第5章 培优专题16：分类讨论思想在圆中的应用&培优专题17：圆中的母题与变式-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

培优专题15：求阴影部分面积的方法 AB,CD在圆心O的同侧时，AB与CD之间的距离是OE 1.C2.D3.D4.C5.C -OF=12-5=7(cm);当AB,C'D'在圆心O的异侧时， 6.C[解析]如图，设阴影部分所在的圆心为O,AD与半圆 AB与C'D'之间的距离是OE+OF'=12+5=17(cm). 弧交于点F,连接OF,过点O作OM⊥DF于点M.,AD .AB与CD之间的距离是7cm或17cm. =4,CD=2,∴∠DAC=30°.OD∥BC,OD=OF=2, ∴∠ODF=∠OFD=∠DAC=30°，∴.∠DOF=180°-30° -30°=1202.在R△D0M中，0M=0D·s0=2×号 =1,DM=0D·c30r=2×号=万，Dr=2DM 4.8士2√2[解析]如图，连接OA,OB,BC,作BD⊥AC于 2√3，S阴影部分=S形e一SADF 120πX221 -2×23 点D.由勾股定理的逆定理证出△OAB是直角三角形， 360 X1=4 π3. ∠AOB=90°，由圆周角定理得出∠ACB=2∠AOB= 45°，从而得出△BCD是等腰直角三角形，则BD=CD,BC =√2BD.设BD=CD=x,则AD=8√2-x.在Rt△ABD 中，根据勾股定理列方程，解方程求出x=4√2士2，即可得 出BC的长度， 7.A8.A9.A10.2元 C 11.8[解析]如图，连接AC,CD,过点C作CH⊥AB于点 H.∠ABC=∠DBC,.AC=CD,AC=CD.:CH LADAH-HD.inACH =BC·sin∠ABC=4.:AB为⊙O的直径，∴.∠ACB= 5.105°或15°[解析]分类讨论：当AC与AB在点A的两旁 时，由OA=OC=AC=1,得到△OAC为等边三角形，则 90.sinAC-/5m.AB-5m. ∠OAC=60°.又由OA=OB=1,AB=√2，得到△OAB为 根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,∴.5m2+80=25m2, 等腰直角三角形，则∠OAB=45°，所以∠BAC=45°+60° ∴m=2或m=-2(舍去)，AC=CD=25,∴AH= =105°；当AC与AB在点A的同旁时，∠BAC=∠OAC ∠OAB=60°-45°=15°. √AC2-CH=V√(25)2-42=2，.AD=2AH=4, 6.C7.30°或150°8.D .S阴影=S△ACD= 2AD.CH=2×4X4=8 ，号或9 [解析]如图，过点P作PELAD于点E,PF⊥ AB于点R.在R△ABC中，AB=1,BC=号，由勾股定理 得AC=√AB+BC-号由题意可知OP只能与矩形 ABCD的边AD,AB相切.当⊙P与AD相切时，PE= 培优专题16：分类讨论思想在圆中的应用 PC.PE⊥AD,CD⊥AD,.PE∥CD,∴.△APE 1.2或42.C 3.解：如图，连接OA,OC,作OE⊥AB于点E,交CD于点 △M0.光器卿0 5 =Pc ,解得CP=8当 F,易证OF⊥CD,则AE=2AB=5cm,CF- 3 ⊙P与AB相切时，PF=PC.PF⊥AB,CB⊥AB, CD=12cm,·0E=VOA2-AE=√132-5= 1 PF/BC,i△APF△ACB,既-是.即空- 4 12(cm),0F=√OC2-CF=√132-12z=5(cm).当 3 ·20·同行学案学练测 5 3-Cp AC 5 ，解得CP 器综上所述，当⊙P与矩形ABCD A·AC=6,AB=10,∴BC=8.在R△AC0中，由勾 3 股定理得AC2十C02=AO2,.62+(8-r)2=r2,解得r= 的边相切时，CP的长为号或器 空，即⊙0的半径是空。 母题2：11070[解析]连接OD和OF.:⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,∠A=40°，∴.BO,CO分别平 分∠ABC,∠ACB,∴.∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB= 180°-2（∠ABC+∠ACB=180°-2×140=10.：0D ⊥AB,OF⊥AC,∴.∠ADO=∠AFO=90°，∠DOF=360 10.(-了，0)或(-号0）[解折]：直线y=子x-3交 -90°-90°-40°=140，∴∠DEF=号∠D0F=70 x轴于点A,交y轴于点B,∴.令x=0,得y=-3,令y= 0,得x=-4,∴.A(-4,0),B(0,-3),∴.0A=4,OB=3, 变式训练3：140[解析]，点I是△ABC的内心，∠BIC ∴AB=5.设⊙P与直线AB相切于点D,连接PD,如图 =90+2∠A,即125=90+号∠A,∠A=70.点0 所示，则PD⊥AB,PD=1.,∠ADP=∠AOB=90°， ∠PAD=∠BA0.△APDn△MB08器-S 是△ABC的外心，∴.∠B0C=2∠A=2X70°=140°. 变式训练4：解：如图，连接OE,OF.,⊙O是等边△ABC的 号-SAP-号0P=了，同理可得0p号， 内切圆，∴.OE⊥AB,OF⊥BC,∴.∠BEO=∠BFO=90°， 35 .∠B+∠EOF=180°.△ABC为等边三角形，∴.∠B= “点P的坐标是(-了0)或(-号o): 60,.∠B0F=180°-∠B=120,∴∠EPF=7∠B0P =60° B 培优专题17：圆中的母题与变式 母题1：120 变式训练1：D[解析]如图，连接OB,PA,PB.当点P在优 母题3：A[解析]如图，连接OD.,△AO℃沿AC边折叠得 弧AB上时，.OB=OA,∴.∠OBA=∠OAB=30°， 到△ADC,∴.OA=AD,∠OAC=∠DAC.又OA=OD, ∴∠A0B=120,∴∠P=号∠A0B=60,当点P'在劣弧 ∴.OA=AD=OD,∴.△OAD是等边三角形，∴.∠OAC= ∠DAC=30°.：扇形AOB的圆心角是直角，半径为23， AB上时，∠AP'B=180°-60°=120°..∠APB的度数为 60或120°. ÷0C=2,阴影部分的面积=90mX23)2_2w5×2×2 360 2 =3π-4V3. 变式训练2：(1)证明：连接OA.,AD是⊙O的切线，∴.OA ⊥AD,∴.∠OAD=∠CAD+∠OAC=90°∠C=90°， ∠OAC+∠AOC=90°，∴.∠CAD=∠AOC.OA=OB, 变式训练5：6x-93 2 [解析]如图，连接OD,则OD=OA= .∠B=∠OAB,.∠DAC=∠AOC=∠B+∠OAB= 6.·扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD, 2∠B.(2解：设0A=0B=n在R△CAB中，snB=号 AC=0C=20A=3,∴CD=V6-3=33,∠CD0 =30°，∠COD=60°，∴.由弧AD、线段AC和CD所围成的图 60·π·621 )平方米 形的面积=S扇形AOD一S△aOD= 360 2 X3X3√3=6π 9√ 2,…阴影部分的面积为6x 9√3 2 培优专题18：圆中的最值问题 1.C O(A) B 2.B[解析]，AB=4,∠APB=90°，∴.点P在以AB为直 变式训练6：4,3-号x[解析]连接AD,OD,由折叠可知： 径的圆弧上.如图，取AB的中点O,连接OD,当O,P,D 三点共线时，PD有最小值，连接BD,过点C作CH⊥BD S号形Ab=S号形om,AD=OD.OA=OD,.AD=OD=OA, 于点H.,O为AB的中点，.OA=OB=OP=4÷2=2. ∴.△AOD为等边三角形，∠AOD=60°，∠DOB=30°. :正六边形的每个内角为180°×(6-2)÷6=120°，CD= ,AD=OD=OA=4,.CD=2V3,∴.S号形AD=S扇形A0D CB,.∠CBD=(180°-120)÷2=30°，BD=2BH, S△ADO= 09-方×4X28=骨x-46,S9m ∠0BD=120°-30°=90.在R△CBH中，CH=2CB 360 =2,BH=23,.BD=4√3.在Rt△OBD中，OD= 太一4W3,心阴影部分的面积=S#0-Sm-30x:坐 8 360 √22+(43)2=2√/13，∴.PD的最小值为OD-OP= -(号x-43）=48-青元 2√/13-2. 母题4：A[解析]如图所示，连接AO,过点O作OD⊥AB, 交AB于点D,交弦AB于点E.:AB折叠后恰好经过圆 心0E=DE.O0的半径为40E=0D=含×4= AO B 3.C[解析]如图，过点O作OD⊥AC于点D,OE⊥BC于 2.:OD⊥AB,AE=AB.在R△AOE中，AE= 点E,⊙O交AB于点F,设⊙O的半径为r.∠C=90°， AC=8,BC=6,.AB=√62+8=10.OB=20A, √OA2-OE=√42-22=2√3，∴.AB=2AE=4V5. 0A=号AB=9:AC为切线，0D=0F=:∠A 0 =∠A,∠AD0=∠ACcB,△AD0 AACB,÷9 架-器-分0D=}BC=2,AD=3AC=号， AC AB 变式训练7：解：如图，设圆心为O,连接DO,过点O作OE⊥ CD=AC-AD=8-号-90E=CD=9此时 AD于点E,易知∠DAB=∠ABC=90°.AC=2米，AB= 1米，∴.∠ACB=30°.，餐桌两边AD和BC平行且相等， MN的最小值为9-2=号：BF=0P+0B=2+号× ∠ACa=∠1-30，B0-号40-号米AE-9米. I0-空：MN的最大值为空MN的最小值和最大值 .AD=√3米.，∠1=∠AD0=30°，.∠AOD=120°， 之和-9+-12 360 D (冬-)平方米，“桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加( 4.C ⊙E于点P,则BC'+EC'=BP+EP=BE,即BC'十 5.D[解析]如图，连接OC,OA,BD,AC,作OH⊥AC于点 EC'的最小值为BE的长.：正方形ABCD的边长为6， H,则∠AOC=2∠ABC=120°..OA=OC,OH⊥AC, 点E为CD边靠近点C的三等分点，.BC=6,EC=2, ∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH,∴.CH=AH= ∴.BE=√BC2+EC=√62+22=2√/10，即BC'+EC OC·sin60°=√5，.AC=23.,CN=DN,DM=AM, 的最小值为2√10. MN-AC-/5.CP-PB,CN-DN,PN- 2BD,当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，PN P(C +MN的最大值为2+√3. F C 12.解：如图，以点D为圆心，DC长为半径作圆，连接BD交 ⊙D于点C,BC即为最小值，，四边形ABCD是矩形， .CD=CD=AB=6,∠BCD=90°，.BD= √BC2+CD=√82+62=10，∴.BC'最小=BD-C'D= 10-6=4. 62+号 7.7[解析]如图，连接OC.点C为弦AB的中点，∴.OC ⊥AB,∴.∠ACO=90°，点C在以OA为直径的圆上（点 O,A除外).以OA为直径作⊙P,过点P作直线PH⊥ E DE于点H,交⊙P于点M,N.当E=0时y-=子x-3= 8~10节阶段测试 1.C2.B3.A4.B5.B6.B7.C8.C9.B -3,则E0,-3》,当y=0时，子x-3=0,解得x=4,则 10.解：由题意，得圆锥的母线长为√22+22=2√2.设圆锥的 D(4,0),.OD=4,.DE=√32+4=5.A(2,0), 底面半径为r,则2r=90πX22 180 解得-竖这个圆 ..P(1,0),..OP=1,..PD=OD-OP=3..PDH= ∠EDO,∠PHD=∠EOD,∴.△DPHp△DEO,∴.PH: 能的底面半径为受。 0E=DP:DE,即PH:3=3:5,解得PH=号MH 11.解：(1)如图，连接AD.,以腰AB为直径画半圆O, ∠ADB=90°，即AD⊥BC.又AB=AC,BD= 14 1 CD,∠ABC=∠ACB.A,B,D,E四点共圆，∴∠DEC =PH+1= 普，∴S6m=号×5X兽=1，当点C与点M =∠ABC,∴.∠DEC=∠ACB,∴.CD=DE,∴.BD=DE. 重合时，△CDE面积的最大值为7. (2)如图，连接OE,过点O作OF⊥AC于点F.AB=2, .OA=OB=1.,AB=AC,∠ABC=60°，△ABC为 等边三角形，∴∠BAC=60°.又·OA=OE,.△AOE为 等边三角形，∠A0E=60,0A=AE=1,OF=5 2 Se=5-6u-0XX言X1×9-音 360 培优专题19：教材深挖一圆中 4 常用结论与模型（拓展） 1.C2.B3.64.B 525-6C13083098 3 10.44° 11.解：如图，以点E为圆心，EC长为半径作圆，连接BE交 B D 同行学案学练测·21·了同行学案学练测数学九年级下LJ 培优专题16：分类讨论思想在圆中的应用 应用一：点和圆的位置关系不唯一 应用五：三角形的形状不唯一 1.平面内有一点P,点P到⊙O的最远距离是 6.若等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BOC= 6,最近距离是2，则⊙O的半径是 100°，则△ABC底角的度数为( 应用二：点在直径上的位置不唯一 抽象能 A.65° B.25° 2.已知⊙O的直径CD=4,AB是⊙O的弦， C.25°或65 D.65或30° AB⊥CD,垂足为点M,且AB=2√3，则 运算 应用六：弦所对的圆周角不唯一 ∠ACD等于( 7.已知⊙0的半径为10，弦AB的长为10，则弦 A.30° B.60° AB所对的圆周角的度数是 C.30°或60° D.45°或60° 应用七：线段与圆的位置关系不唯一 应用三：圆心和平行弦的位置关系不唯一 8.[数形结合思想]如图，在Rt△ABC中，∠C= 3.已知⊙O的半径为13cm,AB和CD是⊙O 90°，AC=3,BC=4,以点A为圆心作圆，如果 的弦，AB/CD,AB=10cm,CD=24cm,求 ⊙A与线段BC没有公共点，那么⊙A的半 AB与CD之间的距离. 径r的取值范围是( A.5≥r≥3 B.3<r<5 C.r=3或r=5 ·模型观念 D.0r<3或r>5 应用八：切线的位置不唯一 ·应用意识 9.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC= 3,p 是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC 创新意识 长为半径作⊙P.当⊙P与矩形ABCD的边 相切时，CP的长为 D 应用四：点在圆周上的位置不唯一 4.如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径长为6， AB=6√2，在⊙O上取一点C,使得AC= B 第9题图 第10题图 8√2，则弦BC的长度为 3 10.(菏泽中考)如图，直线y=一x一3交x轴 于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动 点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径 5.半径为1的⊙O中，两条弦AB=√2，AC=1, 作⊙P,当⊙P与直线AB相切时，点P的 ∠BAC的度数为 坐标是 62 做神龙题得好成绩 第五章圆 培优专题17：圆中的母题与变式 数 学 母题1如图，有一块三角尺ABC,∠C为直 母题2如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分 角，∠ABC=30°，将它放置在⊙O中，点A,B 别为D,E,F,已知∠A=40°，连接OB,OC, 在圆上，边BC经过圆心O,劣弧AB的度数等 DE,EF,则∠BOC= ,∠DEF= 于 象 运算能 【思路点拨】连接OA,求出∠AOB,即可解决 问题， 【思路点拨】连接OD和OF,根据内切圆的性质 几何直观 变式训练1如图，将一块三角尺放置在⊙O 可得BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,再根据 中，点A,B在圆上，边AC经过圆心O,∠C为 三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数；根 念 直角，∠ABC=60°，P为圆上异于A,B的点， 据切线的性质可得∠DOF的度数，进而根据圆 则∠APB的度数为() 周角定理可得∠DEF的度数， A.60° 变式训练3如图，在△ABC中，∠BIC=125°， B.120° I是内心，O是外心，则∠BOC= C.30°或150° D.60°或120 变式训练2如图，以⊙O的弦AB为斜边作 B Rt△ABC,C点在圆内，边BC经过圆心O,过 变式训练4如图，⊙O是等边△ABC的内切 点A作⊙O的切线AD 圆，分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF (1)求证：∠DAC=2∠B, 上一点，求∠EPF的度数 (②若sinB=号AC=6,求O0的半径 做神龙题得好成绩 63 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 母题3如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径 【思路点拨】连接AO,过点O作OD⊥AB,交 为2√3，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边 AB于点D,交弦AB于点E,根据折叠的性质 折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面 可知OE=DE,再根据垂径定理可知AE= 积为( BE,在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE A.3π-43 B 的长，进而可求出AB的长， 抽象 变式训练7[模型观念]现在很多家庭都使用 B.3π-2√5 折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后形成圆形 C.3π-4 桌面（如图①）.餐桌两边AD和BC平行且相等 运算 D.2π 【思路点拨】根据题意和折叠的性质，可以得到 (如图②)，小华用皮尺量出AC=2米，AB= 能力 OA=AD,∠OAC=∠DAC,然后根据OA= 1米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加多 OD,即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根 少平方米？（结果保留π） 阿直观 据扇形AOB的圆心角是直角，半径为2√3，可 间观 以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面 念 积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC 推理 的面积。 ① 变式训练5如图所示，一个扇形纸片的圆心角 为90°，半径为6，将纸片折叠，使点A与点O恰 好重合，折痕为CD,则阴影部分的面积 为 识 04) B 变式训练6如图，一个扇形纸片的圆心角为 90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与 点O恰好重合，折痕为CD,则图中阴影部分的 面积为 B A C O(A) 母题4如图，将半径为4的圆折叠后，圆弧恰 好经过圆心，则折痕的长为( ) B A.4√3 B.2√3 C.3 D.2 64做神龙题得好成绩