难点06 新定义综合题几何与函数（4大题型）（重难专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

难点06 新定义综合题几何与函数 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 函数与几何 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中新定义综合题的主要考向分为两类： 一、函数与圆综合（每年1道，1分）； 二、函数与三角形四边形综合（每年1题，7分）； 考查内容稳定，以解答题为主，难度较大． 预测考查方向： 结合切线：当直线与圆相切时，求k的值 结合参数范围：给定k的取值范围，求圆半径或点坐标的取值范围结合直线与圆的位置关系：探究直线与圆有公共点且满足k的条件时，参数b的取值范围。 重●难●要●点●剖●析 题型1 一次函数与圆综合 考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 1．（2024·北京东城汇文中学·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． (1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； (3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 3．（2025·北京五十中·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为y轴上一点，P为平面上一点，给出如下定义：若在上存在一点Q，使得是等腰直角三角形，且，则称点P为的“等直点”，为的“等直三角形”． (1)如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数． ①当时，在点A，B，C，D中，的“等直点”是__________； ②当时，若是的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值； (2)若直线上存在的“等直点”，直接写出t的取值范围． 4．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”． 　　　　 (1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________； (2)求点的“隐圆线段”长的最大值； (3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围． 5．（2025·北京门头·一模）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”． (1)如图1，如果点，， ① 在点，，中，点的“相称点”的是________； ② 点的“相称点”与点的距离最小值是_______． (2)如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围． 6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 题型2 一次函数与三角形四边形综合 主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 8．（2023·北京西城·一模）平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在一点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称点与图形是“中心轴对称”．对于图形和图形，若图形和图形分别存在点和点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称图形和图形是“中心轴对称”的．特别地，对于点和点，若存在一条经过原点的直线，使得点与点关于直线对称，则称点和点是“中心轴对称”的． （1）如图1，在正方形中，点，点， ①下列四个点，，，，，中，与点是“中心轴对称”的是 　　； ②点在射线上，若点与正方形是“中心轴对称”的，求点的横坐标的取值范围； （2）四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，若线段与四边形是“中心轴对称”的，直接写出的取值范围． 9．（2023·北京清华附中·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．已知，．    (1)在，，，中，线段的“关联点”是___________； (2)若点在第二象限且点是线段“关联点”，求线段长度的取值范围； (3)已知正方形边长为1．以为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点，在线段上（在的下方）．若正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，直接写出的取值范围． 10．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点C是第一象限内的一点，且，抛物线经过两点，与x轴的另一交点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2023·北京二中教育集团·模拟）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．    (1)已知，若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标； (2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围． 12．（2024·北京十一晋元中学·一模）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； (2)点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 题型3 二次函数综合 考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键. 13．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点． （1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______． （2）求此二次函数的关系式． （3）当时，求二次函数的最大值和最小值． （4）点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时m的取值范围． 14．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点． (1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点； (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式； (3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围． 15．（2025·北京燕山·二模）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 16．（2025·北京十三中分校·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，，． (1)当时，求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）． (2)若点，都在抛物线上，则 （填“”“”或“”）； (3)将抛物线在之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，若都有，求t的取值范围． 17．（2025·北京二中·一模）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点． (1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围． 18．（2025·北京清华附中·二模）研究发现，抛物线上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH. 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线的关联距离；当时，称点M为抛物线的关联点. （1）在点，，，中，抛物线的关联点是_____ ； （2）如图2，在矩形ABCD中，点，点， ①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围； ②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点，则t的取值范围是________. 题型4 反比例函数综合 主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数是解题的关键． 19．（22-23九下·北京通州·一模）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 20．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 21．（2025·北京平谷·二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点，点，连接．如果线段上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段的“环绕点”． (1)已知点，，，则是线段的“环绕点”的点是 ； (2)已知点在反比例函数的图象上，且点P是线段的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围； (3)已知上有一点P是线段的“环绕点”，且点，求的半径r的取值范围． 22．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 23．（2022·北京三帆中学·模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出关于的方程的解； (3)当时，求的取值范围． 24．（2024·北京平谷·二模）已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：50分钟） 1．在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． (1)如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； (2)已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (3)点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 难点06 新定义综合题几何与函数 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 函数与几何 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中新定义综合题的主要考向分为两类： 一、函数与圆综合（每年1道，1分）； 二、函数与三角形四边形综合（每年1题，7分）； 考查内容稳定，以解答题为主，难度较大． 预测考查方向： 结合切线：当直线与圆相切时，求k的值 结合参数范围：给定k的取值范围，求圆半径或点坐标的取值范围结合直线与圆的位置关系：探究直线与圆有公共点且满足k的条件时，参数b的取值范围。 重●难●要●点●剖●析 题型1 一次函数与圆综合 考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 1．（2024·北京东城汇文中学·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、； (2)； (3)． 【来源】2024年北京市东城区汇文中学中考一模数学试题 【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合． （1）根据定义验证可得结果； （2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果； （3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，是的“倍弦线”， 与不相交，， 和不是的“倍弦线”， 故答案为：、； （2）解：如图2， 以为圆心，3 为半径画圆交直线于和， ， ； （3）解：如图3， 以为圆心，2为半径画圆，直线与相切， 此时， 以为圆心，1为半径作，直线与相切， 此时， ． 2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． (1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； (3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)的最大值为， 【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解； （2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解； （3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 则平移后经过点，则是弦的“伴随点” 故答案为：； （2）解：的弦，的半径为． ∴是等边三角形， 设 则 ∴在的圆环内 如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于， 则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合）， 由于与轴的夹角为 ∴的横坐标为，的横坐标为， 同理可得的横坐标为，的横坐标为 ∴或 （3）解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦， 线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦， 当经过的的切点时，取得最小值， 当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值， ∵点在上， ∴的最大值为 ∴, ∴的最大值为 ∴， ∵，, 即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号， ∴ 3．（2025·北京五十中·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为y轴上一点，P为平面上一点，给出如下定义：若在上存在一点Q，使得是等腰直角三角形，且，则称点P为的“等直点”，为的“等直三角形”． (1)如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数． ①当时，在点A，B，C，D中，的“等直点”是__________； ②当时，若是的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值； (2)若直线上存在的“等直点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①A、B、D， ② (2)或 【详解】（1）解：①如图，，，是等腰直角三角形，在上，故A、B、D为“等直点”， 故答案为：A、B、D； ②如图，依题意作的“等直三角形”， ∴，， 过Q点作轴，交y轴于M点，过点P作于H点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴=． （2）解：如图③，为的“等直三角形”，当点T在y轴的负半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆， ∴观察图形可知，当或时，与直线相切， 那么，或； 观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”； 如图④，为的“等直三角形”，当点T在y轴的正半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，， 同理可证， ∴， ∵， ∴， 则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆， ∴当或时，与直线相切， 那么，或； 观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”， 综上所述，t的取值范围为：或． 4．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”． 　　　　 (1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________； (2)求点的“隐圆线段”长的最大值； (3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)和 (2)3 (3) 【来源】2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷 【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到或．由中心对称得到点D是线段的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，则，由三角形中位线的性质得到，因此点D在以点为圆心，半径的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答； （3）由（2）可知点D在上运动，又直线过点B，因此，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，则．根据相似三角形的判定及性质，待定系数法分别求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1， ∴或． ①当点C为时， ∵点绕点旋转后得到点， ∴点D是线段的中点， ∵， ∵线段轴于点， ∴， ∴． ②当点C为时， ∵点绕点旋转后得到点， ∴点D是线段的中点， ∵， ∵线段轴于点， ∴， ∴． 综上所述，点A的“隐圆线段”长为或． （2）解：连接，取的中点，连接， ∵， ∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴， ∴点D在以点为圆心，半径的圆上运动， ∴， ∴的最大值为， 即点的“隐圆线段”长的最大值为3． （3）解：由（2）可知点D在上运动， 又点的“隐圆线段”所在直线为， ∴直线过点B， ∴如图，过点B作的切线，切点分别为点M，N， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴． ①连接，过点E作轴，交于点F，过点F作轴于点G， 由（2）有，， ∴在中，， ∵，轴， 轴， ∴， 设，则， ∵轴， ∴， ∵与相切于点M ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴把点，代入直线的解析式，得 ，解得． ②连接，过点E作轴，交于点H，交于点K， ∴，，， ∵，是的切线， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴把点，代入直线的解析式，得 ，解得． 综上，． 5．（2025·北京门头·一模）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”． (1)如图1，如果点，， ① 在点，，中，点的“相称点”的是________； ② 点的“相称点”与点的距离最小值是_______． (2)如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围． 【答案】(1)① ，；   ② (2)或 【来源】2025年北京市门头中考数学一模试卷 【分析】（1）①根据翻折，中点坐标的计算得到，可得在上，进而可得，，符合题意，即可求解； ②根据两点之间距离公式得到，当时，，由此即可求解； （2）在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，进而可得的轨迹为以为圆心，半径为与的圆环，进而根据等边的边长均为，点，找到临界点，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，将点沿直线翻折后得到点，则，将点沿直线翻折后得到点，则， ∵ ∴在上， ∵，在上， ∴点的“相称点”的是，； 故答案为：，；． ②点， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：； （2）解：如图 在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点， 先将固定，在上运动，随之运动，连接并延长至使得，连接，则，即在为圆心，半径为的上运动， 当点在上运动，则在以为圆心，半径为与的圆环内运动，如图， ∵边上存在点的“相称点”， ∴的边与圆环有交点， 如图，当与3为半径的外切时，设切点为，则切点坐标为， ∵等边的边长均为，， ∴， ∴， 当在为半径的上时，， 当在为半径的上时，，则，此时， 当在为半径的上时，， 随着点的移动，可得，或． 6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， ，， 点在上，点在上， 点是的“赋能点”， ，， 点不在上，也不在上， 点不是的“赋能点”， 综上所述，的“赋能点”是． 故答案为：． ②直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， 直线上存在点，使点为的“赋能点”， 直线与或有交点， 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 连接、，则有， ， 又， ， ， ， ， 点在直线上， ， ； 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 同理可得，， 点在直线上， ， ； 的取值范围为． （2）解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， 线段上存在点，使点为的“赋能点”， 线段与或有交点， 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 结合图象得，的取值范围为． 题型2 一次函数与三角形四边形综合 主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）；（2）①4；② 【详解】解：（1）如图1中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上 根据菱形的性质可知，点能够成为点M、P的“极好菱形”顶点； （2）①如下图： ∵ ∴ ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形． ∴ ②如下图： ∵ ∴， ∵四边形MNPQ的面积为8， ∴，即 ∴， ∵四边形MNPQ是菱形， ∴ 作直线，交x轴于A， ∵ ∴OM=， ∴OE=2， ∵M和P在直线上， ∴∠MOA=45°， ∴△EOA是等腰直角三角形， ∴EA=2， ∴A与N重合，即N在x轴上， 同理可知：Q在y轴上，且 由题意得：四边形MNPQ与直线有公共点时，的取值范围是． 8．（2023·北京西城·一模）平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在一点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称点与图形是“中心轴对称”．对于图形和图形，若图形和图形分别存在点和点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称图形和图形是“中心轴对称”的．特别地，对于点和点，若存在一条经过原点的直线，使得点与点关于直线对称，则称点和点是“中心轴对称”的． （1）如图1，在正方形中，点，点， ①下列四个点，，，，，中，与点是“中心轴对称”的是 　　； ②点在射线上，若点与正方形是“中心轴对称”的，求点的横坐标的取值范围； （2）四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，若线段与四边形是“中心轴对称”的，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，②（2）或 【详解】解：解：（1）如图1中， ∵，，， ∴，与点是“中心轴对称”的． 故答案为，； ②如图2中， 以为圆心，为半径画弧交射线于，以为圆心，为半径画弧交射线于． 易知，，，， 观察图象可知满足条件的点的横坐标的取值范围：； （2）如图3中，设交轴于． 当一次函数与圆心为，半径为的圆相切时，， 当一次函数经过点时，． 观察图象结合图形和图形是“中心轴对称”的定义可知，当时，线段与四边形是“中心轴对称”的； 根据对称性可知：当时，线段与四边形是“中心轴对称”的． 综上所述，满足条件的的取值范围：或． 9．（2023·北京清华附中·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．已知，．    (1)在，，，中，线段的“关联点”是___________； (2)若点在第二象限且点是线段“关联点”，求线段长度的取值范围； (3)已知正方形边长为1．以为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点，在线段上（在的下方）．若正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：如图，∵， 设直线的解析式为 解得 ∴直线的解析式为 在，，，中，在直线上，不符合定义， 如图，当点平移到，点平移到，则，四边形是平行四边形， ∵，，向左平移4个单位，再向下平移1个单位， 将点向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到，则点在上， 同理可得在上，不在上， 综上所述，线段的“关联点”是 故答案为： （2）由（1）可知，线段的“关联点”在直线上， 设直线的解析式为 解得 ∴直线的解析式为 设直线与坐标轴交于点，如图， 令，得， 令，得 ∵点在第二象限且点是线段的“关联点”， ∴在线段上，不包括端点， 设到的距离为，则 ∴ （3）依题意，正方形在直线与之间运动时，正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”， ∵，正方形边长为1， ∴，，， 如图，当点位于上时，此时 解得 如图，当点在上时， 解得， 根据（1）中，当与共线时，不符合定义， ∴当正方形的与有交点时，不符合题意， ①当在直线上时，， ∵直线的解析式为 ∴ 解得： ②当在直线上时，， ∵直线的解析式为 ∴ 解得： 结合图形可知：当正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，或． 10．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点C是第一象限内的一点，且，抛物线经过两点，与x轴的另一交点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）AB∥CD，证明见解析；（3）点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（-1）． 【来源】2024年北京市东城区中考一模数学试卷 【分析】（1）求得点C的坐标，应用待定系数法即可求得抛物线的解析式． （2）根据勾股定理求出AC，CD，AD的长，从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD． （3）由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．据此列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）． 过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA． ∴ OA=CE=2，OB=AE=1． ∴ 点C的坐标为（3,2）． 将点A(2，0)，点C(3，2)代入， 得，，解得． ∴二次函数的解析式为． （2）AB∥CD．证明如下： 令，解得． ∴ D点坐标为（7,0）． 可求． ∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°． 又∵∠BAC=90°， ∴ AB∥CD． （3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等． ∵ B点坐标为（0,1）， ∴ 点N到x轴的距离等于1． 可得和． 解这两个方程得． ∴点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（，-1）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理和逆定理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用． 11．（2023·北京二中教育集团·模拟）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．    (1)已知，若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标； (2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【来源】2023年北京二中教育集团中考模拟数学试题 【分析】（1）先根据题中定义和坐标与图形性质求得点B的纵坐标为4或，分、、分别求解即可； （2）根据题意，画图找到线段的“等幂三角形”为直角三角形时点D临界点，即点D在线段或上，点E在弧上，进而根据已知，结合图形和锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵存在等腰是线段的“等幂三角形”， ∴， 设边上的高为h，则，∴， ∴点B的纵坐标为4或； ∵是等腰三角形”， ∴若时，点B在的垂直平分线上，∴点B坐标为或； 若时，，满足题意的点B不存在，舍去； 当时，，满足题意的点B不存在，舍去， 综上，满足题意的点B坐标为或； （2）解：如图，由题意，点C在直线上， 当时，，则， ∴，，则图形M经过A，设图形M与x轴另一个交点为， ∴， 过C作于H，连接并延长交图形M于，则， 则，， ∴，， 过A作交图形M于，则，又， ∴，则； 同理，过作于，则， ∴，则， ∵为线段的“等幂三角形”， ∴设边上的高为h，则，∴， ∵为锐角三角形， ∴如图，点D在线段或上，点E在弧上 ∵， ∴，， 则， 同理，， ， ∴满足条件的D的横坐标范围为或．      ． 12．（2024·北京十一晋元中学·一模）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； (2)点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点E，点F，②图见解析． (2)①，②或 【详解】（1）解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上． 故答案为：点，点；    ②点关于四边形的“对称图形”为四边形．    （2）①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足：   ， ， ②要使得点是四边形上的点，需满足： 或， 或． 题型3 二次函数综合 考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键. 13．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点． （1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______． （2）求此二次函数的关系式． （3）当时，求二次函数的最大值和最小值． （4）点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时m的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3）最大值为，最小值为-8；（4）或． 【详解】解：（1）令x=0，则y=2， ∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2； 故答案为：2； （2）将A（-3，0），B（1，0）代入得： ，解得， ∴二次函数的关系式为； （3）∵， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴当时，y取最大值为， ∵， ∴当时，y取最小值； （4）PQ=， 当时，PQ=-3m-4，PQ的长随m的增大而减少； 当时，PQ=3m+4，PQ的长随m的增大而增大； ∴满足题意，解得：m<-， ①P到对称轴直线x=-1的距离为-1-m， 当PQ<2(-1-m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点，如图： ∴2(-1-m)， 解得：m>-2， ∴； ②如图： 当x=时， y=-x2-x+2=， 在y=-x2-x+2中，令y=， 得：-x2-x+2=， 解得：x=或x=， ∴当时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点， 综上，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点时， m的取值范围是或． 14．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点． (1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点； (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式； (3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)y＝﹣x﹣1 (3)﹣≤m＜0 【详解】（1）解：令m﹣（m＋n）x＋n＝0，则 ＝﹣4mn＝， ∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点， ∴A（0，n），且n＞0， 又∵m＜0， ∴m﹣n＜0， ∴＝＞0， ∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）令﹣（m＋n）x＋n＝0， 解得：＝1，＝， 由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0）， 又因为∠ABO＝45°， 所以A（0，1），即n＝1， 则可求得直线AB的解析式为：y＝﹣x＋1． 再向下平移2个单位可得到直线l：y＝﹣x﹣1； （3）由（2）得二次函数的解析式为：y＝﹣（m＋1）x＋1． ∵M（p，q） 为二次函数图象上的一个动点， ∴q＝﹣（m＋1）p＋1． ∴点M关于x轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）． ∴M′点在二次函数y＝﹣＋（m＋1）x﹣1上． ∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方， 当p＝0时，q＝1；当p＝﹣3时，q＝12m＋4； 结合图象可知：﹣（12m＋4）≤2， 解得：m≥﹣． ∴m的取值范围为：﹣≤m＜0． 15．（2025·北京燕山·二模）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 【答案】(1)图见解析，； (2)方案一：①；②；方案二：①；②； (3)a的值为或． 【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示， 观察图象知，函数为二次函数， 设抛物线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； （3）解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 16．（2025·北京十三中分校·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，，． (1)当时，求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）． (2)若点，都在抛物线上，则 （填“”“”或“”）； (3)将抛物线在之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，若都有，求t的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) (3)或 【详解】（1）解：当时，， 抛物线的对称轴为直线． （2），， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点，都在抛物线上， 点M到对称轴的距离为，点N到对称轴的距离为， 即点M和点N到对称轴的距离相等， ． （3）抛物线的对称轴为直线， ∴，之间的部分所有点的最大值一定在两个端点， 由题意得，点在点的左侧，点与点关于对称轴对称， ∵， ∴ ∴， ∵ 整理得： 解得：或 17．（2025·北京二中·一模）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点． (1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【详解】（1）解：∵，， 轴， 如图所示，点，，绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； （2）解： ， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最大，即，解得：， 当在上时，m值最小，即，解得：， ∴； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图，绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． ∴． 18．（2025·北京清华附中·二模）研究发现，抛物线上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH. 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线的关联距离；当时，称点M为抛物线的关联点. （1）在点，，，中，抛物线的关联点是_____ ； （2）如图2，在矩形ABCD中，点，点， ①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围； ②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点，则t的取值范围是________. 【答案】(1) （2）①  ② 【详解】（1），x=2时，y==1，此时P（2，1），则d=1+2=3，符合定义，是关联点； ，x=1时，y==，此时P（1，），则d=+=3，符合定义，是关联点； ，x=4时，y==4，此时P（4，4），则d=1+=6，不符合定义，不是关联点； ，x=0时，y==0，此时P（0，0），则d=4+5=9，不不符合定义，是关联点， 故答案为； （2）①当时，，，，， 此时矩形上的所有点都在抛物线的下方， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①，， 如图2所示时，CF最长，当CF=4时，即=4，解得：t=， 如图3所示时，DF最长，当DF=4时，即DF==4，解得 t=， 故答案为   【点睛】本题考查了新定义题，二次函数的综合，题目较难，读懂新概念，能灵活应用新概念，结合图形解题是关键. 题型4 反比例函数综合 主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数是解题的关键． 19．（22-23九下·北京通州·一模）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 【答案】(1)①，；②上，1；③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到 (2)见解析， (3) 【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为； ②∵， ∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到； ③∵， ∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到． （2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到； ∴其对称中心是．图象如图所示：    由，得， 解得，经检验符合题意． 结合图象可得，当时，． （3）当时， ， 则由，解得：，经检验符合题意， 即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1， ∴点在函数的图象上， 则，解得：， 经检验符合题意； ∴， 当， 解得：，经检验符合题意； 即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题．注意熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 20．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【来源】2024年北京市门头沟区九年级中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）解：①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 21．（2025·北京平谷·二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点，点，连接．如果线段上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段的“环绕点”． (1)已知点，，，则是线段的“环绕点”的点是 ； (2)已知点在反比例函数的图象上，且点P是线段的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围； (3)已知上有一点P是线段的“环绕点”，且点，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点D和点E (2) (3) 【详解】（1）解：由“环绕点”的定义可知：点P到线段上某一点的距离d应满足：   、B两点的纵坐标都是3， 轴， ∴点C到线段的距离为， 点D到线段的距离为， 点E到点A的距离为， ∴点D和E是线段的环绕点， 故答案为：点D和点E； （2）解：当点P在线段的上方，点P到线段的距离为1时，， 解得； 当点P在线段的下方，点P到线段的距离为1时，， 解得； 所以点P的横坐标m的取值范围为： （3）解：当点P在线段的下方时，且到线段的最小距离是1时，； 当点P在线段的上方时，且到点A的距离是1时，如图，过点M作于点C，连接并延长交于P， 点，点，点， 点C是的中点， 则，，， ∴，即 的半径r的取值范围是． 22．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【来源】2025年河北省秦皇岛市九年级中考一模数学试题 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：三个整数点，如图所示：    （3）解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 23．（2022·北京三帆中学·模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出关于的方程的解； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)当或时， 【来源】2022年北京市西城区三帆中学中考数学模拟试卷 【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可求，代入反比例函数解析式可求，即可求解； （2）由题意可得点为原点，可求，代入方程可求解； （3）分类讨论求解，分当时与当两种情况求解，当 时，三角形想似，可求出点的坐标，代入一次函数可得，再利用数形结合思想可得答案，． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点． ， ， 点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：当时，则点是的中点， 点为原点， ， ， 方程化为：， ，； （3）解：如图，当时，过点作轴，过点作于，过点作于， 当时， ∵轴，， ∴， ， ∴， ， ， ， ， 将点代入， ， 根据图象可知，当时，， 如图，当时，过点作轴于N，过点作轴 当时，AB=AC，即点A是BC的中点， ∵轴，轴， ∴， ∵， ， ， ， ， 将点代入， ， 根据图象可知，当时，， 综上，当或时，． 24．（2024·北京平谷·二模）已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 (2)或 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； （2）如图所示， ①当线段在点A上方时，点P在7和8之间时，恰有3个整点， 此时； ②当线段在点A下方时，点P在1和2之间时，恰有3个整点， 此时； 综上：当或时，恰有3个整点． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：50分钟） 1．在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)①；②1 (2) 【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可； （2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为． 【详解】（1）解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为， ∵， ∴点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为， 故答案为：； ②∵，点， ∴它们的中点的坐标为，即， ∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”， ∴点到直线的距离为1， 故答案为：1． （2） ①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且， ∵点D与点E的中点为O， ∴点C与点B重合， ∵， ∴, ∴； ②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图， ∵， ∴点G关于点A的对称点H的坐标为, 将代入，得， ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． (1)如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； (2)已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (3)点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知是直角三角形；再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可得到不是直角三角形；是直角三角形；再由“关联点”定义即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，当点，时，，则，解得或；利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案； （3）根据新定义可得点是为直径的圆上的一点，根据题意求得的最大值为，进而分在轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，是直角三角形， 由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ， 不是直角三角形，由“关联点”定义可知，不是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ，即， 是直角三角形，由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 故答案为：，； （2）解：如图所示： 当点，时，，则，解得或； 设轴上的，，即在轴正半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最大值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则(此时重合)，此时最小； ； 设轴上的，，即在轴负半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最小值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则，此时取到最大值； ； 综上所述，点的纵坐标的取值范围或； （3）解：由题意可知，当为直径时，满足题意，则最大值为； 当在轴下方时，如图所示，设以为直径的圆与相切于点，则当和点重合时，， ∵，， ∴，则， ∵，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 当在轴上方时，如图所示 同理可得 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $