第5章 6 培优专题8：教材深挖—与三角形内切圆有关的公式-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

培优专题8：教材深挖 温馨提示 归纳总结：同学们，下面的结论可以在选择题 或填空题中直接使用！ (1)如果一个三角形的三边长分别为a,b,c, 其内切圆的半径为r,那么此三角形的面积 s=-2a+b+cr (2)如果一个直角三角形的两直角边长分别 为a,b,斜边长为c,那么此直角三角形内切 圆的半径，-a十C或7-b 2 a+b+c 十十++十 1.[应用意识]如图是油路管道的一部分，延伸 外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直 角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三 条支路的距离相等来连接管道，求O到三条 支路的管道总长.（计算时视管道为线，中心 O为点) 第五章圆 ☑ 与三角形内切圆有关的公式 学素 2.(宜宾中考)我国古代数学家赵爽的“弦图”是 由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼 成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角 形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， 求大正方形的面积， 抽象能力·运算能力 几何直观·空间观念·推理能力·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 做神龙题得好成绩 37 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 3.[推理能力]为了探索三角形的内切圆半径” 学 与周长L、面积S之间的关系，在数学活动 素 中，选取等边三角形（图①）和直角三角形（图 养 ②)进行研究.已知⊙O是△ABC的内切圆， 切点分别为点D,E,F 抽象能力·运算能力 E 0 E ) 几何直观 ① ② 空 E 间观念 推理能力 D B ③ (1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC 各边的长（单位：cm),填入空格处，并计算出 周长L(单位：cm)和面积S(单位：cm).(结 果保留一位小数) AC BC AB L S 图① 0.6 … 识 图② 5.0 1.0 (2)观察图形，利用上表数据分析、猜测特殊 章 三角形的x与L,S之间的关系，并证明这种 关系对任意三角形（图③）是否也成立. 38 做神龙题得好成绩 4.[模型观念]已知任意三角形的三边长，如何 求三角形的面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在 他的著作中给出了计算公式—海伦公式 S=√p(p-a)(p-b)(p-c)（其中a,b,c 是三角形的三边长，pQ十+“，S为三角形 2 的面积)，并给出了证明. 例如：在△ABC中，a=3,b=4,c=5,那么它 的面积可以这样计算： .a=3,b=4,c=5, p=a+b+c=6, 2 ∴.S=√p(p-a)(p-b)(p一c) =√6X3X2×1=6. 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形 面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦 九韶提出的秦九韶公式等方法解决 根据上述材料，解答下列问题， 如图，在△ABC中，BC=5,AC=6,AB=9. (1)用海伦公式求△ABC的面积. (2)求△ABC的内切圆半径r. B,BD=AB,AD=AE,∴.∠DAB=∠ADB=∠AED= △ABC内切圆的圆心，连接OA,OB,OC,设其内切圆半径 号180-.“∠ABD=45+2,i45+x=2180 1 为rcm.,AB=60cm,BC=80cm,∴.AC=√AB2+BC x),解得x=30°，即∠ABD=30°.(2)证明：如图，连接 -10em:Sa=5ae+5m+520e,d号×60X OC,作DH⊥AB于点H..AC=BC,OA=OB,.OC⊥ 80=乞·60+7·80+号·10，r=20,4这个圆的最 AB.在R△BDH中，DH=BD=AB,∴DH=OC, 大直径是40cm. 易证四边形DHOC为矩形，∴.OC⊥CD,∴.直线l是⊙O 的切线。 D 8.A 9.B[解析]如图，过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于 点N,OQ⊥AC于点Q,连接OK,OD,OF,OE,由垂径定 3.证明：如图，过点C作CHLAB于点H.:tanB=BC C 理，得DM=2DE,KQ=2KH,FN=rG.:DE FG=HK,∴.DM=KQ=FN.,OD=OK=OF,∴.由勾 .BC-2AC-2/5 AB -ACFB- 股定理，得OM=OQ=ON,即点O到三角形ABC三边的 距离相等，∴.O是△ABC的内心，∴.∠OBC+∠OCB= V5r+e5=5.:2CH·AB=合Ac·Bc, 合×as0-80)=65∠B0C=15 :CH=-ACBC=5X25=2.:oC的半径为2， AB 6 .CH为⊙C的半径，而CH⊥AB,∴AB为⊙C的切线。 B 10.4[解析]如图，作点B关于x轴的对称点B',连接 4.(1)证明：如图，连接EO,作ON⊥BC于点N.,O是菱形 MB',交⊙M于点N,交x轴于点P,过点M作MQ⊥x ABCD对角线BD上的一点，以O为圆心，OD为半径的 轴，交x轴于点E,过点B'作B'Q⊥MQ.,点B与点B ⊙O与AB相切于点E,∴.∠ABD=∠CBD,∠OEB= 关于x轴对称，∴.PB十PN=PB'+PN,当N,P,B在 90°，∴.OE=ON(角平分线上的点到角的两边的距离相 同一直线上且经过点M时取最小值.由题可知AC=5, 等)，.BC与⊙O相切.(2)解：，∠A=60°，AD=AB, ⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r,∴.SAAc ∴.△ABD是等边三角形，.AB=BD=2,∠ABD=60°. 名(8十红十5)=合×3X4,解得7=1，ME=MN 设E0=,则B0=2-云，在R△0EB中，s60品 =1,.QB'=4-1=3,QM=3+1=4,.MB'=5,.PB1 x3 +PN=5-1=4,即PB+PN的最小值为4. 2—x=,解得x=43-6,即⊙0的半径为43-6. M tN 0 E P 第4课时三角形的内切圆 1.A2.(1)B(2)D3.D4.65°5.A6.< 7.解：剪下的部分应是这个三角形的内切圆.如图，设点O为 B ·14·同行学案学练测 1.专[解析]：点E,F分别是AD,BC的中点，四边形 △DBA,∴.AD:DB=DE·DA,即AD:9= 4:AD,∴.AD=6,.DI=6,∴.BI=BD-DI=9-6=3. ABCD是矩形，∴.EF∥AB.P在EF上，AB=8,BC= 1 6,SAFAB=2X8X3=12.设△PAB内切圆半径是r. Ss=吉(AP+BP+AB)·7=12AP+BP最小 时，r有最大值.如图，F是BC的中点，∴点B关于EF 的对称点是点C,连接CA与EF交于点P',连接PC. 培优专题8：教材深挖一与三角形 AP+BP=AP+CP≥CA,.CA即为AP+BP的最 内切圆有关的公式 小值.AB=8,AD=6,∴AC=√62+82=10，∴.AP+ 1.解：如图，由题意得AB=√6+8=10(m).设点O到三 B即的最小值为10号×10+8)=12，解得r=亭 条支路的距离为m,则SAM心=合X(6+8+10)XA号 即△PAB内切圆半径的最大值是专： ×6×8,解得h=2,.O到三条支路的管道总长为3X2= 6(m). 12.2√13[解析]如图，在AB取点F,使BF=BE=2,连 2.解：如图，设内切圆的圆心为O,连接OE,OD,则四边形 接PF,CF,过点F作FH⊥BC于点H.,I是△ABC的 EODC为正方形，∴.OE=OD=3.易得OE= 内心，.BI平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD.又BP= AC+BC-AB,:.AC+BC-AB=6,.AC+BC-AB+ BP,∴.△BFP≌△BEP(SAS),∴.PF=PE,∴.PE+PC 6,.(AC+BC)2=(AB+6)2,∴.BC2+AC2+2BC·AC =PF+PC≥CF.当C,P,F三点共线时，PE+PC最 =AB2+12AB+36,而BC2+AC2=AB2,∴.2BC·AC= 小，最小值为CF的长.FH⊥BC,∠ABC=60°， 12AB十36.，小正方形的面积为49，∴.(BC-AC)2=49, ∴∠BFH=30,BH=号BF=1,FH= ∴.BC2+AC2-2BC·AC=49,.AB2-12AB-85=0, √BF2-BH=√3，CH=BC-BH=7,∴.CF= ∴.(AB-17)(AB+5)=0,∴.AB=17(负值舍去)，.大正 方形的面积为289 √CH+FH=2√13，∴.PE+PC的最小值为2√13. A 9 BHE C 13.(1)证明：如图，：点1是△ABC的内心，∠2=∠7 3.解：(1)如下表所示 2∠ABC.:DG平分∠ADF,∠1=合∠ADF. 1 AC BC AB ∠ADF=∠ABC,∴∠1=∠2.：∠3=∠2，∠1= 图① 2.02.02.00.66.01.7 ∠3，.DG∥CA.(2)证明：：点I是△ABC的内心， 图②3.04.05.01.012.06.0 ∴.∠5=∠6.∠2=∠3，∠2=∠7，∠3=∠7，∴∠4= ∠7+∠5=∠3+∠6，即∠4=∠DAI,∴.AD=ID (2)由表中信息猜测，得r= ,并且此关系对一般三角 2S (3)解：'∠3=∠7，∠ADE=∠BDA,∴△DAE∽ 形都成立.证明：如图，在任意△ABC中，⊙O是△ABC 1 的内切圆，连接OA,OB,OC,得S=2BC·r+2AC·T √BH-AB2=√/100-64=6.，∠HAB=∠CDB= AB7=ir-2 90,∠H=∠C,∴△HABn△cDB,2品-0即号 一0解得B0 8 E 6.解：(1)直线PC与⊙O相切.理由：连接OC.,AC平分 ∠EAB,∴.∠EAC=∠CAB.:OA=OC,∴.∠CAB= ∠ACO,.∠EAC=∠ACO,.OC∥AD.,AD⊥PD, D ∴∠OCP=∠D=90°，∴.直线PC与⊙O相切.(2)连接 4解：I):BC=5,AC=6,AB=9,D-BC+AC+AB 2 BE.在R△ADP中，∠ADP=S0,AD=6,anP=是， _5+6+9=10,S=Vp(p-a)(p-b)p-c= .PD=8,∴AP=10.设⊙O的半径为r.OCAD, 2 .OC:AD=OP:AP,即r:6=(10-r):10,解得r= √10×5X4XI=10V2,故△ABC的面积为10√2. (2:S-24C+BC+AB),10W2=号(6+5+9)r, 5:mP-子易得P-号：AB是O0的直径， ∠AEB=∠D=90°，.BE∥PD,.∠ABE=∠P, 解得r=√2，故△ABC的内切圆半径r=√2 AE=AB:5ABE=AB:mP=2X5×号-号 培优专题9：圆中常见的辅助线 1.A2.B3.60° 7解，【阅读学习日：号【问超解次如图，连接0， 4.解：如图，设大正方形的各顶点为A,B,C,D,小正方形的 并延长交⊙O于点Q,连接MQ,MO,MN,作MH⊥NO 各顶点为C,F,E,G,半圆的圆心为O,连接OA,OB,OE. 于点H.在⊙O中，∠NMQ=90°.，∠Q=∠P=B, ,四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC,∠ADO=∠BCO (OA=OB ∴∠M0N=2∠Q=2跟ang=号，设MN=e,则MQ =90°.在Rt△ADO和Rt△BCO中， AD=BC' =26,NQ=V+M0-5k,∴OM=合NQ= .Rt△ADO≌Rt△BCO(HL),∴.OD=OC.四边形 ABCD是正方形，.AD=DC.设AD=acm,则OD=OC .Saw=号N·M0=NQ:MH,k:2张= =号DC=号AD=2am在Rt△A0D中，由勾股定理， 5k·MH,.MH=2y5k.在R△MHO中，sin2g= 5 得0M=AD+0D-号am0B=0B= 2 a cm. 2W5, .小正方形EFCG的面积为16cm2,∴.EF=FC=4cm. sin∠MON=M_5t 4 OM 5, 5 在Rt△OFE中，由勾殷定理，得（号a)°=+（合a十 2 M )解得a=二4（舍去）或a=8,5a=45,该半圆 的半径是4√5cm. 8.57 9.(1)证明：连接OC.:CE与⊙0相切，OC是⊙O的半径， DO C F .OCLCE,.∠OCA+∠ACE=90°.，OA=OC,∴∠A 6 3 [解析]如图，连接BO并延长交 =∠OCA,.∠ACE+∠A=90°.：OD⊥AB, ⊙O于点H,连接AH.BH是⊙O的 ∴∠ODA+∠A=90°.∠ODA=∠CDE,∴∠CDE+ 直径，∴.∠HAB=90,.AH= ∠A=90°，.∠CDE=∠ACE,.EC=ED.(2)解：：AB 为⊙O的直径，.∠ACB=90°.在Rt△DCF中，∠DCE+ ∠ECF=90°，∠DCE=∠CDE,∴.∠CDE+∠ECF=90°. 13.(1)证明：连接OE.,AM,DE是⊙O的切线，∴.DA= ,∠CDE+∠F=90°，∴∠ECF=∠F,.EC=EF.EF DE,∠OAD=∠OED=90°.在Rt△AOD和Rt△EOD =3,∴.EC=DE=3,∴.OE=√OC2+EC=√42+32= OD=-ODRAA0D2R△B0D(HL,i∠AOD (DA=DE 中， 5,∴.OD=OE-DE=2.在Rt△OAD中，AD= √OA+OD=√4+2=25.在Rt△AOD和 =∠BOD=2∠A0E.:∠ABE=2∠AOE,∴∠A0D Rt△ACB中，·∠A=∠A,∠AOD=∠ACB,∴.Rt△AOD nR4ca9-0即是-25aC-16 =∠ABE,0D,/BE。(2)解：OF=CD.理由：连接 5 OC.,BC,CE是⊙O的切线，.易得∠OCB=∠OCF. *7切线长定理 ,AM和BN是⊙O的切线，∴.AB⊥AM,AB⊥BN, 1A2D3.c445.4 3 ∴.AMBN,∴.∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE= 6.C[解析]如图，：⊙I为△ABC的内切圆，.DM=DN, 180°.：∠ADO=∠ED0,.2∠EDO+2∠OCE=180°， EM=EH,BN=BG,CH=CG.△ABC的周长为19， 即∠EDO+∠OCE=90°，∴.∠DOC=90°.，F是CD的 BC边的长为5，∴.AB+AC+BC=19,BG+CG=BN+ CH=BC=5,.AB+AC=19-BC=14,.△ADE的周 中点O=CD. 长为AD+AE+DE=AD+AE+DM+EM=AD+AE 培优专题10：巧用三角形的中位线求解圆的问题 +DN+EH=AN+AH=AB+AC-BN-CH=(AB+ 1.C2.B AC)-(BN+CH)=14-5=9. 3.B[解析]如图，连接AB.:∠AOB=90°，OA=OB=1, A ∴.AB=√OA2+OB2=√12+1严=√2.，OC⊥AP,OD D LPB.AC-CP,PD-DB..cD-AB 2 7.D8.D9.5510.2 11.(1)证明：连接OC,OD,则OC=OD.,PD,PC是⊙O的 4.B[解析]延长CF交⊙O于点T,连接DT.,AB是直 切线，∴.DP=PC,∴PO垂直平分线段DC,即OP⊥CD. (2)解：.OA=OD=OC=OB=2,∴.∠ADO=∠DAO= 径，AB1CT,CP=FT.DE=BC,EF=号DT,当 50°，∠BCO=∠CBO=70°，.∠AOD=80°，∠BOC= 40°，∴∠COD=60°.：OD=OC,∴.△COD是等边三角 DT是直径时，EF的值最大，最大值=号×8=4 形.又OP⊥CD,∴.∠DOP=∠COP=30°，∴.在 5.1 Rt△ODP中，OP=OD=43 6.5[解析]如图，作直径DG,连接CG.,DG为直径， cos30°=3 ∴∠DCG=90°，∴.∠CDG+∠G=90°.，AC⊥BD, 12.獬：(1)，PA切⊙O于点A,PB切⊙0O于点B,∴.PA= .∠DAC+∠ADB=90°.∠DAC=∠G,∴.∠ADB= PB,∠PAC=90°.，∠APB=60°，∴△APB是等边三角 ∠CDG,.AB=CG,AB=CG.OF⊥CD,DF= 形，∴∠BAP=60°，∠BAC=90°-∠BAP=30° CF.OD=OG,∴.OF为△DCG的中位线，.CG=2OF (2)作OD 1AB于点D,则AD=BD=AB.“△APB =2X号=5AB=5 是等边三角形，AB=PA=1,AD=号：∠BAC= 30,AD-50D-分，0D得，即点0到弦AB的 阳斑为汽 同行学案学练测·15·