第5章 8 培优专题14：圆与多边形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

培优专题14： 类型一：圆与平行四边形 1.如图，在平行四边形ABCO中，∠C=60°，点 A,B在⊙O上，点D在优弧ADB上，DA= DB,则∠AOD的度数为 B 0 第1题图 第2题图 2.如图，AB是半圆的直径，C为半圆上一点，连 接AC,BC,D为弧BC上一点.连接OD,交BC 于点E,连接AE,若四边形ACDE为平行四边 形，AE=2√3，则AB的长为 类型二：圆与正六边形 3.如图，⊙O与正六边形ABCDEF的两边AB 和EF分别相切于点B和点E,若正六边形的 边长是√3，则⊙O的半径长是( A.1 B.√3 C.2 D.3 D 4.[创新意识]阅读理解：如图①，在平面内选 定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定 个单位长度，那么平面上任一点M的位置可 由∠MOx的度数0与OM的长度m确定，有 序数对(0，m)称为点M的“极坐标”，这样建 立的坐标系称为“极坐标系” 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的 边长为2，有一边OA在射线Ox上，那么正六 边形的顶点C的极坐标应记为( M y /A, 01234 01234元 ① ② A.(60°，4) B.(45°，4) C.(60°，22) D.(50°，2√2) 第五章圆√ 圆与多边形 数 类型三：圆与矩形 素 养 5.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,以 CD为直径作⊙O.将矩形 4' ABCD绕点C旋转，使所得 E 矩形A'B'CD的边A'B与 象 能 ⊙O相切，切点为E,则 力 A'E的长为() 运算 A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB, BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF 作轴对称变换，得到△B'EF,点B'恰好在边 AD上，过点D,F,B'作⊙O,连接OF.若 OF⊥BC,AB'=CF=3,则AE= B 数 念 7.如图，在矩形ABCD中，AB=7cm,BC= 4cm,⊙O与矩形的边AB,BC,CD分别相切 于点E,F,G,点P是⊙O上任意一点，则线 应 段AP长度的最小值为 cm, 创新 识 视频讲解 类型四：圆与菱形 8.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆 心，6为半径的⊙O与直线y=一x十b(b>0) 交于A,B两点，连接OA,OB,以OA,OB为 邻边作平行四边形OACB,若点C恰好在 ⊙O上，则b的值为( A.33 B.2√5 C.3√/2 D.2√2 做神龙题得好成绩 好 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 9.如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连 学 接AE,将△ADE沿AE翻折，使点D落在 养 BC边的点F处，连接AF,在AF上取点O, 以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O, ⊙O与AB,AE分别相切于点G,H,连接 FG,GH,则下列结论错误的是( 抽象能力 A.∠BAE=2∠DAE B.四边形EFGH是菱形 运 C.AD=3CE 能力 D.GH⊥AO 何直双 10.如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作 ⊙O,交CB于点F,点E在CD上，且CE= 空 CF,连接AE. 间观 (1)求证：AE是⊙O的切线： 推理能力 (2)连接AC交⊙O于点P,若AP=√3，BF= 1,求⊙O的半径， 数据观 模型观念·应用意识· 创 意识 类型五：圆与正方形 11.如图，⊙O是正方形ABCD H 的内切圆，切点分别为E, F,G,H,ED与⊙O相交于 E 点M,则tan∠MFG的值是 B () A号 B D26 5 54】做神龙题得好成绩 12.（威海中考)如图，正方形ABCD内接于 ⊙O,其边长为4，则⊙O的内接正三角形 EFG的边长为 G B P c 第12题图 第13题图 13.[空间观念]（宁波中考）如图，正方形ABCD 的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上 的动点，连接PM,以点P为圆心，PM长为 半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相 切时，BP的长为 14.如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直 径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿 EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F 重合. (1)求证：CF与⊙O相切. (2)若⊙O的半径为1，求AE的长，形，FH=2M=丽-1. 10.解：如图，连接CF,DF,则△CFD是等边三角形， ∴∠FCD=60°.在正五边形ABCDE中，∠BCD= 4 ∠ABC=108°，.∠BCF=48.BC=CF,∠CBF= ∠CFB=号X(180-∠BCP)=66,∠ABF=∠ABC -∠CBF=108°-66°=42°. D 14.①②③ [解析]根据多边形的内角求解公式可知： ∠HDE=180X5-2=108,故①正确，：五边形 5 DEFGH是边长为1的正五边形，.∠HGF=∠EFG. 由题易知GFBC,∴∠B=∠C,∴.△ABC为等腰三角 11.A12.1√2：313.15°14.C15.23 形，故②正确.由题易知∠DFE=∠GDF=∠DGB,BD 16.C[解析]如图，设正六边形的中心为O,则点O在CF -DC,:DF//AB.DF-7AB.DXG/AC.DG-AC, 上，连接OA,OB,OD,OE.由正六边形的性质可知AB∥ .四边形AGDF为平行四边形.：AB=AC,∴.DF CF,.SAABN SAAOB 6S正大边形AIDEF=2=SADEM, DG,∴.四边形AGDF为菱形，故③正确.设DF=AF= .S五边形ABCMIF=7S△AOB=14. FC=x,I∠GFE=∠DEF,∴∠AFG=∠DEC= ∠AGF=∠B.∠C=∠C△AncADEC,. AB=2X51-5+1,△ABC的周长为AB+AC 17.D[解析]，多边形CDGIKM是正六边形，∠MCD= 120°，∴∠ACD=60°.CD=2BD,.设BD=AC=x, +BC=√5+1+√5+1+2=2√5+4，故④错误 则CD=2x.如图，过点A作AH⊥BC于点H,则 15.解：(1)如图，连接BD.,四边形ABCD是⊙O的内接四 边形，∠BAD+∠C=180°.∠C=120°，∠BAD= ∠AHc-0CH=2AC=,AH-9z 2,.BH= 60°.AB=AD,△ABD是等边三角形，∠ABD= 5 60°.四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴.∠AED+ BC -CH 2x,·AB=V√AH+BH= ∠ABD=180°，.∠AED=120°.(2)如图连接OA, OE,OD.:∠ABD=60°，.∠AOD=2∠ABD=120. √()'+（受x)-x.:将△ABC绕点0连续旋 .∠DOE=90°，∴.∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，.n 转5次，得到内外都是正六边形的图形，，.外六边形の内 360° 30°=12. 六边形，…-(8）=()-子。 ”S内六边形 第2课时正多边形 培优专题14：圆与多边形 1.B2.A3.B4.85.(1)72(2)86.A7.C8.15 1.150° 9日 2.6[解析]如图，连接OC.,AB是直径，∠ACB=90°. ·18·同行学案学练测 :四边形ACDE是平行四边形，∴AC=DE,CD=AE,6.√3[解析]如图，延长FO交AD于点J,设AE=x.:四 ACDE,∴∠ACE=∠DEC=90°，.OD⊥BC,∴.EC= 边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=∠A=∠B=90°，AD EB.OM0BAC20DEEOD- CB,AD=BC.OF⊥BC,∴.FJ⊥AD,∴.∠AJF= ∠FJD=90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩 30C,DE=号0D-号0C.:CE=0c2-0E=CD2 形，AB=FJ=CD,CF=DJ=3.OJ⊥DB',DJ= DE,CD=AE=25,02-(号0c)°=(25)2 JB'=3,AD=BC=3+3+3=9,.BF=BC-CF=6. 由翻折的性质可知FB=FB'=6,∴.FJ=√BF2-B丁 (号0C),0C=3(负值含去)，∴AB=6, =√62-32=3√5，∴.AB=JF=3√3.在Rt△AEB'中，有 D x2+32=(33-x)2,∴x=3,∴.AE=3. 0 B 3.C[解析]如图，连接OB,OE,BE.,⊙O与正六边形 B ABCDEF的两边AB和EF分别相切于点B和点E, F C ∠ABO=∠FEO=90°.：∠BAF=∠EFA=120°， 7.(√29-2)[解析]如图，连接OF,OE,OG,AO,AO交 ∴.∠B0E=540°-120°-120°-90°-90°=120°，∴.∠0BE ⊙O于点P,此时线段AP长度最小.'⊙O与矩形的边 =∠OEB=30°，.∠ABE=∠FEB=60°，∴.∠ABE+ AB,BC,CD分别相切于点E,F,G,.OE⊥AB,OF⊥ ∠BAF=180°，∴.AF∥BE.过点A作AM⊥BE于点M, BC,OG⊥CD.AB∥CD,∴.O,E,G三点共线，即EG为 FN⊥BE于点N,则四边形AMNF是矩形，∴.MN=AF ⊙O的直径，∴.四边形BCGE为矩形，.EG=BC=4cm. -月，BM=EN=专AB-BE=2过点0作 ,OE=OF=2cm,∴.四边形BFOE为正方形，.BE=OF =2cm,∴.AE=AB-BE=5cm.在Rt△AEO中，AO= OH⊥BE于点H,则∠OHB=90°，BH=√3，.OB= √AE2+OE=√29cm,.AP=AO-OP=(√29- BH c0s30=2. 2)cm,∴.线段AP长度的最小值为（√29-2）cm. E G D 4.A 8.C[解析]如图，连接OC交AB于点T,设直线AB交x 5.B[解析]如图，连接OE,作OH⊥BC于点H,则 轴于点M,交y轴于点N.:直线AB的解析式为y=一x ∠OEB=∠OHB'=90°.，矩形ABCD绕点C旋转所得 +b,.N(0,b),M(b,0),.OM=ON,∴.∠OMN=45°. 矩形为A'B'CD',∴.∠B'=∠B'CD'=90°，AB=CD= ,四边形OACB是平行四边形，OA=OB,.四边形 A'B'=10,BC=B'C=8,.四边形OEB'H是矩形，OE= OACB是菱形，.OC⊥AB,∴.∠COM=45°.OC=6, OD=OC=5,..B'H=OE=5,..CH=B'C-B'H=3, ∴.B'E=OH=√OC2-CH=4,则A'E=A'B'-B'E= c8v2.3.:0m-0,r(3,32）把T点坐 10-4=6. 标代入y=一x十b,可得b=3√2. 9.C[解析]由折叠可得∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE= .tan∠MFG=tan∠MEG-EC=2 DG 1 90°，EF=ED.,AB和AE都是⊙O的切线，点G,H分 H 别是切点，∴.AG=AH,∠GAF=∠HAF,∴.∠GAF= ∠HAF=∠DAE=30°，∠BAE=2∠DAE,故A正确. 如图，分别延长EF,AB交于点N.OF⊥EF,OF是⊙O 的半径，∴.EF是⊙O的切线，∴.HE=EF,NF=NG, ∴.△ANE是等边三角形，.FG∥HE,FG=HE,∠AEF 12.2√613.3或43 =60°，.四边形EFGH是平行四边形，∠FEC=60°.又 14.(1)证明：如图，连接OC,OF,则OF=OD.四边形 :HE=EF,.四边形EFGH是菱形，故B正确.AG= ABCD是正方形，.∠ADC=∠B=90°，BC=DC.,将 AH,∠GAF=∠HAF,∴.GH⊥AO,故D正确.在 正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F Rt△EFC中，∠C=90°，∠FEC=60°，∴.∠EFC=30°， 重合，∴∠B=∠EFC=90°，BE=EF,BC=FC,∴.CF= .EF=2CE,.DE=2CE.∠AED=60°，∴.AD= DC..OC=OC,.△OFC≌△ODC(SSS),∴.∠OFC= √3DE,∴.AD=2√3CE,故C错误 ∠ADC=90°，∴.CF与⊙O相切.(2)解：由(1)知 D ∠EFC+∠OFC=180°，.O,F,E三点共线.四边形 ABCD是正方形，∴.AD=AB=2.设BE=x,则AE= AB-x=2-x,OE=1+EF=1+x.AO2+AE2= 0e1+2-x=1+z,x=号AB=2-号 4 10.(1)证明：如图，连接AF.四边形ABCD为菱形， .∠ACF=∠ACE.在△ACF与△ACE中， CF-CE ∠ACF=∠ACE,.△ACF≌△ACE(SAS),∴.∠AFC AC-AC =∠AEC.,AB是⊙O的直径，∴.∠AFB=∠AFC= 90°，.∠AEC=90°.AB∥DC,∴.∠BAE+∠AEC= 9弧长及扇形的面积 180°，∠BAE=90°，.OA⊥AE.OA是⊙O的半径， 1A2B3 4 ∴AE是⊙O的切线.(2)解：如图，连接BP.,AB是 5.(1)A ⊙O的直径，.∠APB=90°.，AB=CB,AP=√3， (2)号x-256A ∴AC=2AP=2√5.设⊙0的半径为R.,AC2-CF2= F8D945-誓10.3-子x AF2,AB2-BF2=AF2,.(2V5)2-(2R-1)2=(2R)2 -1R=号（负值合去00的半径为受 I.B 12.D 3. 14.(1)证明：连接OC.,AB是⊙O的直径，∠ACB=90° ,OA=OC,.∠CAB=∠ACO.:∠ACQ=∠ABC, .∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即 OC⊥PQ,∴.直线PQ是⊙O的切线.(2)解：连接OE. C B :sin∠DAC=号，AD1PQ,∠DAC=30,∠ACD= 11.B[解析]如图，连接EG.E,G是切点，∴.EG过点O. 60°，∴∠AC0=30°，∴∠OAC=30°，∴∠EA0=60°.又 :O0是正方形ABCD的内切圆，DG=2CD,BG= ,OA=OE,∴.△AEO为等边三角形，∴∠AOE=60°， BC=CD.根据圆周角的性质可得∠MPFG=∠MEG, S阴影=S泉形A0E一S△Aam=S期形A0E一2OA·OE·sin60° —0×公-号×2×2X9-要-5，…图中阴影部分 360 3 圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，则2x一5，解得 的面积为 n=90,展开图的圆心角为90°，蚂蚁所走的最短路线 -3 长为√42+4=42. 10 圆锥的侧面积 14.D[解析]如图，过点B作BP⊥AC于点P,连接CE 1D2号 ,正六边形的每个内角都是120°，∴.AC=2AP= 2 ABsin60°=12√3.'AC=AE=CE,∴.△ACE是等边三 3.B[解析]设圆锥的底面半径为rcm,则2πr=2π，解得r 角形，∠CAE=60°，.弧CE的圆心角为60°，∴.弧长= =1.设圆锥的母线长为1cm,则120·L=2元，解得1= 180 180×π×123=43元，∴圆锥的底面半径r=4y3x 60 2x 3,所以圆锥的高=√32-1=2√2(cm). 2√3，.圆锥的高=√AC2一r2=2√105， 4.5√155.A 6.解：由三视图可知该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是 4,母线长为√(4√2)2十22=6.设这个几何体侧面展开图 的圆心角的度数为，则”动-红，解得=120，∴这个 几何体侧面展开图的圆心角的度数为120°. D 7.D8.2049.12元 15.解：如图，圆锥底面半径是6cm,高是6cm,△ABC 10.解：由题意得该直角三角形的斜边长为√32十4？= 是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即 5(cm).当以3cm的边所在直线为轴旋转一周时，其所得 CD=DE.由已知得，液体的体积为π×32X7= 1 到的几何体的表面积=×4华+号×5X2x×4= 63π(cm),圆锥的体积为3x×62×6=72x(cm),计 时结束后，圆锥中没有液体的部分的体积为72π一63π= 36π(cm2);当以4cm的边所在直线为轴旋转一周时，其 9π(cm3).设计时结束后，沙漏中液体的高度AD为xcm, 所得到的几何体的表面积=x×3+号×5×2m×3= 则CD=DE=(6-x)cm,∴寸x·(6-x).(6-x)= 24π(cm2);当以5cm的边所在直线为轴旋转一周时，其 9π，.(6一x)3=27,解得x=3,.计时结束后，沙漏中液 所得到的几何体为共底面的两个圆锥，易得其底面圆的 体的高度为3cm. 半径为号cm,所以此几何体的表面积-号×2x×号×8 +号×2x×号×4-(em)综上所述，以该三角形的 边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是 36rem或2cm或84xem. 11.B 16.解：如图，连接OD交AC于点M.由折叠的知识，得OM 12 =合0D=合0A,∠0MA=90,i∠0AM=30 1 [解析]连接OA,作OD⊥AB于点D.在Rt△OAD ∠AOM=60.BD:AD=1:3,∠AOB=80°.设 中，0A=-2,∠0AD=7∠BAC=30,∴AD=0A· 圆维的底面半径为r,母线长为1，则贺=2，r:1 cos30°=√3，则AB=2AD=2√3，∴.扇形的弧长是 =2:9. 60·πX2√32√3 0 180 3元设底面圆的半径为r,则2x×r= 3,解得r一3 2w3 3 13.B[解析]底面圆的半径为1，.底面周长等于2π.设 同行学案 学练测·19·