7.4.2 超几何分布（教学课件） 数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布列 7.4.2 超几何分布 ·人教A版 · 选择性必修第三册· 学习目标 理解超几何分布概念, 能够判定随机变量是否服从超几何分布; 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率; 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值. 目录 CATALOG 01. 情境导入 03. 题型强化训练 02. 超几何分布 04. 小结及随堂达标检测 7.4.2 超几何分布 01 情景引入 问题 已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 思考： 采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布？ 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). “有放回”与“不放回”抽样的不同 创设背景，引入新知 问题 已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. “有放回”与“不放回”抽样的不同 追问： 如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？ 若不服从，那么X的分布列是什么？ 不服从二项分布，服从本节课将要学习的超几何分布 创设背景，引入新知 02 超几何分布 7.4.2 超几何分布 问题 已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 思考： 随机变量X的所有可能值有哪些？可以用什么方法求 可能的取值为0，1，2，3，4. 可以用古典概型求 探究新知 8 问题 已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. X 0 1 2 3 4 解析 所求随机变量的分布列为： 探究新知 9 定义 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中不放回地随机抽取件,用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 若随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从超几何分布. 探究新知 10 公式中个字母的含义 N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 辨析 事件“由较明显的两层次组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； 不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”； 探究新知 11 练1 牛刀小试 例4： 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解析 设表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则服从超几何分布，且，，. 因此甲被选中的概率为. 容易发现，每个人被抽到的概率都是. 这个结论非常直观， 这里给出了严格的推导. 应用新知 13 例5： 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解析 应用新知 14 练2 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，求抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； 解析 设抽到他能背诵的课文的数量为，则 所以， ，， 所以的分布列为： 2 3 牛刀小试 03 超几何分布的均值 7.4.2 超几何分布 思考： 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 探究新知 17 探究新知 18 结论 假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中不放回地随机抽取件,用表示抽取的件产品中的次品数,则： 探究新知 19 练3 解析 牛刀小试 练4 解析 牛刀小试 04 应用新知 7.4.2 超几何分布 例6： 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 分析 因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，X～B(20,0.4)； 而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布． 应用新知 23 解析 (2) 利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下 表所示. 应用新知 24 解析 应用新知 25 解析 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近． 应用新知 26 解析 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同． 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似． 应用新知 二项分布与超几何分布区别和联系 1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的 模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样. 2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可 视其为二项分布. 应用新知 05 题型强化练习 7.4.2 超几何分布 题型一 超几何分布的判断 例题1 题型强化练习 题型一 超几何分布的判断 解析 题型强化练习 题型二 求超几何分布的分布列、均值与方差 例题2 解析 题型强化练习 题型二 求超几何分布的分布列、均值与方差 例题2 解析 题型强化练习 题型二 求超几何分布的分布列、均值与方差 例题2 总结 求解超几何分布均值问题的注意事项： (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)如果X服从超几何分布，其均值可以用公式E(X)＝求解，也可以用E(X)的定义求解． 题型强化练习 题型三 二项分布与超几何分布的综合应用 例题3 题型强化练习 题型三 二项分布与超几何分布的综合应用 解析 题型强化练习 题型三 二项分布与超几何分布的综合应用 解析 题型强化练习 06 小结及课后作业 7.4.2 超几何分布 超几何分布 课堂小结 作业1：完成教材：第80页 练习第1,2题. 作业2：配套辅导资料对应的《超几何分布》.  作业布置 40 07 随堂达标测验 7.4.2 超几何分布 ACD 解 随堂达标测验 B 解 随堂达标测验 解 随堂达标测验 解 随堂达标测验 解 随堂达标测验 08 课后练习答案 7.4.2 超几何分布 (练习第80页) 1．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2 罐，求这2罐中有奖券的概率． 解： 因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐， 课后练习答案 2．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲 班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选 到的概率． 解： 课后练习答案 3．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子． 解： 例1：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布． 例2：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布． 课后练习答案 THANKS 本节课结束 (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的数为随机变量X D.从10名男生,5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X 依据超几何分布模型定义可知， 试验必须是不放回地抽取 次， A、B、D中随机变量X服从超几何分布. 而C中显然不能看作一个不放回抽样问题， 故随机变量X不服从超几何分布. 故选：ABD 从 名女生和 名男生中任选 人参加英语演讲比赛，设随 机变量 表示所选 人中男生的人数． (1)求 的分布列； (2)求 的均值与方差． (1) 可能取的值为 ， ， ， 且 , , ， 所以 的分布列为 从 名女生和 名男生中任选 人参加英语演讲比赛，设随 机变量 表示所选 人中男生的人数． (1)求 的分布列； (2)求 的均值与方差． (2) ， ． 从 名女生和 名男生中任选 人参加英语演讲比赛，设随 机变量 表示所选 人中男生的人数． (1)求 的分布列； (2)求 的均值与方差． 为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. (1)设甲,乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件A与事件B， 则 ， ； 所以 ； (2)设甲教师得分数为 ,则答对题数为 ,有 ,故 , , 设乙教师得分数为 ,则 的可能取值为 , , ， , , , 则 , , 由 , ,则乙老师更为稳定,故选择乙老师. 由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为 件的两类物品，其中一类有 件，从所有物品中任取 件，这 件中所含这类物品的件数 是一个离散型随机变量，它取值为 时的概率为 （ ， 是 和 中较小的一个），∴B错误；C、D正确. 故选：ACD 1．关于超几何分布下列说法正确的是（     ） A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以只有一类物品 C．超几何分布中的参数是N,M,n D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 由题意知10件产品中有2件次品, 故所求概率为P(X＝1)＝ ＝ ． 故选：B 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A． B． C． D． 由题意， ， 且 ， ， ， ∴ . 故答案为： 3．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝ . (1)由题意得：取出的 个球都是白球时，随机变量 ，即： ，解得： (2)由题意得： 所有可能的取值为： 则 ； ； 箱中装有4个白球和 个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一 个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随 机变量 为取出的3个球所得分数之和. (1)若 ，求 的值； (2)当 时，求 的分布列. ； . 的分布列为： 箱中装有4个白球和 个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一 个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随 机变量 为取出的3个球所得分数之和. (1)若 ，求 的值； (2)当 时，求 的分布列. $