第6章 3 培优专题22：易错疑难集训&培优专题23：概率创新问题探究-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

培优专题22： 易错点一：频率与概率 1.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确 的是() A.每2次必有1次正面向上 B.可能有5次正面向上 C.必有5次正面向上 D.不可能有10次正面向上 2.在一个有五十万人的城市，随机调查四千人， 其中八百人看早报，在该城市随机询问一人， 他看早报的概率大约是 易错点二：模拟试验 3.甲同学做抛正四面体骰子（如图，均匀的正四 面体形状，各面分别标有数字1,2,3,4)的试 验，共抛了60次，向下的数字出现的次数如 下表： 向下的数字 1 23 :4 出现次数 11161815 (1)此试验中出现向下的数字为4的频率 为 (2)如果甲、乙两同学各抛一枚这样的骰子， 则两枚骰子向下的数字之和为3的倍数的概 率为 易错点三：“放回”与“不放回 4.一个不透明的袋中装有3个球，这3个球分别 标有数字1,2,3，这3个球除了数字外完全 相同. (1)若一次摸出2个球，用画树状图或列表的 方法求摸出的2个球标有的数字的积为奇数 的概率， (2)小明和小亮玩摸球游戏，游戏规则如下： 先由小明随机摸出1个球，记下数字后放回， 搅匀后再由小亮随机摸出1个球记下数字， 谁摸出的球标有的数字大，谁获胜.请你用画 第六章对概率的进一步认识☑ 易错疑难集训 学 树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是 否公平. 力 5.在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球 上分别标有数一3,2,3，它们除了标有的数不 同外，其他都相同. 能力 (1)若随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出 的球为标有数2的小球的概率为 (2)若小明先从布袋中随机摸出一个小球，记 下该数作为的值，再把此小球放回袋中搅 匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下 该数作为b的值，请用画树状图或列表的方 法写出，b的所有可能的值，并求出直线 y=x十b不经过第四象限的概率， 做神龙题得好成绩 97 同行学案学练测数学九年级 下LJ 培优专题23：概 学 1.我们把十位上的数字比个位、百位上的数字 养 都要小的三位数定义为“凹数”.如“859”就是 一个“凹数”.如果十位上的数字为2，那么从 1,3,4,5中任选两数，能与2组成“凹数”的概 率是( 能 力 c 运算能 2.如图，一小球从M处投人，通过管道自上而下 落到A或B或C.已知小球从每个岔口落入 左、右两个管道的可能性是相同的，那么投人 一个小球，落到B的概率是 念 推 视频讲解 B 3.有一个“小兔跳跳”游戏，“小兔”只能在甲、 念 乙、丙三个树洞随机跳来跳去，且从一个树洞 跳到其余两个树洞的机会是均等的.现在“小 兔”在甲树洞，则“小兔”从甲树洞开始跳两次 念 后，又回到甲树洞的概率为 4.小明和小红在学习概率时，做掷骰子（质地均 识 匀的正方体)试验.他们在一次试验中共掷骰 创 子60次，试验的结果如下： 朝上的点数 123 45 6 出现的次数 796 820 10 小红说：“根据试验，出现5点朝上的概率最 大.”她的说法正确吗？为什么？ 98 做神龙题得好成绩 率创新问题探究 5.锐锐参加某市电视台组织的智力竞答节目， 答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单 选题有3个选项，第二道单选题有4个选项， 这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两次“求 助”可以用（使用“求助”一次可以让主持人去 掉其中一道题的一个错误选项)， (1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使 用，那么锐锐通关的概率是 (2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使 用，那么锐锐通关的概率是 (3)如果锐锐每道题各用一次“求助”，请用画 树状图或列表的方法来分析他顺利通关的 概率. 6.(盐城中考)圆周率π是无限不循环小数.历 史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 π有过深人的研究.目前，超级计算机已计算 出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发 现，随着π小数部分位数的增加，0~9这10个 数字出现的频率趋于稳定，接近相同. (1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计 数字是6的概率为 (2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位数 学家的画像中随机选用2幅，求其中有1幅画 像是祖冲之的概率 7.(成都中考)我们对一个三角形的顶点和边都 赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发， 沿顺时针或逆时针方向依次将顶，点和边的特 征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为 此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和.如图 ①，ar十cg十bp是该三角形的顺序旋转和， a饣十bg十cr是该三角形的逆序旋转和.已知 某三角形的特征值如图②，若从1,2,3中任 取一个数作为x,从1,2,3,4中任取一个数作 为y,则对任意正整数之，此三角形的顺序旋 转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 多少？ 2 ① ② 第六章对概率的进一步认识☑ 8.(河北中考)某博物馆展厅的俯视示意图如图 数 ①所示.淇淇进人展厅后开始自由参观，每走 到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转 素 或向右转，且这三种可能性均相同 (1)求淇淇走到十字道口A向北走的概率. (2)补全图②的树状图，并分析淇淇经过两个 十字道口后向哪个方向参观的概率较大， 象能 北 ，东 力 出 其淇 运算能力 ① 开始 道口A 直 左 下一道口直 几何直观·空间观念·推理能力 结果朝向西 ② ·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 做神龙题得好成绩 9910.解：(1)42或3(2)根据题意，得 6十m4 10 5,解得m= 2r,CF=√2r,∴.这个点取在阴影部分的概率是 2,.m的值为2. r2-(W2r)2_x-2 (2r)2 4 11.解：1)2 (2)画树状图如下： 开始 第三局获胜 甲 第四局获胜 14. 3 第五局获胜 共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局的结果数为 15. 4 [解析]根据正方形的性质可得∠MBO=∠NCO= 7,所以甲队最终获胜的概率是8 45°，OB=O℃，∠BO℃=90°，通过角的计算可得出∠MOB 培优专题21：概率与代数、几何图形的综合 =∠NOC,由此即可证出△MOB≌△NOC,从而可得 .1 1号2 S朝影=4SE方形Am,再根据几何概率的计算方法即可得 出结论. 3.解：(1)列表如下： 12 -2 16.13 78 (1,-2) (1,3) *3用频率估计概率 -2 (-2,1) (-2,3) 第1课时用频率估计概率 3 (3,1) (3,-2) 1.A (2)由表可知，共有6种等可能的结果，其中点A落在第四 2.(1)0.520.500.520.520.490.510.50 (2)0.5 象限有2种结果，所以点A落在第四象限的概率为 2 3.D4.A 5.解：(1)4件同型号的产品中，有1件不合格品， 4.C5.C6.(1)D @A1.号 ·P(抽到的是不合格品)= 4 (2)画树状图如下： 8.解：根据展开图可知，1与4相对，2与5相对，3与6相对 第1件 不合格 画树状图如下： 开始 第2件合格，合格2合格：不合格合格：合格：不合格合格1合格：不合格合格1合格： 上面 共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的结果有 下面 4 6种，P(抽到的都是合格品)=12=2· 61 (3):大量重 共有6种等可能的结果，朝上一面的数恰好等于朝下一面 复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴.抽到合 的数的}的结果有1种，所以朝上一面的数恰好等于朝 格品的概率约等于0.95十-0,95，解得工=16， 1 1 下一面的数的2的概率为 的值大约是16. 9.B10.B11.C12.B 1 6.6 7.0.9 13.2 4 [解析]如图，连接OA,OC,作OD⊥CF,OB⊥ 8解：(1)参加此项游戏得到玩具的领率是80=马 400=5, AE,设⊙O的半径为r.,⊙O是小正方形的外接圆，是 大正方形的内切圆，∴.OB=OC=r,△AOB,△COD是等 (②设袋中共有x个球，则摸到红球的概率为至.：8 腰直角三角形…AB-0B=7,0D-CD-号AE 号，解得x=40,∴袋中白球的数量接近40一8=32（个）。 9解：2点制上的颜率为点-015,4点朝上的频率 6.解：小英设计的模拟试验比较合理.小海选择的啤酒瓶盖 质地不均匀；小东操作转盘时试验次数太少，没有进行大 为品-16（②）小明的说法错误，因为只有当试验的 量重复试验 7.解：(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求.理由：分别用黄1、 次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概 黄2、白1、白2、白3表示这5个球.从中任意摸出2个球， 率附近；小亮的说法错误，因为事件发生具有随机性.（理 可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、 由合理即可)（③）P(小明投宽点数不小于3)-音-号。 (黄1，白3)、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1， 10.解：(1)480.81(2)这名运动员射击一次时“射中9环 白2)、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可 以上”的概率约为0.8.理由：从频率的波动情况可以发现 能性相同.所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记 频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中 为事件A的结果有1种，即（黄1，黄2），所以PA)=0 9环以上”的概率约是0.8.（理由合理即可） 即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%. 第2课时用频率估计概率的应用 (2)示例：如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄 1.0.92 色，其余的区域涂上白色.顾客每购买一台该型号电视机， 2.解：(1)0.950.95(2)如图所示： 可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘 m 合格的频率 停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得 0.98 小奖.若指针指向分界线，重新转动，直到指向某一区域 0.96 0.94 为止 0.92 0.90 02004006008001000抽取足球数n 白色 369 黄色 (3)从这批足球中任意抽取1个是合格品的概率的估计值 是0.95.理由：因为从折线统计图中可知，随着抽取足球数 的增大，合格的频率逐渐稳定在常数0.95附近，所以从这 培优专题22：易错疑难集训 批足球中任意抽取1个是合格品的概率的估计值是0.95. 1.B2.5 (理由合理即可) 3.1004.(1)0.30.7(2)70个. [解析](1)出现向下的数字为4的频率为 5.16.560 7.解：(1)0.250.34(2)如图所示： 品-子·(2)两枚股子向下的数字之和的所有等可能的结 ↑出现红色球的频率 果如下表所示： 1.0 0.9 2 4 0.8 0.7 2 3 4 5 0.6 0.5 4 6 0.4 0.3 3 4 5 6 0.2 0.1F 6 7 04080120160200240280320360400摸球次数 共有16种等可能的结果，和为3的倍数的结果有5种， (3)随着摸球次数的增大，出现红色球的频率逐渐趋于稳 P(和为3的倍数)=16 定（合理即可） 8解：0.5（②号 4.解：(1)列表如下： 2 3 (3)π×1X3=3π（平方米）.答：估计整个封闭图形ABCD 3 的面积为3π平方米. 第3课时通过模拟试验估计概率 6 1.A2.D3.1~124.B5.0.250.50 6 同行学案学练测·25· 由表可知，P数字的积为奇数)-号-号 共有12种等可能的结果，其中对于任意正整数之，此三角 形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为 (2)列表如下： 93 2 3 9,其概率为12=4 1 1=1 1<2 1<3 8.解：(1)淇淇走到十字道口A向北走的概率为3 2>1 2=2 2<3 (2)如图所示： 3 3>1 3>2 3=3 开始 由表可知，P(小明获胜)= 3,P(小亮获胜)= 3P(小 1 道口A 直 左 明获胜)=P(小亮获胜)，游戏规则对双方公平. 下一道口直左右直左右直左右 5解：①号 结果朝向西南北南东西北西东 (2)画树状图如下： 共有9种等可能的结果，淇淇经过两个十字道口后向西参 开始 观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果 3 3 3 有2种，向东参观的结果有2种，∴向西参观的概率为 个、个个 b -323-323-323 3,向南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概 共有9种等可能的结果，其中，b均为正数有4种结果，所 案-2 ∴向西参观的概率较大 以直线y=k虹十b不经过第四象限的概率为导 培优专题24：概率与统计的综合应用 培优专题23：概率创新问题探究 1.解：(1)969694.5 1.c2号3 (2)设八(1)班学生为A1,A2,八(2)班学生为B,B2,B.画 4.解：不正确.理由：因为利用频率估计概率的试验次数必须 树状图如下： 足够多，大量重复试验，频率才慢慢接近概率，而他们的试 开始 验次数太少，所以小红的说法不正确。 第1人 5解：12后 (3)锐锐每道题各用一次“求助”，分别 第2人A2B1B2BAB1B2BA1A2B2B3A1A2B1BA1A2B1B 共有20种等可能的结果，其中两人来自不同班级的结果有 用A,B表示第一道单选题剩下的2个选项，用a,b,c表示 12 第二道单选题剩下的3个选项，画树状图如下： 12种，所以这两个决赛名额落在不同班级的概率是 20 开始 3 第一道题 第二道题 2.解：(1)8020 共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的结果只有1种，所 (2)640×16+4=160(人)，估计劳动时间在2≤1≤3（单 80 1 以锐锐顺利通关的概率为 位：小时)范围的学生有160人， 6.(1)10 (2P=2 (3)画树状图如下： 开始 7.解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为(4x十2z 十3y)一(3x+2y十4z)=x+y一2z,画树状图如下： 第1名 开始 第2名男女女男女女男男女男男女 共有12种等可能的结果，其中抽到1名男生和1名女生的 结果有8种，“恰好轴到1名男生和1名女生的概率为是 ·26·同行学案学练测 2 所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于 =3 2的情况有(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)，(32)，（2,3)，(3， 3.解：(1)50857.6 (2)略 3》,43,63,0,,0,共10种，故小明获胜的艇率为吕 (3)由于这两组的人数相同，所以随机抽取一个成绩，抽到 每个组的可能性相等，画树状图如下： 则小刚获胜的概率为子“日≠号“这个游戏对 5 开始 两人不公平 第一次 不合格 优秀 5a号 (2)P=1 9 6.B7.②③ 第二次不合格 优秀不合格 优秀 8.解：(1)14(2)1040144 共有4种等可能的结果，其中有1种结果是符合要求的，所 (3)列表如下： 以两次抽到的成绩都在优秀这一组的概率为4· 1 01 a2 b2 4.解：(1)18÷36%=50（名） (a2,a1)(b1,a1)(b2,a1) (2)500X50-(2+18) =300(名). a2 (a1,a2) (b1,a2)(b2,a2) 50 b (a1,b1)(a2,b1) (b2,b1) (3)画树状图如下： 开始 b2 (a1,b2)(a2,b2)(b1,b2) 第1人 共有12种等可能的结果，其中恰好选取的是a1和b1的结 21 果有2种，∴恰好选取的是a1和b1的概率为2-6： 共有20种等可能的结果，恰好选中A类与D类各1人的 40 结果有12种，则其概率为号号。 9解：1)n=40%=100,D等级的人数=100-40-15 10=35.条形统计图补充如下： 章末复习 考点整合 ↑人数 50 1c2号 40 40 35 0 3解：a号 (2)画树状图如下： 20 15 10 开始 0 B C D等级 A盒 B盒 (2)2000×10+35 900(人)，.学校每周参加课外兴趣小 100 C盒红蓝红蓝红蓝红 蓝红蓝红蓝 组活动的累计时间不少于4小时的有900人. 共有12种等可能的结果，摸出的3个球中至少有1个红球 (3)设A等级2人分别用A1,A2表示，D等级2人分别用 的结果有10种，∴.摸出的3个球中至少有1个红球的概率 D,D2表示，画树状图如下： 105 为126 开始 4.解：这个游戏对两人不公平理由：列表如下： 第1人 1 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 第2人A2D1D2A1D1D2A1A2D2A1A2 D (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 共有12种等可能的结果，而选出的2人均属D等级的结 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 21 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 果有2种，“P(选出的2人均属D等级)=26