难点01 一次函数与不等式综合（4大题型）（重难专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 一次函数与不等式综合 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 一次函数 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中一次函数点主要考向分为两类： 一、一次函数相关性质（每年1道，6分）； 二、一次函数与其他知识综合（每年1题，6分）； 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等． 预测今年第一问考查待定系数法求解析式（常涉及函数图象平移，如“由某函数平移得到”）；第二问考查参数取值范围，核心是“图象法”解决不等式恒成立问题。给定一个含参一次函数，在某个自变量范围内，要求一个含另一次函数的函数值恒大于（或小于）原函数，求参数范围。 重●难●要●点●剖●析 考向 一次函数 题型1 一次函数平移相关 考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 1．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于1，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【来源】2025年北京市房山区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数平移，待定系数法求解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集； （1）根据一次函数的平移可得函数过点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据当时，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于等于1，即可求解． 【详解】（1）.解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数过点，            ∴， 解得： ∴函数解析式为 （2）解：时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数之差的绝对值差大于1， ∴ ∴或 解得：或 2．（2023·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【来源】2023年北京市延庆区九年级中考一模数学试题 【分析】（1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； （2）解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． 3．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年北京市密云区中考一模数学试卷 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换、一次函数图像与系数的关系，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质． （1）依据题意，由函数的图像由函数的图像平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合 （1）可得为，在同一坐标系中画出，的图像，根据题意，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：∵函数的图像由函数的图像平移得到 ∴， 又∵平移后的直线经过点， ∴将点代入直线， 可得，解得； （2）由题意，结合（1）可得为，在同一坐标系中画出，的图像，如下图所示， 对于直线，令，可得，即， 对于直线，令，可得，即， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故；同时需满足． 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故． ∴结合图像可知，的取值范围为． 4．（2023·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2023年北京市石景山区中考一模数学试题 【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的下方，利用图像法求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图像平移得到， ∴． ∵一次函数的图像经过点， ∴． ∴． ∴这个一次函数的解析式为． （2）解：由题意，得：时直线在直线的下方， 如图：当直线在之间时，满足题意： 当与平行时，， 当过点时：， ∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 5．（2023·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于，与轴交于． (1)求、点坐标； (2)点关于轴的对称点为点，将直线沿轴向上平移个单位，得到直线，当时都有直线的值大于直线的值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2023年北京市平谷区中考二模数学试题 【分析】（1）分别求出当时y的值，当时x的值即可得到答案； （2）先求出直线的解析式为，进而求出直线l的解析式为；解不等式得，再根据题意可得时不等式的一个解集，则，即可求出． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴ （2）解：∵点A关于y轴的对称点为点C， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为 ∵将直线沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，得到直线l， ∴直线l的解析式为； 解不等式得， ∵当时，都有直线的值大于直线的值， ∴是不等式的一个解集， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象的平移问题，一次函数与一元一次不等式，灵活运用所学知识是解题的关键． 6．（2025·北京燕山·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移3个单位长度得到． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年北京市燕山区初中毕业年级质量监测（一）数学试题 【分析】（1）根据一次函数平移的性质分析，即可得到答案； （2）根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵一次函数的图象由函数的图象向上平移3个单位长度得到 ∴ ， ∴这个一次函数的解析式为； （2）假设时， ∴ 如下图： ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴m的取值范围是． 题型2 一次函数求解析式 考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 7．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该函数的解析式为，点； (2)的取值范围为． 【来源】2025年北京市初中学业水平考试数学试卷（白卷） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）把代入，得，把点代入，得，解得，再结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得， ， 解得， ∴该函数的解析式为， 当时，， ∴点； （2）解：把代入，得， ∴把点代入，得， 解得， ∴， 如图， 当时，函数的值大于的值， ∴的取值范围为． 8．（2024-2025·北京中国人民大学附属中学·模拟）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】北京市中国人民大学附属中学2024—2025学年九年级下学期6月模拟数学试卷 【分析】本题考查一次函数解析式的求解及不等式恒成立问题，结合“存在整数间隔”的条件，分情况讨论系数符号，从而确定参数范围是解答本题的关键． （1）先利用函数图象过点直接求出，再将点代入含的解析式，通过解方程求出，即可求得函数的解析式； （2）先将已知条件转化为对所有恒成立，且与之间存在整数，再整理得到关于的不等式，然后分、、三类讨论，通过代入特殊值验证和不等式推导，最终确定的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入得：， 解得， ∴函数； （2）解：当时，对每一个的值，需存在整数满足， ∵对所有成立， ∴， 整理得， 分三种情况讨论： ①当时，取（满足），则 ，， 此时，不符合题意，舍去； ②当时，，则对于： ， ∵， ∴， ∴，即恒成立， 同时，说明与之间必然存在整数，符合题意； ③当时，取（满足），则 ，， 此时， 若，则，与之间不存在整数，不符合题意，舍去； 综上，的取值范围为． 9．（2025·北京三帆中学·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【来源】2025年6月北京市三帆中学中考三模数学试卷 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由函数解析式可得直线与直线都经过点，由直线经过点，可知当直线经过点或时，有，求出的值再结合函数图象解答即可求解； 两种情况解答即可； 本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，理解题意并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴直线与直线都经过点， 当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点或时，有，画图如下： 当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵当时，对于的每一个值，， ∴或． 10．（24-25·北京师大附中·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴该函数的解析式， 当时，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴， 解得． 11．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 【答案】(1)函数的解析式为， (2)1 【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点和代入得： ， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为3， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于3， 所以当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 12．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与函数的图象交于点． (1)求m的值和函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，函数的解析式为； (2)且． 【来源】2024年北京市朝阳区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）把代入，求出m，把，代入，求出a、b即可； （2）可判断经过顶点，再由当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，得出函数夹在和之间，且在右边，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴． ∵函数的图象经过点，， ∴ 解得 ∴函数的解析式为． （2）解：∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴且． 题型3 一次函数求参数取值范围 考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关键．找到临界值是解答的诀窍。 13．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时．对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为 (2) 【来源】2024年北京市海淀区九年级中考一模数学试题 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入中，求得，则；将代入中求得，则，作出图象，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入得： ， 解得， 该函数的解析式为； （2）解：将代入中， 解得， 此时函数解析式为 将代入中， 解得， 此时函数的解析式为， 如图，    由于当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 根据图象可得直线与直线的交点的横坐标不小于1， ． 14．（2024·北京师大附实验中学·零模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2024年北京师范大学附属实验中学中考零模数学试题 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可． （2）根据函数图象得出当时，对于的每一个值，函数，即可求出的取值范围． 【详解】（1）把和代入中， 得， 解得， 该函数的解析式为； （2）由（1）知：当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 当时，对于的每一个值，函数， ， 解得， 的取值范围是． 15．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2024年北京市房山区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式； （2）根据点结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：把代入，求得， ∴函数与一次函数的交点为， 把点代入，求得， 当两直线平行时，， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 16．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，当时，对于的每一个值，函数的值小于0，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【来源】2024年北京市东城区中考二模数学试题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式，根据题意列出不等式组是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出不等式组，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：函数的图象经过点和， ， 解得：， 该函数的解析式为； （2）解：当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ，， 解得：， 当时，对于的每一个值，函数的值小于0， ， 解得：， ． 17．（2024·北京人大附中朝阳学校·三模）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】2024年北京市人大附中朝阳学校中考三模数学试题 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用， （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知：点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 当时，， ∵当时，函数的值大于函数的值且小于5， ∴， 解得：． 18．（24-25九下·北京西城三帆中学·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象平行于直线，且经过点， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∵，当时，， ∴直线与轴的交点为：， 当直线过点时，，解得：， 由题意可知：当时，直线，始终在直线的下方， 如图：    由图可知：当时，满足题意； ∴． 题型4 一次函数与反比例函数综合 考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段最短，图象法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键． 19．（25-26九上·北京景山学校景西实验中学·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像的一个交点为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)y (2) 【来源】北京市景山学校景西实验中学2025-2026年上学期九年级期末数学试卷 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用、待定系数法求函数解析式、函数图像上点坐标的特征、函数的增减性等知识点，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）求出，再代入y得，即可求得反比例函数解析式； （2）由当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，即对任意，不等式恒成立，即且恒成立；再根据函数和在时是减函数，然后根据函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：当时，，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值， ∴对任意，不等式恒成立，即且恒成立， ∵函数在时，是增函数， ∴， 要使恒成立，则n必须小于或等于函数在该范围的下界，即； ∵函数在时，是减函数， ∴当时，， 要使恒成立，则n必须大于或等于函数在该范围的上界，即， 综上，n的取值范围是． 20．（25-26九年级上·北京东直门中学·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求该反比例函数的解析式； (2)①用含有k的式子表示b为______； ②当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：①∵一次函数的图象过点， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴一次函数， 解方程组得得，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴， 解得， 则k的取值范围是． 21．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可得点，再把代入，即可求解； （2）分别求出当时，函数图象与一次函数的图象与函数的图象的交点，可求出对应的n的值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ∴，解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 观察图象得：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，的取值范围为． 22．（2024·北京三帆中学·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图像的一个交点为点． (1)当点的坐标为，求和的值； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【来源】2024年北京市三帆中学中考模拟数学试题（2.5模） 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式，再将所得点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）根据题意，时一次函数的值大于反比例函数的，将分别代入反比例函数和一次函数，据此可解决问题． 【详解】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， ∴点的坐标为， 将点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得． （2）将代入得， ． 将代入中得， ． ∵当时，对于的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值， ∴， 解得， 所以的取值范围是． 23．（24-25九下·北京清华附中·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得：， ∴； （2）①当时， ∵当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， 即：当时，双曲线在的上方， 当经过时，， ∴当时，满足题意； ②当时，双曲线过二，四象限， 当时，反比例函数的函数值大于0，直线的函数值小于等于，满足题意； 综上：或． 24．（24-25·北京东直门中学·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B． (1)若点，求该一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵反比例函数的图象过点， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的图象过点， ，. 解方程组，得，， 由题意得，， 解得， 则k的取值范围是． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：40分钟） 1．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：将点和代入中得： ， 解得：， ∴该函数解析式为：； （2）解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意， ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于0， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意画出函数图象，利用临界点求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入得， ， 解得， ∴； （2）解：当时，， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当经过时满足题意， ∴， 解得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于0， ∴当过点时满足题意， ∴， 解得， 综上，满足条件的的取值为． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k、b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）由（1）得，由得到，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴ 将点、代入，得 解得 答：的值为1，的值为． （2）解：由（1）得， ∵当时，的值恒大于的值， ∴对所有成立， 整理得， ①当时，， ∴不等式可化为， ∵要对所有的都成立， ∴． 解得， ∴． ②当时，不等式变为，即， 此时x可取任意实数，该式恒成立，故符合题意， ③当时，， ∴不等式可化为，即， ∵要对所有成立，这是不可能的， 如：当时，与矛盾， ∴此时无解， 即时，不符合题意； 综上所述，或， ∴m的取值范围是． 4．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与y轴交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于6，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及解不等式组，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解； （2）根据题意得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴函数的解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为； （2）解：由题意得，， ∴且， ∵， ∴且， ∴． 5．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若当时，，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数与坐标轴的交点问题． （1）函数图象经过原点的条件是时，，代入函数表达式可建立关于m的方程，解此方程即可得m的值； （2）两直线平行的关键特征是一次项系数相等，因此令给定函数的一次项系数等于已知直线的，建立方程求解m； （3）求函数图象与坐标轴的交点，需令和代入函数表达式求出m的值，得到函数解析式，再令即可求得与x轴的交点． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， ∴． （2）解：∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴． （3）解：∵当时，， ∴， ∴，则函数关系式为， 当时，，解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 一次函数与不等式综合 ◆ 的父的 内容导航 第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块★重难考向★考法解读/考向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理★典例验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 考向一次函数 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 …◆净父◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 预测今年第一问考查待定系数法求解析式（常涉及函 中考数学中一次函数点主要考向分为两类： 数图象平移，如“由某函数平移得到”)：第二问考 一、一次函数相关性质（每年1道，6分）： 查参数取值范围，核心是“图象法”解决不等式恒成 二、一次函数与其他知识综合（每年1题，6 立问题。给定一个含参一次函数，在某个自变量范围 分)； 内，要求一个含另一次函数的函数值恒大于（或小 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等。 于) 原函数，求参数范围。 题型1一次函数平移相关 题型2一次函数求解析式 一次函数解答题 题型3一次函数求参数取值范围 题型4一次函数与反比例函数综合 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 考向一次函数 。题型1一次函数平移相送 回棉素妙计 考查一次函数的综合应用.熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关 键 (2025北京房山，二模)在平面直角坐标系xO,中，一次函数y=:+bk≠0)的图象由函数y=}x的图 象平移得到，且经过点(3,3). (1)求这个一次函数的解析式： (2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=x+2的值与一次函数y=+b(k≠0)的值之差的绝对值大于 1,直接写出n的取值范围。 2.(2023北京延庆一模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b(k≠0)的图象由正比例函数 少=2的图象平移得到，且经过点(2,3 (1)求k,b的值： (2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mr-2(m≠0)的值小于一次函数y=a+bk≠0)的值，直接写 出m的取值范围. 3.(2025北京密云·一模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=0+b(k≠0)的图像由函数y=x的图像平 移得到，且经过点(1,3). (1)求k,b的值： 3 (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=2x-2的值且小于函数y=:+b的 值，直接写出m的取值范围。 4.(2023北京石景山一模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=x的图 像平移得到，且经过点A(1,3) (1)求这个一次函数的解析式： (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于函数y=x+b(k≠0)的值，直接写出m的取 值范围. 5.(2023北京平谷·二模)在平面直角坐标系xO少中，直线y=-x+1与x轴交于A,与y轴交于B. (1)求A、B点坐标： 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点A关于y轴的对称点为点C,将直线BC沿y轴向上平移(t>0)个单位，得到直线1，当x>-2时都有 直线I的值大于直线y=-x+1的值，求t的取值范围. 6.(2025:北京燕山：一模)在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=:+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图 象向上平移3个单位长度得到. (1)求这个一次函数的解析式： (2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=+b的值，直接写出m的取 值范围， 。题型2一次函数求解析式 回锦豪妙计 考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此 题的关键. 7. (2025北京中考)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=r+b(k≠0)的图象分别与x轴，y轴交于 A(-1,0),B(0,1)两点，与直线x=-2交于点C. (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=-mx+4(m>0)的值大于y=r+b的值，直接写出m的取值范 围. 8.(2024-2025北京中国人民大学附属中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，函数片=kx+b(k≠0)的图 象过点 6,2和(0，-1) (1)求函数=kx+b(k≠O)的解析式： (2)已知函数为=mx(m≠0)，若当x>-2时，对每一个x的值，都有整数n,使得>n>成立，直接 写出m的取值范围， 9.(2025北京三帆中学三模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数，=x+b(k≠0)的图象由函数 y=x的图象平移得到，且经过点(3,3)· (1)求这个一次函数的解析式： (2)已知函数y2=x+2,当x>3时，对于x的每一个值，y-2≥1，直接写出n的取值范围 10.(24-25北京师大附中·二模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点A3,7), B(-1,-1),且与y轴交于点C. 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该函数的解析式及点C的坐标： (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=-x+n的值大于函数y=x+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范 围. 11.(2025北京丰台二模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点(2,1)和(0，-1)， 与过点(0,3)且垂直于y轴的直线交于点A· (1)求该函数的解析式及点A的坐标： 2)当x<4时，对于x的每一个值，函数y=2x+n的值大于函数y=:+k≠0的值且小于3，直接写出 n的值. 12.(2024北京朝阳，二模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=心+b(a≠0)的图象经过点(-1,4)，与函 数y=2x的图象交于点(，m). (1)求m的值和函数y=ar+b(a≠O)的解析式： (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=-k+2(k≠0)的值大于函数y=x+b的值，且小于函数 y=2x的值，直接写出k的取值范围. 题型3一次函数求参数取值范围 回棉豪炒竹 考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关键.找到临 界值是解答的诀窍。 13. (2024北京海淀一模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点A(L,2)和B(0,1)」 (1)求该函数的解析式： (2)当x<1时.对于x的每一个值，函数y=mx-1(m≠O)的值小于函数y=c+b(k≠0)的值，直接写出m的 取值范围 14.(2024北京师大附实验中学零模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点 A(-2,-2)和B(1,4)」 (1)求该函数的解析式： (2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=2r+m的值小于函数y=+bk≠0)的值，直接写出n的取值 范围。 15.(2024北京房山二模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=a+b(k≠0)的图像经过点(4,1和 (0,-1. 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求这个一次函数的解析式： (2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+b(k≠0)的值，直接写出 m的取值范围。 16.(2024北京东城二模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A1,0)和 B(2,1. (1)求该函数的解析式： (2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mr+2的值小于函数y=c+b(k≠0)的值，当x<-1时，对于 的每一个值，函数y=m心+2的值小于0，直接写出m的值. 17.(2024北京人大附中朝阳学校三模)在平面直角坐标rOyxOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过 点A(0,1和B(1,2),与过点(04)且平行于x轴的直线交于点C. (1)求该函数的解析式及点C的坐标： ②当(<3时，对于x的每一个值，函数号x+刀的值大于函数)y=+6K0的值且小于5，直接写 出n的取值范围. 18.(24-25九下·北京西城三帆中学.二模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b(k≠0)的图象平 行于直线y=2x，且经过点A2,2· (1)求这个一次函数的解析式： (2)当x≤2时，对于x的每一个值，一次函数y=a+b(k≠0)的值大于一次函数y=mx-1(m≠0)的值，直 接写出m的取值范围. 。题型4一次函数与反比例函数综合 回棉豪妙竹 考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段最短，图象 法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键. 19.(25-26九上·北京景山学校景西实验中学期末)在平面直角坐标系xO少中，一次函数y=x-2的图像 与函数y=二的图像的一个交点为A(a,1) 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的表达式： (2)当x>4时，对于x的每一个值，函数y=(n≠0)的值大于函数y=的值，且小于一次函数y=x-2 的值，直接写出n的取值范围。 20.(25-26九年级上·北京东直门中学期末)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=c+b(k>0)与反比 例函数y=”m≠0)的图象交于点A1,6和点B. x (1)求该反比例函数的解析式： (2)①用含有k的式子表示b为一： ②当x<-3时，对于x的每一个值，函数y=(m≠0)的值大于一次函数)=+bk>0的值，直接写出 k的取值范围 21.《2025北京朝阳二模)在平面直角坐标系xO中，一次函数y=红-2kk≠0)的图象与函数-的 图象的一个交点为Aa,l」 (1)求一次函数的表达式： 3 (2)当x>4时，对于x的每一个值，函数y=x(n≠0)的值大于函数y=元的值，且小于一次函数y=-2k 的值，直接写出n的取值范围。 2.(2024北京三帆中学二模)在平面直角坐标系0中，一次函数y=:+1川k≠0)与反比例函数=月 图像的一个交点为点M. (1)当点M的坐标为(1，m),求m和k的值： ②当>1时，对于的每一个值，一次函数y=和+1k≠0的值大于反比例函数-2的值，直接写出 的取值范围， 23.(24-25九下·北京清华附中.一模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b(k≠0)的图象经过点 A-1,-4和B(1,0) (1)求该一次函数的解析式： (2)当x≤-1时，对于，的每一个值，反比例函数y=四(m≠0)的值大于一次函数y=红+k≠0的值，直 接写出m的取值范围. 24.(24-25北京东直门中学二模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b(k>0)与反比例函数 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x(m≠0)的图象交于点4A1,6)和点B. (1)若点B(-6,-),求该一次函数和反比例函数的解析式： 2当x<-3时，对于，的每一个值，函数y-m≠0的值大于一次函数，=k红+bk>0的值，直接写出 k的取值范围 重·难●提●分●必●刷 (建议用时：40分钟) 1.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点A1,2)和B0,-1). (1)求该函数的表达式： (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值且大于0，直接写出n 的取值范围， 2.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点A1,2)和B(0,-1. (1)求该函数的表达式： (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于函数y=x+b(k≠0)的值且大于0，直接写出n 的取值范围， 3.在平面直角坐标系xO中，函数y=a+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点1，-. (1)求k、b的值： (2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x+1(m≠0)的值都大于函数y=cx+b(k≠0)的值，直接写出 m的取值范围， 4.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点A(3,5),B(-2,0),且与y轴交于点C. (1)求该函数的解析式及点C的坐标： (2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=2x+”的值大于函数y=x+b(k≠0)的值且小于6，直接写出 n的取值范围. 5.已知函数y=(2m+x+m-3 (1)若函数图象经过原点，求m的值： (2)若函数的图象平行于直线y=3x-3,求m的值： (3)若当x=2时，y=4,求该函数图象与x轴的交点坐标. 7/7