重难拓展03 平面向量三大解题技巧：极化恒等式、矩形大法、等和线讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

重难拓展 平面向量三大解题技巧：极化恒等式、矩形大法、等和线讲义 知识梳理 （一）极化恒等式 1. 基本原理与公式（熟记） 向量通用形式：对任意平面向量 、，有： ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算。 ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： 2. 适用场景 ①无夹角、无坐标背景下的向量数量积计算； ②涉及中点、中线、线段中点的向量问题； ③求动点到两定点向量数量积的最值（结合轨迹分析）； ④三角形、平行四边形中长度与数量积的互化。 （二）矩形大法 1. 基本原理与公式（熟记） ①矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”。 ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系。 2. 适用场景 ①多个向量模长平方和的计算或最值问题； ②平行四边形、矩形、直角三角形相关的向量问题； ③动点到四个定点距离平方和的优化求解； ④可构造矩形（含直角）的向量模长转化。 （三）等和线 1. 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 （ 为常数）的点 构成的直线称为“等和线”。 核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 。 2. 适用场景 ①向量线性分解中“系数和 ”的求值或最值； ②线性规划与向量结合的问题； ③动点在定直线上的向量分解系数求解； ④三角形、多边形内动点的向量系数和范围问题。 典例精讲 模块一：极化恒等式的应用 典例1已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 变式1在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 模块二：矩形大法的应用 典例2在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 变式2在四边形中，，，则的最小值为 . 模块三：等和线的应用 典例3如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 变式3如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【核心解题技巧】 （1）极化恒等式 优先构造中点：遇到数量积问题，先找线段中点（尤其是已知中点、中线时），直接套用三角形或线段中点模型； 补形转化：无中点时，可补成平行四边形，利用平行四边形对角线关系转化； 最值求解：将数量积转化为“中点到动点的距离平方减定值”，结合动点轨迹（圆、直线、线段）求最值； 真题速用：涉及“动点到两定点向量数量积”，直接用 （ 为 中点）。 （2）矩形大法 构造矩形：遇到直角、对角线、模长平方和，优先补成矩形（含直角的三角形可补成矩形）； 恒等式变形：灵活运用 ，将未知模长平方和转化为已知量； 最值技巧：动点到四顶点距离平方和的最小值为对角线平方和（当动点为对角线交点时）； 拓展应用：平行四边形中可直接套用矩形恒等式，无需严格矩形。 （3）等和线 基底固定：选择不共线的向量作为基底（如 、），统一向量分解形式； 等和线定位：根据动点轨迹确定等和线，与基底所在直线平行； 系数和计算：利用相似三角形或距离比求等和线对应的 值； 最值策略：平移等和线，过图形边界顶点时取得系数和的最值。 【易错提醒】 极化恒等式： （1）中点对应错误：误将“”对应非 中点的线段，需牢记“对边中点”原则； （2）符号失误：向量方向颠倒（如 与 符号相同，因平方后不影响）； （3）轨迹忽略：求最值时未考虑动点轨迹范围（如半圆、线段），导致结果失真。 矩形大法： （1）构造错误：非直角图形强行补成矩形，应优先判断是否为平行四边形或可构造直角； （2）恒等式滥用：将矩形恒等式用于非平行四边形图形，导致模长关系错误； （3）计算疏漏：模长平方和计算时遗漏系数（如矩形对角线平方和为邻边平方和的2倍）。 等和线： （1）基底共线：选择共线向量作为基底，导致等和线无意义； （2）等和线平行性错误：误将非平行于基底所在直线的直线当作等和线； （3）系数和符号：忽略等和线在原点另一侧时系数和为负，导致范围遗漏。 1．在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 2. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 3. 已知向量，满足，，则=（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．已知圆的半径为2，AB是圆的一条直径，平面上的动点满足，则当不在直线AB上的时候，的面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 5. 已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 9．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 10．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 11．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 14. 在中，，点为与的交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 15．已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A． B． C． D． 17．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 18．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 19．如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 22. 已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 23．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 . 24. 如图，已知为矩形内的一点，满足，，，则的值为 ． 25. 在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 26. 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是________． 27. 如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .    28．如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则 . 29. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是 ． 30．已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 31．如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是 ．    32. 在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ． 33. 在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 . 34．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 . 35. 如图所示，若四边形为矩形，为矩形所在平面内任一点，请证明：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难拓展 平面向量三大解题技巧：极化恒等式、矩形大法、等和线讲义 知识梳理 （一）极化恒等式 1. 基本原理与公式（熟记） 向量通用形式：对任意平面向量 、，有： ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算。 ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： 2. 适用场景 ①无夹角、无坐标背景下的向量数量积计算； ②涉及中点、中线、线段中点的向量问题； ③求动点到两定点向量数量积的最值（结合轨迹分析）； ④三角形、平行四边形中长度与数量积的互化。 （二）矩形大法 1. 基本原理与公式（熟记） ①矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”。 ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系。 2. 适用场景 ①多个向量模长平方和的计算或最值问题； ②平行四边形、矩形、直角三角形相关的向量问题； ③动点到四个定点距离平方和的优化求解； ④可构造矩形（含直角）的向量模长转化。 （三）等和线 1. 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 （ 为常数）的点 构成的直线称为“等和线”。 核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 。 2. 适用场景 ①向量线性分解中“系数和 ”的求值或最值； ②线性规划与向量结合的问题； ③动点在定直线上的向量分解系数求解； ④三角形、多边形内动点的向量系数和范围问题。 典例精讲 模块一：极化恒等式的应用 典例1已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【解析】解：设的中点为D，则． 因为，所以． 因为等边的边长为2，则，所以． 所以． 故选：B. 变式1在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】结合向量数量积的运算律可得，代入计算，即可得到结果. 【解析】 取AB的中点Q，， 因为，所以AB边上的高为，所以，从而． 故选：A 模块二：矩形大法的应用 典例2在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 【解析】把直角三角形ABC补成矩形 易知，所以 故 故选D 变式2在四边形中，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】构造正方形和圆弧，根据矩形恒等式可知，，数形结合得到最小值. 【解析】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形恒等式可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 故答案为： 模块三：等和线的应用 典例3如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 变式3如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【解析】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 【核心解题技巧】 （1）极化恒等式 优先构造中点：遇到数量积问题，先找线段中点（尤其是已知中点、中线时），直接套用三角形或线段中点模型； 补形转化：无中点时，可补成平行四边形，利用平行四边形对角线关系转化； 最值求解：将数量积转化为“中点到动点的距离平方减定值”，结合动点轨迹（圆、直线、线段）求最值； 真题速用：涉及“动点到两定点向量数量积”，直接用 （ 为 中点）。 （2）矩形大法 构造矩形：遇到直角、对角线、模长平方和，优先补成矩形（含直角的三角形可补成矩形）； 恒等式变形：灵活运用 ，将未知模长平方和转化为已知量； 最值技巧：动点到四顶点距离平方和的最小值为对角线平方和（当动点为对角线交点时）； 拓展应用：平行四边形中可直接套用矩形恒等式，无需严格矩形。 （3）等和线 基底固定：选择不共线的向量作为基底（如 、），统一向量分解形式； 等和线定位：根据动点轨迹确定等和线，与基底所在直线平行； 系数和计算：利用相似三角形或距离比求等和线对应的 值； 最值策略：平移等和线，过图形边界顶点时取得系数和的最值。 【易错提醒】 极化恒等式： （1）中点对应错误：误将“”对应非 中点的线段，需牢记“对边中点”原则； （2）符号失误：向量方向颠倒（如 与 符号相同，因平方后不影响）； （3）轨迹忽略：求最值时未考虑动点轨迹范围（如半圆、线段），导致结果失真。 矩形大法： （1）构造错误：非直角图形强行补成矩形，应优先判断是否为平行四边形或可构造直角； （2）恒等式滥用：将矩形恒等式用于非平行四边形图形，导致模长关系错误； （3）计算疏漏：模长平方和计算时遗漏系数（如矩形对角线平方和为邻边平方和的2倍）。 等和线： （1）基底共线：选择共线向量作为基底，导致等和线无意义； （2）等和线平行性错误：误将非平行于基底所在直线的直线当作等和线； （3）系数和符号：忽略等和线在原点另一侧时系数和为负，导致范围遗漏。 1．在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的数量积公式及运算律计算即可. 【解析】已知，所以， 因为为的中点，所以 且，则. 故选：B. 2. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 3. 已知向量，满足，，则=（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】由平行四边形模型得 4．已知圆的半径为2，AB是圆的一条直径，平面上的动点满足，则当不在直线AB上的时候，的面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量加法运算，结合数量积的运算律求出长，即可求出三角形面积的最大值. 【解析】依题意，， 即有，因此，点到直线AB距离的最大值为1， 所以面积的最大值为. 故选：D 5. 已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示,设的中点为,则,两式平方相减，所以（可由极化恒等式直接得出）， 即，所以,由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得，故选:D 6．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【解析】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 7．在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中线以及数量积的运算律可得，进而可得结果. 【解析】由题意可知：， 因为， 可得， 又因为点P在斜边的中线上，则， 所以. 故选：A. 8．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，，根据向量的线性运算计算向量并计算，同理计算， 根据不等关系可得出对于边上任意一点都有，从而确定，从而得到结果. 【解析】取的中点，的中点，连接，（如图所示），    则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即为钝角三角形. 故选：A． 9．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助中点Q和平方差公式得，再探究PQ的最大值即可. 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 10．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值. 【解析】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 11．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点为，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果. 【解析】根据题意，连接，取中点为，作图如下： ， 在三角形中，由余弦定理可得：，即， 则，故， 显然当且仅当时，取得最小值， 故，的最小值为. 即的最小值为. 故选： 12．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，利用即可求解. 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 13．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【解析】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 14. 在中，，点为与的交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即， 三点共线， 可得， 所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 15．已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点 落在 的内部，所以 ， 两点在直线 的同一侧，所以由推广知， ，所以 .故选D. 16．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可． 【解析】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界 所以取开区间，即 所以选B 17．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可. 【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则， 于是得，而，且与不共线， 则，即有，因此，， 当且仅当时取“=”，此时M为BC中点， 所以的最小值为. 故选：C 18．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】用和表示，根据E、O、F三点共线可得，利用和基本不等式可求的最小值，再根据的最小值为3即可求出t的值． 【解析】， ∵E、O、F三点共线，∴， ∵m>0，n>0，t>0， ∴， 当且仅当时取等号， ∴． 故选：B． 19．如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围. 【解析】 如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且.， 由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， 的取值范围为. 故选：B 20．如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【解析】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 21．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【解析】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：    (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 22. 已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 【答案】. 【解析】记线段的中点为，点到直线的距离为， 则有，解得， 由极化恒等式可得： . 23．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【解析】在中，由，得， 由点在斜边的中线上，得， 得. 故答案为： 24. 如图，已知为矩形内的一点，满足，，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由矩形大法知：，由余弦定理得，所以 25. 在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，依题意，，因的最小值为3，则的最小值为2，因此，在中，，，在中，，，所以 26. 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是________． 【答案】[39,55] 【解析】由向量极化恒等式知 ·＝||2－||2＝||2－9. 又△ABC是边长为8的等边三角形， 所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8. 当点P位于AC的中点时，||取最小值， 即||min＝8sin ＝4， 所以||的取值范围为[4，8]， 所以·的取值范围为[39,55]． 27. 如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .    【答案】 【分析】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可. 【解析】 在上取一点，使得，取的中点，连接，， 如图所示： 则，，， ，即. ， 当时，取得最小值，此时， 所以. 当与重合时，，， 则， 当与重合时，，， 则， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 28．如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则 . 【答案】/1.1875 【分析】利用极化恒等式将化简成含有半径的式子，即可转化成的形式，可得结果. 【解析】设圆的半径为， 由题意得 ， 且 ，， 所以，所以. 故答案为： 29. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是 ． 【答案】9 【解析】在平面四边形中，O为BD的中点，且， 若， 则 ， ，， . 30．已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义，虽夹角不变，但长度时刻变化，导致数量积不易求，观察发现为定线段，可用极化恒等式转化． 【解析】如图，取中点为，连结． 由条件可知， ． 因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值， 所以，所以． 故答案为： 31．如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据题意解，设中点为，利用极化恒等式可得，接着用余弦定理求的范围即可. 【解析】设中点为，，，， ， 则， 设， ， 所以. 故答案为：. 32. 在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ． 【答案】 【解析】设， ∵在平行四边形中，为的中点，在线段上，且， ∴， ∵，均为实数，， ∴， ∴，解得:， ∴． 33. 在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 . 【答案】[0,1] 【解析】 由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 34．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 . 【答案】4 【解析】试题分析： 35. 如图所示，若四边形为矩形，为矩形所在平面内任一点，请证明：。 【解析】证明： 所以。 学科网（北京）股份有限公司 $