第6章 对概率的进一步认识 章末复习-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

由表可知，P数字的积为奇数)-号-号 共有12种等可能的结果，其中对于任意正整数之，此三角 形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为 (2)列表如下： 93 2 3 9,其概率为12=4 1 1=1 1<2 1<3 8.解：(1)淇淇走到十字道口A向北走的概率为3 2>1 2=2 2<3 (2)如图所示： 3 3>1 3>2 3=3 开始 由表可知，P(小明获胜)= 3,P(小亮获胜)= 3P(小 1 道口A 直 左 明获胜)=P(小亮获胜)，游戏规则对双方公平. 下一道口直左右直左右直左右 5解：①号 结果朝向西南北南东西北西东 (2)画树状图如下： 共有9种等可能的结果，淇淇经过两个十字道口后向西参 开始 观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果 3 3 3 有2种，向东参观的结果有2种，∴向西参观的概率为 个、个个 b -323-323-323 3,向南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概 共有9种等可能的结果，其中，b均为正数有4种结果，所 案-2 ∴向西参观的概率较大 以直线y=k虹十b不经过第四象限的概率为导 培优专题24：概率与统计的综合应用 培优专题23：概率创新问题探究 1.解：(1)969694.5 1.c2号3 (2)设八(1)班学生为A1,A2,八(2)班学生为B,B2,B.画 4.解：不正确.理由：因为利用频率估计概率的试验次数必须 树状图如下： 足够多，大量重复试验，频率才慢慢接近概率，而他们的试 开始 验次数太少，所以小红的说法不正确。 第1人 5解：12后 (3)锐锐每道题各用一次“求助”，分别 第2人A2B1B2BAB1B2BA1A2B2B3A1A2B1BA1A2B1B 共有20种等可能的结果，其中两人来自不同班级的结果有 用A,B表示第一道单选题剩下的2个选项，用a,b,c表示 12 第二道单选题剩下的3个选项，画树状图如下： 12种，所以这两个决赛名额落在不同班级的概率是 20 开始 3 第一道题 第二道题 2.解：(1)8020 共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的结果只有1种，所 (2)640×16+4=160(人)，估计劳动时间在2≤1≤3（单 80 1 以锐锐顺利通关的概率为 位：小时)范围的学生有160人， 6.(1)10 (2P=2 (3)画树状图如下： 开始 7.解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为(4x十2z 十3y)一(3x+2y十4z)=x+y一2z,画树状图如下： 第1名 开始 第2名男女女男女女男男女男男女 共有12种等可能的结果，其中抽到1名男生和1名女生的 结果有8种，“恰好轴到1名男生和1名女生的概率为是 ·26·同行学案学练测 2 所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于 =3 2的情况有(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)，(32)，（2,3)，(3， 3.解：(1)50857.6 (2)略 3》,43,63,0,,0,共10种，故小明获胜的艇率为吕 (3)由于这两组的人数相同，所以随机抽取一个成绩，抽到 每个组的可能性相等，画树状图如下： 则小刚获胜的概率为子“日≠号“这个游戏对 5 开始 两人不公平 第一次 不合格 优秀 5a号 (2)P=1 9 6.B7.②③ 第二次不合格 优秀不合格 优秀 8.解：(1)14(2)1040144 共有4种等可能的结果，其中有1种结果是符合要求的，所 (3)列表如下： 以两次抽到的成绩都在优秀这一组的概率为4· 1 01 a2 b2 4.解：(1)18÷36%=50（名） (a2,a1)(b1,a1)(b2,a1) (2)500X50-(2+18) =300(名). a2 (a1,a2) (b1,a2)(b2,a2) 50 b (a1,b1)(a2,b1) (b2,b1) (3)画树状图如下： 开始 b2 (a1,b2)(a2,b2)(b1,b2) 第1人 共有12种等可能的结果，其中恰好选取的是a1和b1的结 21 果有2种，∴恰好选取的是a1和b1的概率为2-6： 共有20种等可能的结果，恰好选中A类与D类各1人的 40 结果有12种，则其概率为号号。 9解：1)n=40%=100,D等级的人数=100-40-15 10=35.条形统计图补充如下： 章末复习 考点整合 ↑人数 50 1c2号 40 40 35 0 3解：a号 (2)画树状图如下： 20 15 10 开始 0 B C D等级 A盒 B盒 (2)2000×10+35 900(人)，.学校每周参加课外兴趣小 100 C盒红蓝红蓝红蓝红 蓝红蓝红蓝 组活动的累计时间不少于4小时的有900人. 共有12种等可能的结果，摸出的3个球中至少有1个红球 (3)设A等级2人分别用A1,A2表示，D等级2人分别用 的结果有10种，∴.摸出的3个球中至少有1个红球的概率 D,D2表示，画树状图如下： 105 为126 开始 4.解：这个游戏对两人不公平理由：列表如下： 第1人 1 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 第2人A2D1D2A1D1D2A1A2D2A1A2 D (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 共有12种等可能的结果，而选出的2人均属D等级的结 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 21 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 果有2种，“P(选出的2人均属D等级)=26 数学思想 3BC-/3,AC-2BC-2.m-90x290xX(3) 360 360 1(1)示例：△DFHF(②)号 [×1xs0]-2 360 2 2.(1)(4,-1)(2)略. aP是 10.C[解析]，AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.，BC 直击中考 平分∠ABD,∴.∠OBC=∠DBC.OB=OC,.∠OCB 1.D2.B3.B4.D5.A6.C7.C =∠OBC,∴.∠DBC=∠OCB,∴.OC∥BD,故选项A成 1 1 1 10.0.9311.312. 立；·OC∥BD,.∠AFO=∠ADB=90°，即AD⊥OC 故选项B成立；AD⊥OC,AF=FD,故选项D成立； 13.解：1)号 (2)画树状图如下： ,△CEF和△BED中，边的关系不确定，△CEF与 开始 △BED不一定全等，故选项C不一定成立. 甲 剪刀 石头 1.262918.0814装 乙剪刀石头布剪刀石头布剪刀石头布 15.2161617.2- 18.135° 共有9种等可能的结果，其中乙不输的结果有6种，则乙 19.证明：D,E分别是半径OA,OB的中点，.OD=OE 不输的：率是日-号 OD=OE 在△ODC与△OEC中，CD=CE,'.△ODC≌△OEC 14.a号 (2)P=16 7 OC=OC 15.解：(1)全等三边对应相等的两个三角形全等 (SSS),∴.∠AOC=∠BOC,.AC=CB. (2)画树状图如下： 20.解：(1)连接OQ..OP⊥PQ,PQ∥AB,∴.OP⊥AB.在 开始 Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3tan30°-√3.在 Rt△OPQ中，PQ=√OQ2-OPz=√32-(W3)2=√6. 第一个等式 ① ② (2)连接OQ.PQ2=OQ2-OP=9-OP2,.当OP最 第二个等式②③①③①② 小时，PQ最大，此时OP⊥BC,OP=OB·sin∠ABC= 共有6种等可能的结果，符合条件的结果有①②，①③， ,4=2 3sn30-号∴PQ长的最大值为√-()-39 ②①，③①，共4种，∴.△ABD2△ACD的概率为6=3： 21,(1)证明：：AB是⊙O的直径，.∠ADB=90°， 16.解：(1)50(2)D主题的人数为50-10-20-5=15，图 ,OCBD,∴.∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD, 略.(3108（(P=子 ∴AE=ED.(2)解：OC⊥AD,AC=CD, .∠ABC=∠CBD=36°，∴.∠AOC=2∠ABC=2X36 17.1)801690°(2)403)p=日 =72,“AC的长=72X5=2元 180 第五章检测题 22.证明：(1)连接OD,OA.,⊙O是等边三角形ABC的外 1.B2.B3.B4.A5.A6.D 接圆，.∠OAC=30°，∠BCA=60°.，AE∥BC, 7.A[解析]连接OE,OF.,⊙O是△ABC的内切圆，E,F ∴.∠EAC=∠BCA=60°，∴.∠OAE=∠OAC+∠EAC 是切点，∴.OE⊥AB,OF⊥BC,.∠OEB=∠OFB=90°. =30°+60°=90°，.EA是⊙0的切线.(2)△ABC :∠B=50,.∠E0F=130°，·∠EPF=2∠EOF 1 是等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=∠ABC=60° =65° ,A,B,C,D四点共圆，∠ADF=∠ABC=60°.DA 8.C =DF,∴.△ADF是等边三角形，∴.AD=AF,∠DAF= 9.B[解析]，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1,∴.AB= 60°，∴.∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠BAD= AB-AC 21.(1)证明：连接CO.,AB是直径，.∠ACB=90°， ∠CAF.在△BAD和△CAF中，∠BAD=∠CAF, ∴.∠OCA+∠OCB=90°.OA=OC,.∠A=∠OCA, AD-AF ∴.∠A+∠OCB=90°.又，∠BCF=∠A,∴.∠BCF+ ∴.△BAD≌△CAF,∴.BD=CF. ∠OCB=90°，即∠OCF=90°，∴.直线CF是⊙O的切线. 23.解：(1)连接OA.直径FD⊥弦AB于点H,AH= (2)解：⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,BC=BD. 分AB=4.设OA=z,在R△0AH中，A02=AP+ :⊙0的半径为5，DB=4,∴.AB=10,BC=4. OH2,即x2=4+(x-2)2,.x=5,∴.FD=20A=10. ∠A=∠D,nD=A-%-是号 (2)EF·CF的值是定值.，直径FD⊥弦AB于点H, 22.解：(1)BCMD.理由：，∠M=∠D,∠M=∠C,∴∠D ∴.AF=BF,∴.∠AEF=∠BAF.·∠AFE=∠CFA, =∠C,.BC∥MD.(2)如图①，连接OC.·AE=16, △FABO△rCA答器AF=EF.CR,在 BE=4,0B=16t4=10,0B=10-4=6.:CD1 2 Rt△AFH中，AF2=AH+FH2=42+82=80,.EF· AB,CE=2CD.在R△0CE中，：OE2+CE- CF=80.(3)连接OE.点E是DBF的中点， OC2,即62+CE2=102,解得CE=8,.CD=2CE=16. ∴.∠FAE=45°，∠EOF=90°，.∠EOH=∠AHG. ∠0GE=∠HGA△0GE△HGA,8器-%. (3)如图②，：∠M=∠B0D,∠M=∠D,∴∠D= 即号-3i0G=号G=0F+0G-9, 号∠0D,即∠POD=2∠D.AB1CD,∠OD+ ∠D=90°，即3∠D=90°，解得∠D=30°. SA=SA元+Sa=2PG.OE+号PG·AH= 合PG.(0E+AHD=号×g×5+0=30 期中检测题 1.B2.C3.A4.B5.C6.C7.D8.B9.B10.C 11.5412.60°13.2π14.65° ② 15.V16.14017.4-5 2 18.元 23.(1)证明：连接OB.OA=OB,∴∠OAB=∠OBA. CP=BC,∴.∠CPB=∠CBP.,∠APO=∠CPB, 19.獬：(1)：∠APD=∠C+∠CAB,.∠C=65°-40°= ∠APO=∠CBP.OC⊥OA,∴.∠AOP=90, 25°，∴∠B=∠C=25°.(2)过点O作OE⊥BD于点 ∠OAP+∠APO=90°，.∠OBA+∠CBP=90°， E,则DE=BE.又：A0=B0,OE=号AD=号×6= ∴∠CBO=90°，.BC是⊙O的切线， 3,即圆心O到BD的距离为3. (2)解：①，∠BAO=25°，.∠AB0=25°，∴.∠AOB= 20.解：(1)由BC为⊙O的直径，得∠CAB=∠BDC=90°.在 180°-∠BA0-∠AB0=180°-25°-25°=130°， Rt△CAB中，BC=10,AB=6,∴.AC=√BC2-AB2= 六∠AQB=2∠A0B=2×130°=65. ②.OA=18, √I0-6=8.AD平分∠CAB,.CD=BD,CD= BD.在Rt△BDC中，BC=10,CD2+BD2=BC2,∴.BD2 ∠AOB=130,·优弧AQB的长=360-130)·元×18 180 =CD2=50,.BD=CD=5√2.(2)连接OB,OD. =23元. ,AD平分∠CAB,且∠CAB=60°，∠DAB= 24.证明：(1)，AB是半圆O的直径，.∠ACB=∠ADB= (BC=AD 2∠CAB=30,∴∠D0B=2∠DAB=60.又：0B= 90°.在Rt△CBA与Rt△DAB中， BA-AB OD,∴.△OBD是等边三角形，∴.BD=OB..⊙O的直径 ∴.Rt△CBA≌Rt△DAB(HL).(2)BE=BF,∠E 为10，.OB=5,∴BD=5. =∠BFE.,BE是半圆O所在圆的切线，.∠ABE= 同行学案学练测·27·同行学案学练测数学九年级下LJ 章末 即考点整合 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 综合运用 考点一：用列表或画树状图的方法求概率 1.三张外观相同的卡片分别标有数字1,2,3，从 中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的 数字恰好都小于3的概率是( ) A司 B司 c 2.(河南中考)如图所示的转盘，被分成面积相 等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜 色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停止 后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线 时，重转)的颜色，则两次颜色相同的概率 是 红 绿 黄 蓝 3.(连云港中考)现有A,B,C三个不透明的盒 子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒 中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝 球各1个，这些球除颜色外都相同.现分别从 A,B,C三个盒子中任意摸出1个球. (1)从A盒中摸出红球的概率为 (2)用画树状图或列表的方法，求摸出的3个 球中至少有1个红球的概率. 102做神龙题得好成绩 复习 4.(青岛中考)小明和小刚一起做游戏，游戏规 则如下：将分别标有数字1,2,3,4的4个小球 放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外 都相同.从中随机摸出1个球记下数字后放 回，再从中随机摸出1个球记下数字.若两次 数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小 刚获胜.这个游戏对两人公平吗？请说明 理由 5.(黄冈中考)甲、乙、丙三市实行中考联合命 题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮 抽签的方式来确定各市选派命题组长的学 科.第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科 中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、 历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市 从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽 取一科. (1)甲市在第一轮抽到语文学科的概率 是 (2)求甲市在第二轮和第三轮抽签中，抽到的 学科恰好是历史和地理的概率. 考点二：用频率估计概率 6.[抽象能力]某学习小组做“用频率估计概率” 的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制 了如下的表格，则符合这一结果的试验最有 可能是( 试验 100 200 300 500: 800:1000:2000 次数 频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333 A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从 中任抽一张牌的花色是红桃 B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出 的是“剪刀” C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的 面点数是5 D.抛一枚硬币，出现反面向上 7.[数据观念]某学习小组做抛掷一枚纪念币的 试验，整理同学们获得的试验数据，如下表 所示： .抛掷次数5010020050010002000：4000：5000 “正面向上” 19:38:68:168:349:707:1400:1747 的次数 “正面向上” 0.380:0.380:0.340:0.3360.349:0.354:0.350:0.349 的频率 下面有三个推断： ①在用频率估计概率时，用试验5000次时的 频率0.349一定比用试验4000次时的频率 0.350更准确； ②如果再次做此试验，仍按上表抛掷的次数 统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频 率有很大的可能仍会在0.35附近摆动； ③通过上述试验的结果，可以推断这枚纪念 币有很大的可能性不是质地均匀的 其中正确的是 .(填序号) 考点三：统计与概率的综合应用 8.(十堰中考)今年5月份，我市某中学开展“争 做五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取 第六章对概率的进一步认识☑ 了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A,B, C,D四个等级，并绘制了如下不完整的频数 分布表和扇形统计图. 等级成绩s/分频数（人数） A90<s≤100 4 n% B80s≤90 x B D 35% 70<s≤80 16 15%/ /m% D s70 6 根据以上信息，解答以下问题， (1)表中的x= (2)扇形统计图中m= ，n= ,C等级对应的扇形的圆心角为 度 (3)该校准备从上述获得A等级的四名学生 中选取两人作为学校“五好小公民”志愿者， 已知这四人中有两名男生（用a1,a2表示）和 两名女生（用b1,b2表示），请用列表或画树状 图的方法求恰好选取的是α1和b1的概率. 做神龙题得好成绩103 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 9.(自贡中考)为了解学生每周参加课外兴趣小 组活动的累计时间t(单位：小时)，学校采用 随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调 查，调查结果按0≤t<3,3≤t<4,4≤t<5, t≥5分为四个等级，分别用A,B,C,D表示. 如图是受损的调查统计图，请根据图上残存 信息解决以下问题， 各等级人数的 各等级人数占调查总 条形统计图 人数的百分比统计图 ↑人数 50 4 40 30 20 10 15% 40% 01 A B D等级 (1)求参与问卷调查的学生人数n,并将条形 统计图补充完整， (2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参 加课外兴趣小组活动的累计时间不少于4小 时的有多少人 (3)某小组有4名同学，A,D等级各2人，从 中任选2人向老师汇报兴趣活动情况.请用 画树状图或列表的方法求这2人均属D等级 的概率。 104做神龙题得好成绩 即数学思想 >>》>》>>>>>>>>核心素养 思想：数形结合思想 1.如图，△ABC的三个顶点及D,E,F,G,H 五个点分别位于小正方形的顶点上， G F H A D E (1)现以D,E,F,G,H中的三个点为顶点画 三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等 但面积相等的三角形是 .(只需要填 一个三角形) (2)先从D,E两个点中任意取一个点，再从 F,G,H三个点中任意取两个不同的点，以所 取的这三个点为顶点画三角形，则所画三角 形与△ABC面积相等的概率为 2.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正 方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐 标系，△ABC的三个顶点均在格点上 (1)若将△ABC沿x轴翻折得到△A1B1C1, 则C1的坐标为 (2)以点B为位似中心，将△ABC各边放大 为原来的2倍，得到△A2BC2,请在这个网格 中画出△A2BC2. (3)在(2)的条件下，若小明蒙上眼睛在一定 距离外，向10×10的正方形网格内掷小石 子，则刚好掷入△A2BC2的概率是多少？