解得FH=3,∴.EF=FH+EH=7, (2)连接OA,过点A作AH⊥OD交D0的延长线于点 H,如解图，：AC=BC,.∠CAB=∠CBA,即∠CAE :BE=√EF+BF=2√14，.⊙0的半径为 BE 2 =∠CBD: =√14 AC=BC, 2.(1)证明：略； 在△AEC与△BDC中 ∠CAE=∠CBD, (2)解：作CF⊥AE于点F,如解图，则∠CFE=90, AE=BD. ∴.△AEC≌△BDC(SAS),CE=CD, ∴.∠CDA=∠CED, ,∠C0A=2∠CDA=180°-∠DCE=135°， .∠A0E=∠A0H=45°， .∠DOE=2∠DCE=90° .∠A0D=∠D0E+∠A0E=135, 第2题解图 又.CD=2W2,0C=0D,∠C0D=90°， ∠E=∠CAE=∠B,simB=C AB =sinE=CF_2 CE 3 :0c=0D=5cD=5x22=2, 2 2 .·0A=0B=6,.AB=12 2 2 2 2 AH=0A·sin45°=√2， .CE=CA=- AB=- ×12=8,∴.CF= -CE= -×8 3 3 .S阴端=S箭形OD一S△A0D= s16 36020D·AH=3m 135π×221 3 -2. .CF⊥AE,CA=CE, .AF=EF=√CE2-CFr= 3 AD=AE=24F=2x8,5_165 3 3 AD的长是16,5 3 3.(1)证明：略； 第5题解图 2)的长为号 6.解：(1)BC=63; (2)S阴带部分=6π 二、模型分类提升练 专题一遇到中点咋思考 例245例3121.422.5 例1 5 2 【解析】解法一：如解图①，取CE的中点M,连 3.2√3【解析】如解图，过点F作GH1AD分别交 AD,BC于点G,H,则四边形GDCH为矩形，.CH=GD, 接DM,DE∥AB,∠ACB=90°，AC=BC=3,AD=1, CD=GH,∠FGA=∠FHE=90°，：四边形ABCD是正方 ∠CDE=∠A=∠CBA=∠CED=45°，∴.CE=CD=2,.BE 形，.AB=BC=CD=4=GH,∠B=90°，F是AE的中 =1,CM=EM=CE=1BE=M,点0是线段BD的 点，.AF=EF,在△AFG与△EFH中 1∠AGF=∠EHF=90°， 中点，.0E= DM,在R△CDM中，DM=VCn+CD= ∠AFG=∠EFH, .△AFG≌△EFH(AAS),.AG AF=EF, √/+2=√5，.0E= √5 2 =H,6F=R=6H=2,在△GF中，DC DF2-CF2=1,..AG=EH=3,CH=DG=1,..CE=2, ∴.BE=6,在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE=2√3. 0< →B 例1题解图① 例1题解图② 解法二：如解图②，连接OC,过点O作ON1BC于点N, 同解法一得，CE=CD=2,·BE=1,∠ACB=90°，ON⊥ 2 CD= BC,.ON/AC,:点O是线段BD的中点，.ON=司 6-c:烟=6-2-分小在行得法一质注能收成的店 第3题解图 O,连接OH,OG,H为对角线AC的中点，点G为EF △0NE中，0B=V+g-√宁-号 的中点，∴.OH= r=4,0c=74E=3.0m/ac,0c/ 1 参考答案与重难题解析·辽宁数学 23 AB,.四边形ABCD是矩形，.∠HOG=90°，.GH= :∠ABC=90°，∠ABD+∠CBD=90°，：BD⊥AC, √32+4=5. ∠DBC+∠C=90°，.∠GBF=∠C,.tan∠GBF= 解法二：如解图②，连接EH并延长交CD于点M,'点 am∠4CB,即Sg-5-3,设GF=3x,则BC=4,则BF H是AC的中点，.AH=CH,:四边形ABCD是矩形， 'BC BC 4 AB∥CD,.∠EAH=∠MCH,又.·∠AHE=∠CHM,. =5x,AF平分∠BAC,FG⊥AB,FD LAC,GF=DF, △AEH≌△CMH(ASA),.AE=CM,EH=MH,∴.H为 BFBF5x5 EM的中点，连接FM,点G为EF的中点，GH为 FD GF 3x 3 △EFM的中位线，FC=8,CM=AE=6,.FM= 解法二：如解图②，过点F作FG∥AC交AB于G,由AE V8+6=10,GH=FM=5. 平分∠BAC得AG=GF,易证△CFB△ABC,得BG:GF =5:3 BG:AG=BF:DF=5:3. 图① 图② 第4题解图 图① 图② 专题二遇到角平分线咋思考 例1B例2240 第3题解图 1.35【解析】解法一：如解图①，过点F作FG⊥AB于 18 4. 【解析】解法一：如解图①，延长CE交DA的延长 点G.由作图知，BF平分∠CBA,.:FC⊥BC,FG⊥AB, .FG=FC=3,在Rt△AFG中，AF=5,FG=3,.AG=4. 线于G,作DH⊥CF于H,:DC=DF,CH=FH,AD :∠FAG=∠BAC,∠FGA=∠BCA=90°，.△AFG △MBcf646即3-4 BC,△AGE△BCE,氏AC-5AB=8,AE=3, 「BCAC,即BC5+3,解得BC=6,在R△BCF 、BC=4BE=5Ag=5AC=5∠B=90°DH 中，勾股定理得BF=35 解法二：如解图②，过点C作CH∥BF交AB延长线于 ⊥BC,AB∥DH,AD∥BC,.四边形ABHD是矩形， 点H,则∠ABF=∠H,∠FBC=∠BCH,由作图知，BF平 .AD=BH=BC+CH=4+CH,.·∠BCE=∠DCE,DG∥ 分∠CBA,.∴∠ABF=FBC,∴.∠BCH=∠H,∴.BH=BC BC,∴.∠DGC=∠BCG=∠DCG,∴.DC=DG=AD+AG=4 AF AB 5 CH/BFCP8册3，可设BH=BC=3a,AB=5a, +CH+2-32+CH.在R△DCH中，由勾股定理得CHP+ 55 AC=CF+AF=8,.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB =AC2+BC2,即(5a)2=82+(3a)2,解得a=2(负值已舍 8-(Ch+号解得ch- 5Cf=18 去)，.BC=6,在Rt△CBF中，由勾股定理得BF= 解法二：如解图②，作CG⊥CE交AD的延长线于G,作 35. GM⊥BF交BF的延长线于M,作DH⊥CF于H,. 解法三：如解图①，过点F作FG⊥AB于点G,由BF平 1 ∠ABC=90°，∴.DHMG∥AB,AD/BM,.四边形DG BC·CF S△Bc 2 MH和四边形ABHD都是矩形，.DG=MH,MG=DH= 分∠ABC得FG=FC,由 CF得BC S△B1 AB=8..·∠ECB+∠BEC=∠ECB+∠MCG=90°，∴. AB·FG 2 ∠BEC=∠MCG,.'∠EBC=∠CMG,∴.△EBC∽ CF 3 AF5,后同解法二 △CMG,. CMGMCM8CM=10.LBCE= BE=BC即5=4 ∠DCE,∠BCE+∠MCG=∠DCE+∠DCG=90°，. ∠DCG=∠MCG,.DG∥BM,.∠DGC=∠GCM= ∠DCG,.DC=DG=HM=10-CH,在Rt△DCH中，由勾 股定理得CH+8=(10-CW)GH=号DC=Dr, 18 DH⊥CF,∴.CH=FH,.CF=2CH= 图② 第1题解图 H 2.C 图① 图② 3.A【解析】解法一：如解图①，过点F作FG⊥AB于G, 第4题解图 24 参考答案与重难题解析·辽宁数学