难点02 二次函数的图像性质与综合（4大题型）（重难专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

难点02 二次函数的图像性质与综合 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 二次函数性质 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中二次函数的主要考向为：二次函数性质（题目不含图像，需自己画图） 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏上． 预测今年考查范围：常规大小比较，对称性应用：利用抛物线的对称性，将不同横坐标的点转化到对称轴同一侧进行比较，利用点到对称轴的距离判断函数值大小（开口向上时，离对称轴越远值越大；开口向下时相反） 分类讨论参数的不同取值情况 重●难●要●点●剖●析 考向 二次函数性质 题型1 求对称轴 考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。 1．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴 (2)或 【来源】2024年北京市顺义区中考一模数学试题 【分析】本题主要考查二次函数的性质和解一元一次不等式方程组， 将点代入二次函数代数式解得，结合对称轴得定义即可求得； 根据题意知在对称轴右侧y随x的增大而增大，分在对称轴右侧和左侧，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （2）∵抛物线的对称轴为，， ∴在对称轴右侧， ∵ ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ①当在对称轴右侧， ∵， ∴， 则，解得，故； ②当在对称轴左侧， 设关于对称轴的点为， ∵抛物线的对称轴为， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，解得； 故答案为：或． 2．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． (1)若m＝n，求该抛物线的对称轴； (2)已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围． 【答案】(1)x=3 (2) 【详解】（1）解：当m=n时， 对称轴为； （2）解：根据题意可得： m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b， ∵m<p<n，mn<0， ∴m<0，n>0， ∴4a+2b<0，16a+4b>0， 化简得：①，②， ∵m<p<n， ∴ 化简③得， 化简④得， ∵t= ∴综合①②③④可得：1<t． 3．（2025·北京西城·模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD． （1）当时， ①写出抛物线的对称轴； ②求抛物线的表达式； （2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围． 【答案】（1）①；②；（2）或． 【详解】解：（1）当时，化为． ①． ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点D的坐标为（-1，），OD=1． ∵OB=2OD， ∴ OB=2． ∵点A，点B关于直线对称， ∴点B在点D的右侧． ∴ 点B的坐标为（，）． ∵抛物线与x轴交于点B（，）， ∴ ． 解得． ∴抛物线的表达式为． （2）设直线与x轴交点为点E， 当y=0时， ∴ ∴ E（，0）． 抛物线的对称轴为， ∴点D的坐标为（，）． ①当时，． ∵OB=2OD， ∴ OB=b． ∴ 点A的坐标为（，），点B的坐标为（b，）． 当<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方， 解得． ②当时，． ∴ ． ∵OB=2OD， ∴ OB=-b． ∵抛物线与x轴交于点A，B，且A在B的左侧， ∴ 点A的坐标为（，），点B的坐标为（-b，）． 当0<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方， 解得b<-2． 综上，b的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 4．（2025·北京三帆中学·零模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【来源】北京市三帆中学2024—2025学年下学期九年级中考数学零模试卷 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数对称轴公式即可求解； （2）先表示出，再根据已知条件得到不等式组，化为解不等式组即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， ∴ ∴对称轴为直线； （2）解：∵点，，在抛物线上，且， ∴，，， ∴由得： 由①得：； 由②得：，即或， 解得：； 由③得：，则， ∴或， 解得：或， ∴原不等式组的解集为：． 5．（2025·北京燕山·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 【答案】(1) (2)或． 【来源】2025年北京市燕山区九年级中考一模数学试题 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， 整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当时，抛物线开口向上． 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． ∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大， ∴，同时 解不等式组 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． 若，； ∵， ∴ ． 解得 ． 若，． ∴ ． 解得：， ∵， ∴不等式无解 ． ∴当时，的取值范围是； 综上，a的取值范围是或． 6．（2025·北京延庆区·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线()的对称轴与x轴交于点A，将点向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B． (1)求抛物线的对称轴及点B的坐标； (2)若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围. 【答案】(1)对称轴：；；(2)或. 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线x==2，∴点A的坐标为（2，0）.∵将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（5，2）； （2）①当a＞0时，如下图所示， 由图可得， ，解得，a≥； ②当a＜0时，如下图所示， 由图可得，，∴a≤－2;      综上所得a的取值范围为a≥或a≤－2. 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，准确判断函数与线段端点的关系是解题的关键. 题型2 比较函数值的大小 主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。 7．（2025·北京·中考模拟）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【来源】2025年北京市初中学业水平考试数学试卷（白卷） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称性求出对称轴，即可得出结果； （2）根据对称性确定对称轴的范围，根据二次函数的增减性，比较的大小即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且 ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； 故； （2），理由如下： ∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， 又∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上， ∴三点到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·北京第十三中学分校·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求a的值； (2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【来源】2025年北京市第十三中学分校中考三模数学试题 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）直接将代入计算即可； （2）先由求出，，，设对称轴为直线，则，计算得到，再分别判断每个因式的正负即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 设对称轴为直线， 则，即， ∵点和是抛物线上的两个点， ∴ ∵， ∴， 即 ， ∵，， ∴，， 即， ∵，， ∴， 即． 9．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【来源】2025年北京市顺义中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质； （1）由抛物线为，得对称轴是直线，又，进而可得，故可得解； （2）由（1）对称轴是直线，则，又，从而，又抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又点，，在该抛物线上，且对称轴是直线，从而，故可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又， ． （2）解：由（1）对称轴是直线， ． 又， ． 抛物线开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值越小． 点，，在该抛物线上，且对称轴是直线， ，，． ， ，． ． ． 10．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年北京市门头沟区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把代入，求出，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解； （2）先确定点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出点关于对称轴直线的对称点为：，可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，把代入， 则， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∴点关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴． 11．（2024·北京燕山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1)若，求t的值； (2)已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【来源】2024年北京市燕山地区中考二模数学试题 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）利用抛物线的对称轴公式求得即可； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点关于直线的对称点的坐标是， ∴． ∴． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∴． 12．（2025·北京清华大学附属中学·二模）已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是． （2）解：设抛物线的对称轴为， 由题知， 在的右侧，在的左侧， ∵，存在， ∴点到大于 点到的距离， ∴到的距离为：，点到的距离为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都在函数的左侧， ∴， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小， ∵， ∴． 题型3 求参数的范围 考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开口向上和向下时，分别讨论计算即可求得． 13．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【来源】2024年北京市平谷区中考二模数学试题 【分析】本题考查抛物线图像和性质，化成顶点式、求与轴对称轴交点，采用数形结合的方式是解题关键． （1）将抛物线整理成顶点式，对称轴可求； （2）令，得到抛物线与轴的两个交点为，可求，要满足题意则； （3）结合抛物线的对称轴可知点一定位于对称轴的右侧，则对称点为，要保证对称点为，结合对于时，都有列方程组即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为， （2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， 令，得到或， ∴抛物线与轴的两个交点为， ， 若点中至少有一个点位于轴的上方 只需； （3）∵抛物线的对称轴为， ∴点一定位于对称轴的右侧， 它的对称点为， 又∵对于时，都有， ∴， 解得． 14．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)或 (3) 【来源】2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； （2）解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； （3）解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 15．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 【答案】(1)①；②点的坐标为或或 (2) (3)或或 【详解】（1）解：①代入点到得：，解得， ∴抛物线的函数关系式为； ②当时，， 解得，； 当时，， 解得； ∴点的坐标为或或； （2）解：抛物线，， ∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为， ∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2， ∴， 解得； （3）解：①当时， 当顶点在直线上，符合条件， 即，解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 故抛物线与线段只有一个交点时，或； ②当时， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件， 则， 解得； 综上，的取值范围为或或． 16．（2024·北京德胜中学·零模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)___________，m的取值范围是__________； (2)点在抛物线上，若对于，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【来源】2024年北京市西城区德胜中学九年级下学期零模数学试题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）将点代入求出的值，将点代入函数解析式，求出关于的解析式，求出范围即可； （2）设抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，推出的中点在对称轴右侧，进而求出的范围，进而求出的范围，进一步求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入，得：； 把，代入解析式，得：， ，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）设抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵对于，都有， ∴的中点在对称轴右侧， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， 故． 17．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线（）上． (1)这个抛物线的对称轴为直线________． (2)若，求的取值范围； (3)若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：对称轴为， 故答案为：； （2）解：∵，，三点都在抛物线（）上，且， 又∵，抛物线的对称轴为， ∴A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于等于点B到对称轴的距离， 即，解得； （3）解：无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方， 有两种情况满足题意， ①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，满足题意， 即， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意， 此时三点中，距离最近的A和B不能同时在x 轴下方， 临界情况A、B两点分别是这两个交点， 得， 此时t=0.5.带入，解得， ∴此时； 综上所述， 18．（2024·北京清华附中·一模）在平面直角坐标系中，是拋物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围； (3)若对于，存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)且． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 即 ∴拋物线 ∵抛物线经过点 ∴把代入 得 解得； （2）解：由（1）知拋物线 ∵是拋物线上任意两点， ∴ ∵且，都有， ∴ 解得或 （3）解：∵是拋物线上任意两点，对称轴为直线 ，抛物线开口向下， ∴，即， ①当时，一定存在大于的值； ②当时，， ∴，解得：， ∴ ③当且时，， ∴，解得：， ∴且， 综上所述：且 题型4 最值问题 二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键． 19．（2025·北京房山·二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； (2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②6 (2) 【详解】（1）解：①当时，对称轴为直线． ， ； ②由二次函数的性质可知，当，关于对称轴对称时取最小值， 对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为， 与点重合，与点重合时，取最小值， 最小值为：． （2）解：， 抛物线开口下上， ，， 点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ， 解得， ， ， ． 20．（2023·北京延庆·一模）已知：抛物线：． (1)若顶点坐标为，求b和c的值（用含a的代数式表示）； (2)当时，求函数的最大值； (3)若不论m为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若时，抛物线的最小值为k，求k的值． 【答案】(1) (2)函数的最大值为 (3)k的值为0或 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴， ∴函数的最大值为； （3）∵直线与抛物线有且只有一个公共点， ∴方程组只有一组解， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， 整理得：， ∵不论m为任何实数，恒成立， ∴， ∴． 此时，抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵当时，抛物线的最小值为k， ∴分三种情况：或或， ①当时，，当时，y随着x的增大而减小，则当时，y的最小值为k， ∴， 解得：或1，均不符合题意，舍去； ②当时，当时，抛物线的最小值为0， ∴； ③当时，y随着x的增大而增大，则当时，y的最小值为k， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 综上所述，若时，抛物线的最小值为k，k的值为0或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程根的情况和根的判别式，解方程组等知识，综合性很强，难度较大，能把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题关键. 21．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】(1) (2)h的最小值为16． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； （2）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时，抛物线开口向下，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 当时：抛物线开口向下，对称轴， 在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴， ∵， ∴h的最小值为16． 22．（2025·北京十一晋元中学·二模）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，记二次函数的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对应的n． 【答案】(1)； (2)t的最小值为2，此时． 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为，且二次项系数，函数图象开口向上， 分三种情况进行讨论： ①当，即时， ∵在时，y随x的增大而减小， 函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而减小， ∴， 即当时，t有最小值8； ②当时， ∵在时，y随x的增大而增大， 函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而增大， ∴， 即当时，t有最小值8； ③当时， 若， 则函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而减小， ∴当时，t有最小值2； 若， 则函数最大值为，函数最小值为， ∵二次函数的最大值与最小值之差为t， ∴， ∴，， ∵在时，t随n的增大而增大， ∴此时，t没有最小值； 综上所述，t的最小值为2，此时． 23．（（2025·北京密云·一模）已知二次函数过点，， ． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）解：， ， 有最小值， 当时，的最小值为． 24．（2025·北京石景山·一模）已知点A(2，－3)是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标： (2)当时，求函数的最大值与最小值的差： (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值． 【答案】(1)(3，－4) (2)当－1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16 (3)t＝1或2 【详解】（1）解：∵已知A(2，-3)是二次函数图象上的点 ∴ 解得 ∴此二次函数的解析式为： ∴顶点坐标为（3，－4）； （2）∵顶点坐标为（3，－4）， ∴当x＝3时，y最小值＝－4， 当x＝－1时，y最大值＝12 ∴当－1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16； （3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论， ①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小， 当x＝t时，y最大值＝t2-6t+5 当x＝t+3时，y最小值＝（t+3）2-6（t+3）+5＝t2-4， t2-6t+5-（t2-4）=4 ﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9=4， 解得（不合题意，舍去）， ②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴y最小值＝－4， i）当0≤t≤时，在x＝t时，y最大值＝t2-6t+5， ∴t2-6t+5－（－4）=4， 解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）； ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2－4， ∴t2－4－（－4）=4， ∴解得t1＝2，t2＝－2（不合题意，舍去）， ③当t>3时，y随着x的增大而增大， 当x＝t时，y最小值=t2-6t+5， 当x＝t+3时，y最大值＝t2-4， ∴t2-4-（t2-6t+5）=4解得（不合题意，舍去）， 综上所述，t＝1或2． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）把，代入，解方程组求出a，c的值 即得答案； （2）①由直线经过点，得，当时，， 可得点M、N的纵坐标，即可得的长；②由，得，求出，得，得四边形的面积为，得当时，四边形的面积随m的增大而减小，结合，得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴当时，， ∴， ∴; ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时， 四边形的面积随m的增大而减小， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 【点睛】根据四边形的面积的图象开口向下，可知当时，四边形的面积随m的增大而减小，加上点M在抛物线上的点A与点B之间，的限制． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点的坐标是 (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点是第一象限抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴与轴的交点，连接．求四边形的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)10， 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及二次函数与几何综合，求出表示四边形面积的解析式是解答本题的关键． （1）根据点B与点A关于对称轴对称可求出点B的坐标，根据y轴上点的横坐标为0可求出点C的坐标； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据四边形的面积列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，点的坐标是， ∴点B的横坐标是， ∴． ∵当时，， ∴； （2）把，代入，得 ， ∴， ∴； （3）如图，连接． ∵对称轴是直线，，， ． 设． 四边形的面积 ， ∴当时，四边形的面积取得最大值10． ∴， ∴． 3．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． (1)求，和的值； (2)若直线经过点，求的值； (3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)； (3)当或时，直线与有公共点． 【分析】考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）根据和的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可求出，和的值； （2）先求出点，进而代入一次函数即可得解； （3）当直线与有公共点时，可以分别计算直线经过点和时的的值，根据图象可得结论． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴． ∵抛物线最低点的纵坐标为， ∴抛物线的顶点是． ∴抛物线的表达式是，即． ∴，， 把代入抛物线表达式， 求得； （2）解：由（）得， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得； （3）解：如图， 当经过点时，得，， 当经过点时，−，， 综上所述，当或时，直线与有公共点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 难点02 二次函数的图像性质与综合 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 二次函数性质 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中二次函数的主要考向为：二次函数性质（题目不含图像，需自己画图） 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏上． 预测今年考查范围：常规大小比较，对称性应用：利用抛物线的对称性，将不同横坐标的点转化到对称轴同一侧进行比较，利用点到对称轴的距离判断函数值大小（开口向上时，离对称轴越远值越大；开口向下时相反） 分类讨论参数的不同取值情况 重●难●要●点●剖●析 考向 二次函数性质 题型1 求对称轴 考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。 1．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 2．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． (1)若m＝n，求该抛物线的对称轴； (2)已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围． 3．（2025·北京西城·模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD． （1）当时， ①写出抛物线的对称轴； ②求抛物线的表达式； （2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围． 4．（2025·北京三帆中学·零模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 5．（2025·北京燕山·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 6．（2025·北京延庆区·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线()的对称轴与x轴交于点A，将点向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B． (1)求抛物线的对称轴及点B的坐标； (2)若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围. 题型2 比较函数值的大小 主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。 7．（2025·北京·中考模拟）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 8．（2025·北京第十三中学分校·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求a的值； (2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由． 9．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 10．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 11．（2024·北京燕山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1)若，求t的值； (2)已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 12．（2025·北京清华大学附属中学·二模）已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 题型3 求参数的范围 考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开口向上和向下时，分别讨论计算即可求得． 13．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 14．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 15．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当点在这个函数图象上时， ①求抛物线的函数关系式． ②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标． (2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围． 16．（2024·北京德胜中学·零模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)___________，m的取值范围是__________； (2)点在抛物线上，若对于，都有，求m的取值范围． 17．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线（）上． (1)这个抛物线的对称轴为直线________． (2)若，求的取值范围； (3)若无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方，直接写出的取值范围． 18．（2024·北京清华附中·一模）在平面直角坐标系中，是拋物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围； (3)若对于，存在，直接写出的取值范围． 题型4 最值问题 二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键． 19．（2025·北京房山·二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； (2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 20．（2023·北京延庆·一模）已知：抛物线：． (1)若顶点坐标为，求b和c的值（用含a的代数式表示）； (2)当时，求函数的最大值； (3)若不论m为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若时，抛物线的最小值为k，求k的值． 21．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 22．（2025·北京十一晋元中学·二模）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，记二次函数的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对应的n． 23．（（2025·北京密云·一模）已知二次函数过点，， ． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 24．（2025·北京石景山·一模）已知点A(2，－3)是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标： (2)当时，求函数的最大值与最小值的差： (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点的坐标是 (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点是第一象限抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴与轴的交点，连接．求四边形的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 3．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． (1)求，和的值； (2)若直线经过点，求的值； (3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $