第6章 3 第2课时 用频率估计概率的应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第2课时用频率 (教材P83 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：用频率估计概率的应用 1.(扬州中考)扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩 具进行质量抽检的结果如下： 抽取的毛 20 50 绒玩具数n 100 :2005001000:1500:2000 优等品的 19479118446292113791846 频数m 优等品 ……………t 的须率m0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923 从这批玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品 的概率的估计值是 (精确到0.01) 2.某批足球的质量检测结果如下： 抽取足球数n200400600 8001000 合格的频数m192384564759950 合格的频率m 0.960.960.94 (1)填写表中的空格.（结果精确到0.01） (2)画出合格的频率的折线统计图。 合格的频率 0.98 0.96 0.94 0.92 0.90 02004006008001000抽取足球数n (3)从这批足球中任意抽取1个是合格品的 概率的估计值是多少？请说明理由.（结果精 确到0.01) 第六章对概率的进一步认识☑ 率估计概率的应用 ~84练习) 知识点二：利用频率与概率的关系设计估算总体 数目的方案 3.(永州中考)在一个不透明的盒子中装有n个 球，它们除了颜色之外其他都没有区别，其中 含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球 摇匀，然后随机摸出1个球，记下颜色后再放 回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红球的 频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大 约是 4.在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同 的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小 组做了摸球试验，他们将30个与红球大小、 质地完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中 随机摸出1个球并记下颜色，再把它放回袋 中，多次重复摸球，下表是多次试验汇总后统 计的数据， 摸球的 150 200 500 900 10001200 次数s 摸到白球 51 64 156 275 303 361 的频数n 摸到白球 的频率20.340.320.3120.3060.3030.301 s (1)请估计：当摸球的次数s很大时，摸到白球 的频率将会接近 ；假如你去摸一次， 你摸到红球的概率是 (精确到0.1) (2)请估算口袋中红球的个数， 做神龙题得好成绩 3 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 5.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的 阴影部分)的面积，画一个边长为2m的正方 形，使不规则区域落在正方形内.现向正方形 内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形 内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷 试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳 定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域 的面积约是 m2. 6.某果农今年的蓝莓大丰收，为了了解自家蓝 莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进 行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质 蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今 年的蓝莓总产量约为800kg,由此估计该果 农今年的“优质蓝莓”产量约是 kg. 7.不透明的袋中装有2个白色球和1个红色球， 每个球除颜色外都相同，每次从袋中摸出 1个球，然后放回搅匀再摸，结果如下表所示： 摸球次数4080120160200：240：280320360400 出现红色： 1420:38:52:67:8697111:120:136 球的次数 出现红色 球的须率0,35 0.32:0.33:0.340.360.350.350.33 (1)完成上表.（精确到0.01） (2)根据上表，画出出现红色球的频率的折线 统计图. 10出现红色球的频幸 0.91 0.8 0.71 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 04080120160200240280320360400摸球次数 (3)观察你画的折线统计图，你发现的规律是 94做神龙题得好成绩 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 8.[创新意识]如图，地面上有 一个不规则的封闭图形 ABCD,为求得它的面积，小 明在此封闭图形内画出一个 半径为1米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭 图形内掷小石子（可把小石子近似地看成 点)，记录如下： 掷小石子的次数 100 200 300 --------------------------- 小石子落在圆内（含 28 64 89 圆上)的次数m 小石子落在圆以外 的阴影部分（含外边 60 125 180 缘上)的次数n (1)当投掷的次数很大时，”的值越来越接近 (精确到0.1) (2)若以小石子所落的有效次数为总数（即 m十n),则随着投掷次数的增大，小石子落在 圆内（含圆上）的频率值稳定在 (3)请你利用(2)中所得频率的值，估计整个 封闭图形ABCD的面积.（结果保留π）10.解：(1)42或3(2)根据题意，得 6十m4 10 5,解得m= 2r,CF=√2r,∴.这个点取在阴影部分的概率是 2,.m的值为2. r2-(W2r)2_x-2 (2r)2 4 11.解：1)2 (2)画树状图如下： 开始 第三局获胜 甲 第四局获胜 14. 3 第五局获胜 共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局的结果数为 15. 4 [解析]根据正方形的性质可得∠MBO=∠NCO= 7,所以甲队最终获胜的概率是8 45°，OB=O℃，∠BO℃=90°，通过角的计算可得出∠MOB 培优专题21：概率与代数、几何图形的综合 =∠NOC,由此即可证出△MOB≌△NOC,从而可得 .1 1号2 S朝影=4SE方形Am,再根据几何概率的计算方法即可得 出结论. 3.解：(1)列表如下： 12 -2 16.13 78 (1,-2) (1,3) *3用频率估计概率 -2 (-2,1) (-2,3) 第1课时用频率估计概率 3 (3,1) (3,-2) 1.A (2)由表可知，共有6种等可能的结果，其中点A落在第四 2.(1)0.520.500.520.520.490.510.50 (2)0.5 象限有2种结果，所以点A落在第四象限的概率为 2 3.D4.A 5.解：(1)4件同型号的产品中，有1件不合格品， 4.C5.C6.(1)D @A1.号 ·P(抽到的是不合格品)= 4 (2)画树状图如下： 8.解：根据展开图可知，1与4相对，2与5相对，3与6相对 第1件 不合格 画树状图如下： 开始 第2件合格，合格2合格：不合格合格：合格：不合格合格1合格：不合格合格1合格： 上面 共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的结果有 下面 4 6种，P(抽到的都是合格品)=12=2· 61 (3):大量重 共有6种等可能的结果，朝上一面的数恰好等于朝下一面 复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴.抽到合 的数的}的结果有1种，所以朝上一面的数恰好等于朝 格品的概率约等于0.95十-0,95，解得工=16， 1 1 下一面的数的2的概率为 的值大约是16. 9.B10.B11.C12.B 1 6.6 7.0.9 13.2 4 [解析]如图，连接OA,OC,作OD⊥CF,OB⊥ 8解：(1)参加此项游戏得到玩具的领率是80=马 400=5, AE,设⊙O的半径为r.,⊙O是小正方形的外接圆，是 大正方形的内切圆，∴.OB=OC=r,△AOB,△COD是等 (②设袋中共有x个球，则摸到红球的概率为至.：8 腰直角三角形…AB-0B=7,0D-CD-号AE 号，解得x=40,∴袋中白球的数量接近40一8=32（个）。 9解：2点制上的颜率为点-015,4点朝上的频率 6.解：小英设计的模拟试验比较合理.小海选择的啤酒瓶盖 质地不均匀；小东操作转盘时试验次数太少，没有进行大 为品-16（②）小明的说法错误，因为只有当试验的 量重复试验 7.解：(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求.理由：分别用黄1、 次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概 黄2、白1、白2、白3表示这5个球.从中任意摸出2个球， 率附近；小亮的说法错误，因为事件发生具有随机性.（理 可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、 由合理即可)（③）P(小明投宽点数不小于3)-音-号。 (黄1，白3)、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1， 10.解：(1)480.81(2)这名运动员射击一次时“射中9环 白2)、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可 以上”的概率约为0.8.理由：从频率的波动情况可以发现 能性相同.所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记 频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中 为事件A的结果有1种，即（黄1，黄2），所以PA)=0 9环以上”的概率约是0.8.（理由合理即可） 即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%. 第2课时用频率估计概率的应用 (2)示例：如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄 1.0.92 色，其余的区域涂上白色.顾客每购买一台该型号电视机， 2.解：(1)0.950.95(2)如图所示： 可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘 m 合格的频率 停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得 0.98 小奖.若指针指向分界线，重新转动，直到指向某一区域 0.96 0.94 为止 0.92 0.90 02004006008001000抽取足球数n 白色 369 黄色 (3)从这批足球中任意抽取1个是合格品的概率的估计值 是0.95.理由：因为从折线统计图中可知，随着抽取足球数 的增大，合格的频率逐渐稳定在常数0.95附近，所以从这 培优专题22：易错疑难集训 批足球中任意抽取1个是合格品的概率的估计值是0.95. 1.B2.5 (理由合理即可) 3.1004.(1)0.30.7(2)70个. [解析](1)出现向下的数字为4的频率为 5.16.560 7.解：(1)0.250.34(2)如图所示： 品-子·(2)两枚股子向下的数字之和的所有等可能的结 ↑出现红色球的频率 果如下表所示： 1.0 0.9 2 4 0.8 0.7 2 3 4 5 0.6 0.5 4 6 0.4 0.3 3 4 5 6 0.2 0.1F 6 7 04080120160200240280320360400摸球次数 共有16种等可能的结果，和为3的倍数的结果有5种， (3)随着摸球次数的增大，出现红色球的频率逐渐趋于稳 P(和为3的倍数)=16 定（合理即可） 8解：0.5（②号 4.解：(1)列表如下： 2 3 (3)π×1X3=3π（平方米）.答：估计整个封闭图形ABCD 3 的面积为3π平方米. 第3课时通过模拟试验估计概率 6 1.A2.D3.1~124.B5.0.250.50 6 同行学案学练测·25·