难点03 圆的综合证明与运算（5大题型）（重难专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点03 圆的综合证明与运算 -◆父的◆-- 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/者向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例明验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 考向圆及相关性质 第三部分重钳提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 -◆》父)◆- 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 预测第一问考查切线的判定或角/线段相等的证 中考数学中圆主要考向为： 明；第二问结合相似三角形、勾股定理、三角函数求 一、圆相关性质（每年1~2道，6分）； 线段长或半径。可能考查双切线模型：从圆外一点引 二、圆与其他知识综合（每年12题，6分）；两条切线，结合角平分线、垂直关系命题。直径与垂 考查内容稳定，命题形式多样，以解答题为主， 径定理：己知直径，构造垂径定理求弦长或半径。圆 偶尔出现在选择题和填空题中，难度中等偏上 内接四边形：结合对角互补、外角等于内对角等性质 进行角度转换。 题型1垂径定理 题型2切线的判定与性质 圆相关解答题 题型3圆的内接四边形 题型4圆与三角形涵数综合 题型5圆与相似综合 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向圆及相关性质 ◆题型1垂径定理 回棉豪妙竹 考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质， 勾股定理等知识.熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三 角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键 1.(2025-2026北京北京师范大学附属实验中学.模拟)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,且E 为OA中点，CD=6. 0 (1)求00的半径r的长： (2)过C作DA的垂线段交DA延长线于F,求AF的长 2.(2022北京西城二模)如图，AB是O0的直径，弦CD1AB于点E,点M在O0上，MD恰好经过圆 心O,连接MB. M (1)若CD=16,BE=4,求00的直径； (2)若∠M=∠D,求∠D的度数 3.(2025北京密云·二模)如图，ABC内接于O0,AE是00的直径，AE1BC,垂足为D. (1)求证：∠AB0=∠CAE; (2)已知00的半径为5，DE=2,求BC长. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025北京清华附中.二模)如图，己知AB为O0的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接 AC,OC,BC. (1)求证：∠CA0=∠BCD; (2)若BE=3,CD=8,求O0的直径. 5.(2025北京一零一中学.一模)如图，0A=0B,AB交⊙0于点C,D,OE是半径，且0E⊥AB于点F. (1)求证：AC=BD: (2)若CD=6,EF=1,求⊙0的半径 6.(2025北京十一学校龙樾学校一模)如图，在以AB为直径的O0中，弦CD⊥AB于点H,与弦AE交于 点F,连接BE,已知CD=8,AH=2. B E (1)求00的半径： (2)若AC=CE,求BE的长. ◆题型2切线的定与性质 回棉豪妙竹 考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角 形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相 关知识的联系与性质是解答的关键， 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2025北京西城二模)如图，⊙0为ABC的外接圆，点A为BAC的中点，⊙0的切线AD交BO的延 长线于点D,BD交AC于点E.连接OA,OC，且LAOC=2LAED. D B (1)求证：∠DAE=∠AED; (2)若AD=1,求BC的长， 8.(2024北京顺义一模)在⊙0中，AB为⊙0的弦，连接0A,0B,LAB0=30°， D 图1 图2 (1)如图1，若半径0C⊥AB于点D,CD=1,求弦AB的长； (2)如图2，MN为⊙O的切线，点P为切点，且MN∥OB,过点P作PF⊥AB于点F,与半径OB相交于点 E.若⊙0的半径是3，求OE的长. 9.(2025北京丰台一模)如图，AB,AD是⊙0的弦，A0平分∠BAD.过点B作O0的切线交A0的延 长线于点C,连接CD,BO,延长BO交OO于点E,AD交于点F,连接AE,DE, B D (1)求证：CD是O0的切线： (2)若AE=DE=3,求AF的长. 10.(2025北京海淀二模)如图，P为⊙0外一点，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，点C在O0上， 连接OA,0C，AC. 4/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠A0C=2∠PAC; (2)连接OB,若AC∥0B,⊙0的半径为5，AC=6,求AP的长 11.(2025·北京三帆中学.二模)如图，己知AB是圆O的直径，F是圆0上一点，∠BAF的平分线交⊙0于 点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D. D B 0 (1)求证：DE是⊙0的切线； (2)若DE=3,CE=2.①求BC的值；②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值. AE 12.(2025·北京燕山一模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于 点F,连接DF· E B D (1)求证：DF是00的切线； (2)连接BC,若∠BCF=30°，BF=2,求CD的长. 题型3圆的内接四边形 回佛豪妙什 考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形 全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难 度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键. 13.(2023北京中考)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC, ∠BAC=∠ADB. 5/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D (1)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小； (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长. 14.(2024北京德胜中学.零模)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,∠ABD=∠CAD. D B (1)求证：BD平分∠ABC; (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若DB平分∠ADC,AC=AD,求证：CF为OO的切线. 15.(2025北京延庆区一模)如图，圆内接四边形ABDC,AB是⊙0的直径，OD⊥BC交BC于点E, ∠ACB=90°. ■ B D (1)求证：点D为BC的中点； (2)若BE=4,AC=6,求DE. 16.(2025北京第十三中学分校三模)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分 ∠ABC,∠BAC=LADB. 6/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小： (2)过点A作AF∥CD交CB的延长线于点F,若AC=AD,BF=3,求此圆半径的长， 17.(2025·北京顺义·二模)如图，四边形ABDC是⊙0的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交 DB的延长线于点E,AB=AC. (1)求证：∠ABE=∠ACD; (2)连接BC,若BC为OO的直径，求证：BE=CD. 18.(2025北京八十中学.二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，DA平分∠BDE; 且AE⊥CD的延长线于点E. B (1)求证：AE是00的切线 (2)若AE=4,CD=6,求⊙0的半径和AD的长 。题型4圆与三角形函数综合 包棉豪妙什 考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的 作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。 19.(2025·北京.中考)如图，在⊙0中，AB为⊙0的直径，C为00上一点，PD是00的切线，过点P作 AC的垂线，交AC的延长线于点D. 7/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求证：AP平分∠DAB; 2法1C=5,m∠4PC=吾，求PD的长， 20.(2025·北京朝阳.二模)如图，AB、BF分别是⊙0的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、 G,过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H,且HF=HG, (1)求证：AB⊥CD; C2)若n∠HGF=子，BF=3,求00的半径长 H G 21.(2025北京门头沟二模)如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙0上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC ,连接CD,过点C作CE⊥DB,垂足为E,直径AB与CE的延长线相交于F点， (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)当BD=snF=时，求oF的长. E B D 22.(2024北京燕山二模)如图，在等腰△ABC中，AC=BC=10,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交 AC于点G,DF⊥AC于F,交CB的延长线于点E. (1)求证：直线EF是⊙O的切线； 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若sin∠E=2 求B的长 23.(2025北京清华附中.二模)如图，BA是00的直径，C是⊙0上一点，0D⊥BC于点D,过点C作 ⊙O的切线，交OD的延长线于点E,连接BE. E C D B (1)求证：BE与O0相切； 长EC交BA的延长线于点F,若AF=2,tanZABC=)’求00的 24.(2025北京清华大学附属中学.二模)如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E, BF//OC,连接BC和CF,CF交AB于点G. B (1)求证：∠0CF=LBCD; (2)若CD=4,an∠0CF-},求o0半径的长. 。型5圆与相综合 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 回棉豪妙竹 考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是 解题的关键 25.(2024北京平谷.二模)如图，AD是圆O的切线，切点为A,AB是圆O的弦.过点B作BC∥AD,交圆 O于点C,连接AC,过点C作CD/AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点 P,且∠BCP=∠ACD D p (1)判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： (2)若AB=9,BC=6,求PC的长 26.(2024北京二中.一模)如图，AB是⊙0的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点，DE⊥AB于E ,过点D作BC的平行线DM,连接AC并延长与DM相交于点G,连接AD与BC交于点H. M D E (1)求证：GD是00的切线： (2)若CD=6,AD=8,求AH的值 27.(2025北京怀柔.模拟)如图，己知∠ABC=90°，AB=BC.直线1与以BC为直径的圆O相切于点C.点 F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与I相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC于点D. 10/13 难点03 圆的综合证明与运算 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 圆及相关性质 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中圆主要考向为： 一、圆相关性质（每年1~2道，6分）； 二、圆与其他知识综合（每年1~2题，6分）； 考查内容稳定，命题形式多样，以解答题为主，偶尔出现在选择题和填空题中，难度中等偏上． 预测第一问考查切线的判定或角/线段相等的证明；第二问结合相似三角形、勾股定理、三角函数求线段长或半径。可能考查 双切线模型：从圆外一点引两条切线，结合角平分线、垂直关系命题。 直径与垂径定理：已知直径，构造垂径定理求弦长或半径。 圆内接四边形：结合对角互补、外角等于内对角等性质进行角度转换。 重●难●要●点●剖●析 考向 圆及相关性质 题型1 垂径定理 考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 1．（2025-2026·北京·北京师范大学附属实验中学·模拟）如图，是的直径，弦于点，且为中点，． (1)求的半径的长； (2)过作的垂线段交延长线于，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷 【分析】本题考查了圆的基本性质，特别是垂径定理及其推论，同时结合直角三角形的勾股定理，直角三角形中所对边是斜边的一半；解题的关键是灵活运用垂径定理得到弦心距与弦长的关系，并利用勾股定理建立方程求半径；对于第二问，通过直角三角形中所对边是斜边的一半的灵活应用转化条件，再结合勾股定理求解． （1）连接，由垂径定理可得，由为中点得，在中利用勾股定理列出关于半径的方程求解； （2）由，求得，，相互垂直平分，可得，，等边对等角得出，，在中，利用所对边是斜边的一半，求得的长． 【详解】（1）解：连接， ∵直径 ∴ 又∵为中点 ∴ 在中， 即 解得或（舍） （2）解：连接， 由（1）得 ∵， ∴， ∵为中点，且 ∴ ∴ ∴ 又∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ 2．（2022·北京西城·二模）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的直径是20 (2) 【详解】（1）解：是的直径，弦于点， ，， 设，则， ， ， 解得：， 的直径为20； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2025·北京密云·二模）如图，内接于，是的直径，，垂足为D． (1)求证：； (2)已知的半径为5，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵的半径为5，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴． 4．（2025·北京清华附中·二模）如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接． (1)求证：； (2)若，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)的直径为 【详解】（1）证明：∵为的直径，是弦，且于点E， ∴， ∴． （2）解：设的半径为R，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的直径为． 5．（2025·北京一零一中学·一模）如图，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【详解】（1）证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 6．（2025·北京十一学校龙樾学校·一模）如图，在以为直径的中，弦于点H，与弦交于点F，连接，已知，． (1)求的半径； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)6 【详解】（1）解：如图，连接， 设半径， ，，，是的直径， ，， ， 解得， 的半径为； （2）解：由（1）得：直径，，， ∵ ∴， ， ， ． 题型2 切线的判定与性质 考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相关知识的联系与性质是解答的关键． 7．（2025·北京西城·二模）如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【来源】2025年北京市西城区九年级中考二模数学试卷 【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出 ．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等． （2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出 ．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出 ，从而得到线段相等关系 ，最后根据，结合求出的长． 【详解】（1）证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长交于，则， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（2024·北京顺义·一模）在中，为的弦，连接，， (1)如图1，若半径于点D，，求弦的长； (2)如图2，为的切线，点P为切点，且，过点P作于点F，与半径相交于点E．若的半径是3，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ． ， ． ，，， ． ，， 在中，由勾股定理得， ． （2）解：如图，连接． 为的切线， ，即． ， ． ， ， ， ，， ， ． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 9．（2025·北京丰台·一模）如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接，．延长交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）如图，连接． 为的切线， ． 平分， ． ， ， ， 在△BOC和△DOC中 ， ， 为的切线． （2）， ， ， ， ． 为的直径． ， ， ． 在中，，， ， ． 10．（2025·北京海淀·二模）如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)10． 【详解】（1）证明：过O作于H，如图： ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，延长交于E，如图： ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 11．（2025·北京三帆中学·二模）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝3，CE＝2.   ①求的值；②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值． 【答案】（1）证明见解析（2）① ②3 【详解】（1）连接OE ∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO ∵∠FAE=∠EAO，∴∠FAE=∠AEO ∴OE∥AF ∵DE⊥AF，∴OE⊥DE ∴DE是⊙O的切线 （2）①解：连接BE ∵直径AB     ∴∠AEB=90° ∵圆O与BC相切 ∴∠ABC=90° ∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90° ∴∠EAB=∠CBE ∴∠DAE=∠CBE ∵∠ADE=∠BEC=90° ∴△ADE∽△BEC ∴ ②连接OF，交AE于G， 由①，设BC=2x，则AE=3x ∵△BEC∽△ABC      ∴ ∴ 解得：x1=2，（不合题意，舍去） ∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8 ∴AB=，∠BAC=30° ∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60° ∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，∴四边形AOEF是菱形 由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=EG，OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin60o=3. 故OG+EG最小值是3. 12．（2025·北京燕山·一模）如图，是的直径，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接. （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长. 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：连接OD ∵CF是⊙O的切线 ∴∠OCF=90° ∴∠OCD+∠DCF=90° ∵直径AB⊥弦CD ∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线 ∴CF=DF ∴∠CDF=∠DCF ∵OC=OD， ∴∠CDO=∠OCD ∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90° ∴OD⊥DF ∴DF是⊙O的切线 （2）解：连接OD ∵∠OCF=90°, ∠BCF=30° ∴∠OCB=60° ∵OC=OB ∴ΔOCB为等边三角形， ∴∠COB=60° ∴∠CFO=30° ∴FO=2OC=2OB ∴FB=OB= OC =2 在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60° ∴CE ∴CD=2 CE 题型3 圆的内接四边形 考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键． 13．（2023·北京·中考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【来源】2023年北京市中考数学真题 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 14．（2024·北京德胜中学·零模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，． (1)求证：平分； (2)过点C作交的延长线于点F，若平分，求证：为的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】2024年北京市西城区德胜中学九年级下学期零模数学试题 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定： （1）同弧所对的圆周角相等，得到，进而推出即可； （2）先证明，推出是正三角形，进而推出，得到是圆的直径，取中点O，连接，易得是正三角形，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：， ． ， ， 平分． （2）解：平分， ． ， ． ． 是正三角形． ． 为圆内接四边形， ． ． ． 是圆的直径． ， 取中点O，连接 ， 是正三角形． ． ． ． ． 为的切线． 15．（2025·北京延庆区·一模）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【详解】（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 16．（2025·北京第十三中学分校·三模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．    (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点A作交的延长线于点F， 若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴所对弧对的圆心角相等， 则有， ∴，即， ∴是圆的直径， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是圆的直径， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，    ∴是等边三角形， ∴． ∵平分， ∴． ∵是圆的直径， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是圆的直径， ∴半径的长为． 17．（2025·北京顺义·二模）如图，四边形ABDC是的内接四边形，AD是对角线，过点A作交DB的延长线于点E，． (1)求证：； (2)连接BC，若BC为的直径，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形ABDC是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）连接BC， ∵BC为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴． 18．（2025·北京八十中学·二模）如图，四边形是的内接四边形，为直径，平分；且的延长线于点E． (1)求证∶是的切线 (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5； 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ∴是的切线； （2）解：如图，取中点，连接， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴的长是 题型4 圆与三角形函数综合 考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。 19．（2025·北京·中考）如图，在中，为的直径，C为上一点，是的切线，过点P作的垂线，交的延长线于点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)6 【来源】2025年北京市中考数学试卷（二） 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质． （1）由切线的性质，垂直的定义推出，得到，由得到，因此，即可证明平分； （2）由圆周角定理得到，因此，求出的长，由勾股定理求出的长，由垂径定理求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵与圆相切于P， ∴半径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，如图， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 20．（2025·北京朝阳·二模）如图，、分别是的直径和弦，弦与、分别相交于点、，过点的切线与的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【详解】解：（1）连接OF， ， ∵FH为的切线； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接AF， 为直径， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为2． 21．（2025·北京门头沟·二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长． 【答案】（1）见解析；（2）OF＝5． 【详解】（1）连接OC．如图1所示： ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2． 又∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1． 又∵∠4＝2∠1， ∴∠4＝∠3， ∴OC∥DB． ∵CE⊥DB， ∴OC⊥CF． 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）连接AD．如图2所示：    ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sinF＝， ∴AB＝BD＝6， ∴OB＝OC＝3， ∵OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴sinF＝， 解得：OF＝5． 22．（2024·北京燕山·二模）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC于F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若sin∠E＝，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）AB＝2． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∵OD＝OB， ∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠BAC＝∠BDO， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∵OD为半径， ∴直线EF是⊙O的切线； （2）连接BG， ∵BC是⊙O直径， ∴∠BGC＝90°， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°＝∠BGC， ∴BG∥EF， ∴∠E＝∠GBC， ∵sin∠E＝， ∴sin∠GBC＝＝， ∵BC＝10， ∴CG＝4， ∴AG＝10﹣4＝6，由勾股定理得：BG＝， 在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB＝，即AB＝2． 23．（2025·北京清华附中·二模）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)延长交的延长线于点F．若，，求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【详解】（1）证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴， ∴， 与相切； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴在，设，则， ，， ∵，，， ∴在，，， ∵为的切线， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵在中， ， ∴， ∵， ∴． 24．（2025·北京清华大学附属中学·二模）如图，在⊙中，是直径，是弦，于点，，连接和，交于点.   （1）求证：； （2）若，，求⊙半径的长. 【答案】（1）详见解析；（2） 【详解】（Ⅰ）证明：∵是直径，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴. （Ⅱ）∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 设，则 在中， ∵ ∴ 答：⊙O半径的长为. 题型5 圆与相似综合 考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．（2024·北京平谷·二模）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD． （1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： （2）若AB=9，BC=6，求PC的长． 【答案】（1）直线PC与圆O相切（2） 【详解】解：（1）直线PC与圆O相切．理由如下： 如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN， ∵AB//CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∵∠BAC=∠BNC， ∴∠BNC=∠ACD， ∵∠BCP=∠ACD， ∴∠BNC=∠BCP， ∵CN是圆O的直径， ∴∠CBN=90°， ∴∠BNC+∠BCN=90°， ∴∠BCP+∠BCN=90°， ∴∠PCO=90°，即PC⊥OC， 又∵点C在圆O上， ∴直线PC与圆O相切 （2）∵AD是圆O的切线， ∴AD⊥OA，即∠OAD=90°， ∵BC//AD， ∴∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC， ∴MC=MB， ∴AB=AC， 在Rt△AMC中，∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3， 由勾股定理，得， 设圆O的半径为r， 在Rt△OMC中， ∠OMC=90°，OM=AM-AO=，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2， 即． 解得， 在△OMC和△OCP中， ∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP， ∴△OMC～△OCP， ∴，即． ∴ 26．（2024·北京二中·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3.5 【来源】2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题 【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识： （1）连接，得，再由可得，故可证明是的切线； （2）运用勾股定理求出，再，可求出,从而求出 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是劣弧的中点， ∴，平分， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 27．（2025·北京怀柔·模拟）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D． （1）如果BE=15，CE=9，求EF的长； （2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE； （3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由． 【答案】（1） （2）证明见解析（3）F在直径BC下方的圆弧上，且 【详解】（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C． ∴∠BCE=90°， 又∵BC为直径， ∴∠BFC=∠CFE=90°， ∵∠FEC=∠CEB， ∴△CEF∽△BEC， ∴， ∵BE=15，CE=9， 即：， 解得：EF= ； （2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°， ∴∠ABF=∠FCD， 同理：∠AFB=∠CFD， ∴△CDF∽△BAF； ②∵△CDF∽△BAF， ∴， 又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°， ∴△CEF∽△BCF， ∴， ∴， 又∵AB=BC， ∴CE=CD； （3）解：∵CE=CD， ∴BC=CD=CE， 在Rt△BCE中，tan∠CBE=， ∴∠CBE=30°， 故 为60°， ∴F在直径BC下方的圆弧上，且． 28．（2023·北京通州·一模）如图，是圆内接三角形，过圆心O作，连接，过点C作，交的延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)如果，求半径的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径的长度为 【来源】2023年北京市通州区中考一模数学试卷 【分析】（1）根据，可得出，根据平行线的性质可得，即可得出是的切线； （2）根据圆周角定理可得，得出，即可证明，根据相似三角形的性质，结合可求出的长，根据勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， ∴半径的长度为． 29．（2025·北京昌平·二模）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点．    (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵经过直径的外端， ∴是圆的切线． （2）∵，．由（1）知，是直角三角形，由勾股定理得：． 在中，于，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 30．（2025·北京五十五中·二模）如图，为圆的直径，为延长线上一点，为圆上一点，是圆的切线；连接，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【详解】（1）解：∵为圆的直径， ∴，即， ∵是圆的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：设， ∵， ∴， ∴．， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵，， ∴是的中位线． ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴．                                ∴． ∵是的直径， ∴．                            ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线．                    （2）解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴．                            ∵， 在中，． 即． ∴．                                    ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 2．如图，点A，B，C在圆O上，，直线，，点O在上． (1)求证是圆O的切线 (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，利用平行线的性质得到，利用等对等角得到，求得，，证明，即可得到结论； （2）作于点H，利用垂径定理和特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线； （2）解：如图，连接，过点O作于点H． ∵，， ∴，． 在中， ，即， 解得， 故圆O的半径为6． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，特殊的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．如图，的直径与弦相交于点，且，点在的延长线上，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，求半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，则可得，进而问题可求证； （2）由题意可设，则，则有，，然后可列方程进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由题意可设，则， ∴，， ∴在中，， 解得：， ∴， 即的半径为4． 【点睛】本题主要考查切线的判定、垂径定理及三角函数，熟练掌握切线的判定及三角函数是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $