第5章 培优专题12：在圆中构造直角三角形解决问题的方法&培优专题13：圆与锐角三角函数-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

培优专题12：在圆中构造 方法一：直接作垂线构造 1.[抽象能力]小明将汽车轮胎如图放置在地面 台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm, 直角顶点A到轮胎与地面接触点B的长 AB=320mm,请帮小明计算轮胎的直径为 () A.350 mm B.700 mm C.800 mm D.400 mm 方法二：利用平行关系构造 2.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4,点 C在弦AB上，且AC=√2，点D在弧AB上， 且CDOB,则CD= 视频讲解 方法三：根据垂径定理构造 3.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点 E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若 BD=12,AE=4,则OF的长是 D 方法四：根据切线的性质构造 4.如图，点M的坐标为(4,0)，⊙M的半径为2， ON切⊙M于点N,则点N的坐标是() A.(3,1) B.(3,W3) C.(3,2√3) D.(√3,3) 第五章圆☑ 直角三角形解决问题的方法 数 方法五：根据直径所对的圆周角是直角构造 素 5.已知AB为半圆O的直径，现将一块等腰直 角三角尺如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜 边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若 抽 AB=2,则线段BQ的长为 能 0 力 能 B 第5题图 第6题图 直观 6.如图，半圆的直径AB=6,C为半圆上一点， 连接AC,BC,D为弧BC上一点，连接OD, 交BC于点E,连接AE,若四边形ACDE为 平行四边形，则AE的长为 理 7.如图，⊙O是△ABC的外接 圆，AB是⊙O的直径，I为 数 △ABC的内心，且OI⊥AI, 观 AB=10,则BI的长为 方法六：综合应用垂径定理及切线的性质构造 8.如图，∠MAN=30°，O是∠MAN内部一点， ⊙O与∠MAN的边AN相切于点B,与边 AM相交于点C,D,AB=5√2，作OE⊥CD 于点E,若OB=√3OE,求弦CD的长， 新 D E 识 做神龙题得好成绩45 了同行学案学练测 数学九年级下LJ 必 培优专题13：圆与锐角三角函数 1.(烟台中考)如图，⊙O的半径为1，AD,BC5.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角 是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O 梯形，BCOA,⊙P分别与OA,OC,BC相切 出发（点P与点O不重合），沿O→C→D的 于点E,D,B,与AB交于点F.已知A(2,0), 路线运动，设AP=x,sin∠APB=y,那么y B(1,2),则tan∠FDE= 抽象能力 与x之间的函数图象大致是( D 运算 能力 A 0 B 第5题图 第6题图 几何直观 6.[几何直观]如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3,以AB为直径在矩形内作半圆，DE 空间观念 22 0 切⊙O于点E,则tan∠CDF= B 7.[推理能力]（温州中考）如图，C,D为⊙O上 推理 两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于 能力 点E,G是AC上一点，∠ADC=∠G. (1)求证：∠1=∠2. 12 2元 1J22x (2)点C关于DG的对称点为F,连接CF.当 D 点F落在直径AB上时，CF=10,tan∠1= 2.(杭州中考)如图，已知AB是⊙O的直径，BC 2 与⊙O相切于点B,连接AC,OC.若 ,求⊙0的半径. sin∠BAC= 3,则tan∠BOC= 应用意 创新意识 第2题图 第3题图 3.如图所示，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切 线，AC交⊙O于点E,D为AC上一点， ∠A0D=∠C.若AE=8,anA=,则0D 的长为 4.如图，点B在⊙O外，AB与⊙O相切于点 A,连接OB交⊙O于点C.若AC=2,半径为 3,则tan∠BAC= B 视频讲解 46 做神龙题得好成绩7.4[解析]如图，延长ID到点M,使DM=ID,连接CM. 3.D[解析]如图，连接AD,BE.OC⊥DE,.CE=CD ,I是△ABC的内心，.∠IAC=∠IAB=∠BCD, :4c ∠ICA=∠ICB.∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI= =m,AC=,BC=m开“∠D=∠B,∠A ∠BCD+∠ICB,∴.∠DIC=∠DCI,∴.DI=DC=DM, =∠E,.△ADC△EBC,.CD：BC=AC:EC, ∴.∠ICM=90°，∴.CM=√M-ICz=8..AI=2CD= 10,.AI=IM..AE=EC,.IE是△ACM的中位线， CD=AC,BC}DE=·n4DP= I-CM-4. Ama2 m+1)弦DE的长只与a,m的值有关. 8.(1)证明：如图，连接AE,OE.AB为⊙O的直径， ∠ADB=∠AEB=90°，.AE⊥BC,BD⊥AC.AB= 5.6[解析]如图，连接OD,易证△ECD∽△EAC, AC,.BE=CE=3.EF是⊙O的切线，∴.OE⊥EF ED .OA=OB,.OE是△ABC的中位线，.OE∥AC,.OE EA ⊥BD,BD∥EF.BE=CE,CF=DF,EF是 ，解得EA=8,AD=AE-DE=8-2=6. △CDB的中位线.(2)解：，∠AEB=90°，.AE VAB-BE=V-了=4.“△MBC的面积=2AC, BD=号BC·AB,BD=BCAE_6X4_24.EF AC 551 是△CDB的中位线，∴EF=2BD-号 12 6.(1)证明：如图，连接AE.AC为⊙O的直径，.∠AEC =90°，.AE⊥BC.AB=AC,.BE=CE.(2)解：如 图，连接DE.BE=CE=3,BC=6.:∠BED= ∠BAC,而∠DBE=∠CBA,∴△BED△BAC,BA BE B 32 培优专题11：圆与相似三角形 BC,即BA-6…BA=9,心AC=BA=9. 1.D 2.B[解析]如图，连接BC.AB是⊙O的直径，∴∠ACB =90°，.∠ACE+∠BCF=90°.，BF⊥CD,∴.∠CFB= 90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴.∠ACE=∠CBF.AE ⊥CD,.∠AEC=∠CFB=90°，∴.△ACE∽△CBF, C-渠B-E-2,C-1CE-CF+E 7.(1)证明：连接AO,AC.BC是⊙O的直径，.∠BAC ∠CAD=90°.：E是CD的中点，CE=DE=AE, 3c-VF-年g-5…gAc 5 ∴.∠ECA=∠EAC.:OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA. 36 CD是⊙O的切线，∴.CD⊥OC,∴∠ECA十∠OCA 2… 90°，∠EAC+∠OAC=90°，.OA⊥AP,.AP是⊙O 的切线、(2)第：mB=了答=子AP是⊙0 的切线，易证∠B=∠CAP.:∠P=∠P,∴△APC∽ △BPA器-=PA=2PC△APCO ·16·同行学案学练测 △BPA0PA=PBP,即2PCyr=(C 5.√2[解析]如图，连接AQ,BQ.∠P=45°，∴∠QAB= ∠P=45°.：AB为直径，∴.∠AQB=90°，∴△ABQ是等 +6)·PC,.PC=0(舍去)或PC=2,即PC的长为2. 腰直角三角形.AB=2,∴.2BQ=4,.BQ=√2. 培优专题12：在圆中构造直角三角形 解决问题的方法 1.C 2.√7-1[解析]如图，延长DC交AO于点E,连接OD :CDOB,.∠AEC=∠AOB=90°.OA=OB, 6.2√3[解析]如图，连接OC.:AB是直径，.∠ACB= .∠BAO=45°.AC=√2，∴.AE=CE=1,∴.EO=4-1 90°.，四边形ACDE是平行四边形，∴AC=DE,CD= =3.,OD=4,.由勾股定理可知DE=√7，.CD=√7 AE,AC∥DE,∴.∠ACE=∠DEC=90°，∴.OD⊥BC, -1. ∴.EC=EB.,OA=OB,∴.AC=2OE=DE.OD=OC =3,..OE=1,DE=2,..CE2=OC2-OE2=CD2-DE2, 32-12=CD2-22,CD=23或-23（舍去）.AE =CD=2√3. D 3.√13[解析]如图，连接OB.AC是⊙O的直径，弦BD ⊥AC,BE=2BD=6,在R△OEB中，OB=OE+ BE,即OB=(OB-+6,解得OB=品，则EC=AC 7.2√I0[解析]延长AI交⊙O于点M,连接BM.,AB是 -AE=9,.BC=√EC2+BE=√92+6=3V13. ⊙O的直径，∠AMB=90°.，I为△ABC的内心， COF--CF ∴.∠IAO=∠IAC=∠CBM,∠IBO=∠IBC.·∠MIB OF⊥BC,∴CF= 2 =∠IAO+∠IBA,∠MBI=∠CBM+∠IBC,.∠MIB =∠MBI,.IM=BM=AI.在Rt△ABM中，由勾股定理 √()-()-. 可得BM=2√5，∴.BI=√2BM=2√10. D 8.解：如图，延长BO交CD于点F,连接OD.⊙O与 ∠MAN的边AN相切于点B,.OB⊥AB,∠ABF= 90C:∠A-30,ZAFB=60,BF-号AB-9X5E 4.B[解析]如图，连接MN,作NG⊥x轴于点G.,ON切 .:OE⊥CD,:DE=CE.在R△OEF中， =56 ⊙M于点N,∴.MN⊥ON.,点M的坐标为(4,0)，⊙M 的半径为2，∴.OM=4,MN=2,∴.ON=√OM-MN= "∠E0=6r,im0-8器=90=290E 2.m∠0N-a流-日∠0N-3,AG :0B-50E,50E+250E-55,解得0E=反. 20N=月，0G=VON-G=V12-3=3∴点N ∴OB=√3X√2=√6，∴.OD=OB=√6.在Rt△DOE中， 的坐标是(3w3). DE=√OD2-OE=W(W6)2-(W2)2=2,∴.CD=2DE =4. D M E 培优专题13：圆与锐角三角函数 5 12 1.C [解析]，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B, 六AB⊥BC,∠ABC=9O.sin∠BAC=BC=1, AC=3设 BC=x,AC=3x,∴.AB=√AC-BC=√(3x)-x 7.(1)证明：∠ADC=∠G,∴.AC=AD.AB为⊙O的直 =2Ex,0B=2AB=反x,tam∠B0C=BC=是 OB√2x 径，BC=BD,∠1=∠2.(2)解：如图，连接DF. :AC=AD,AB是⊙O的直径，.AB⊥CD,CE=DE, √2 21 .FD=FC=10.,点C,F关于DG对称，∴.DC=DF= 3.3 10,DE=i:am∠I-号，EB=DB,m∠=2 又② [解析]如图，作直径AD,连接CD.AB与⊙O相切 4 "∠1=∠2，tan∠2=2， 于点A,∴.OA⊥AB,∴∠DAB=90°，即∠BAC+∠DAC AE+EB-29 ⊙0的半径为翠， =90°.，AD为直径，∴.∠ACD=90°，即∠D十∠DAC= 90°，∴.∠D=∠BAC.在Rt△ADC中，CD= VAD-AC-V6-2-4 tanD-cp- tanBAC-2 4 5~7节阶段测试 1.C2.A3.C4.D5.C6.B7.C8.D 9.110.1011.512.1或3或5 13.(1)证明：如图，连接OC.EF为切线，∴∠OCE=90°， D为AC中点，.OE⊥AC,.EC=EA,∠ECA= 5 [解析]如图，连接PB,PE.:⊙P分别与OA,BC相 ∠EAC.:OA=OC,∴.∠OCA=∠OAC,∴.∠OAC+ ∠EAC=∠OCA十∠ECA=90°，即∠EAO=90°，∴.EA 切于点E,B,∴.PB⊥BC,PE⊥OA.:BC∥OA,∴点B, 与⊙O相切.(2)解：如图，连接BC.:AB为直径， P,E在条直线上.A(2,0),B(1,2),∴.AE=1,BE= ∴∠BCA=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°.EF为切线， 2,∴tan∠ABE= 能=女：∠DF=∠ABE, .∠BCF+∠BCO=90°，且∠BCO=∠CBA,∴.∠BCF a∠rDE=2 =∠CAR.:∠F=∠R,△BCr∽ACAE,- C示.由(1)知EA为⊙0的切线，则AE=CE=3.在 B B R△AEF中，EF=CE+CF=5,可求得AF=4,∴是 2,解得BF=1,AB=AF-BF=3,∴⊙0的半径 B 6是[解析]如图，连接D0,0E,设PC=:AD,DE都 为 是⊙O的切线，∴DA=DE=3.又，EF,FB都是⊙O的 切线，∴.EF=FB=3一x,∴在Rt△DCF中，由勾股定理 5 得6--十4，氟得-号则0DF瓷- 8正多边形和圆 10.√5一1[解析]设EG=x.易知：∠AEB=∠ABE= 第1课时圆内接正多边形 ∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，∴.AB=BG=AE 1.A2.543.72°4.144 =2.:∠AEG=∠AEB,∠EAG=∠EBA,∴.△AEG∽ 5.2√6[解析]如图，连接OM,过点O作OH⊥FM于点 △BEA,.AE2=EG·EB,.22=x(x十2)，解得x= H.,OABCDE为正六边形，.∠FOG=120°.：点M为 -1+5或x=-1-√5（舍去），.EG=√5-1. 劣弧FG的中点，∴.∠FOM=60°.，OH⊥FM,OF=OM, 11.4√3[解析]如图，连接OC,OB,过点O作ON⊥CE于 ∠OFH=60',∠OHF=90,FH=2FM=22,OH 点N.多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB=60° =√3FH=2√6 .OC=OB,.△COB是等边三角形，.∠OCM=60°， H .0c= -9:20v=00N=30c= sin60° 2 3,CN=2,∴CE=2CN=4,∴该圆的内接正三角形 D 6.解：如图所示，四边形ABCD即为所求. ACE的面积=3×号×4×25=4g 3 D B 7.解：如图所示，⊙O及六边形AEFBCD即为所求. 12.①0 5 [解析]如图，连接BD.:CE=DE=2CD=司 X1=,BE=√()》'+1P-在R△ABD中， BD=√I+1=√2.：∠DBE=∠FCE,∠CFE= 1 、∠BDE,∴△DEB∽△FEC,品=能，E=后 2 8.A[解析]如图，连接AE,EI,AH,过点J作JM⊥EI于 点M.ABCDEF是正六边形，∠DEF=∠F=120，° ..FC=/10 5 FA=FE,∠FEA=∠FAE=30°，∠AED=90°.同 理，∠DEI=∠EIH=90°，.∠AED+∠DE=180°， ∴点A,E,I共线.设IH=IJ=JE=a.,JM⊥EI, ∴BM=M-9AI=2BI=25a,∠API= ∠AHl,∴tan∠API=tan∠AHI=A-2V3a=2/5. HI a 13.√13-1[解析]如图，连接AD交PM于点O,则点O 是圆心，过点O作ON⊥DE于点N,连接MF,取MF的 中点G,连接GH,GQ.由对称性可知：OM=OP=EN= DN=2,由正六边形的性质可得ON=4√5，∴.OD= √DN2+ON=2√13=OF,.MF=2√13-2.由正六 9.B 边形的性质可知：△GFH,△GHQ,△GQM都是正三角 同行学案学练测·17·