第5章 6 培优专题7：切线的证明方法-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第五章圆 培优专题7：切线的证明方法 学 养 方法一：连半径，证垂直，得切线 2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且 1.（南充中考)如图，点A,B,C是半径为2的 AC=BC,连接AC,BC,直线l经过点C,在 ⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线 直线L上取点D,使BD=AB,BD与AC相 交⊙O于点D,过点D作AC的垂线交AC 交于点E,连接AD,且AD=AE 象能 的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于 (1)求∠ABD的度数. 点F (2)求证：直线l是⊙O的切线 (1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并 运算能力 证明。 (2)若DF=42,求tan∠EAD的值. 空间观念 推理能力 ·数据观念·模型观念·应用意识·创新意 做神龙题得好成绩 33 同行学案学练测 数学九年级下LJ 方法二：作垂直，证半径，得切线 4.如图，已知O是菱形ABCD对角线BD上的 学素 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√5， 一点，以O为圆心，OD为半径的⊙O与AB tanB=?.半径为2的⊙C分别交AC,BC于 相切于点E,与AD,CD分别相交于点F,G. (1)求证：BC与⊙O相切. 点D,E,得到DE.求证：AB为⊙C的切线。 (2)若∠A=60°，AB=2,求⊙O的半径. D 抽象能力·运算能力·几何直观·空间观念·推理能力·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 34做神龙题得好成绩圆半径为4，∴.A(一2,0)，B(6,0).设抛物线的解析式为 ∠AFC=90°.，AB=AC,.∠BAE=∠CAE(三线合 y=a(x十2)(x-6),把D(0,-6)代入得-6=a×(0十 -).,OA=OE,∠OEA=∠OAE,∴.∠BAE= 2)×(0-6),解得a=名，∴抛物线的解析式为y=2女 1 ∠OEA,.AB∥OE..ED⊥AB,.ED⊥OE,即∠OED =90°.，OE为半径，∴.DE是⊙O的切线.(2)解：设AF +2)ú-60，即y=合-2z-6,设经过点D的“蛋形” =a,则AB=AC=4a,可得BF=5a.在Rt△AFC中，CF 切线的解析式为y=x一6，根据题意，得方程组 =I6a-a=V5a.在R△BFC中，ianB- FC y--2- 只有一组解，一元二次方程 2x2 5a- y=kx-6 5a 5 2x一6=x一6有两个相等的实数根，整理得 2x2-(k 7.证明：(1)如图，连接OD,OE.AB=AC,∴∠B=∠C. 又.OE=OC,∴∠C=∠OEC,∴.∠B=∠OEC,.OE∥ 1 +2)x=0,4=[-(k+2)]2-4×2×0=0,解得k= AB.EF⊥AB,OE⊥EF.,OE是半径，.EF是⊙O 一2，.经过点D的“蛋形”切线的解析式为y=一2x一6. 的切线.(2)：OE∥AB,∴∠A=∠COE,∠DOE= 第3课时圆的切线的判定 ∠ODA.又：OA=OD,∴.∠A=∠ADO,.∠DOE= ∠COE,∴DE=EC,即点E是CD的中点. 1.B2.B A 3.证明：，BC平分∠ABD,∠OBC=∠DBC.:OB=OC, .∠OBC=∠OCB,∴.∠OCB=∠DBC,.OC∥BD. ,BD⊥CD,.OC⊥CD,.CD为⊙O的切线. 4.证明：连接OD,OA,作OF⊥AC于点F.,△ABC为等腰 E 三角形，O是底边BC的中点，∴.AO⊥BC,AO平分 8.(1)证明：连接OD..OA=OD,.∠OAD=∠ADO. ∠BAC.:AB与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AB,而OF⊥ ,AD平分∠CAB,.∠DAE=∠OAD,∴.∠ADO= AC,.OF=OD,∴点F在⊙O上，AC是⊙O的切线. ∠DAE,∴.OD∥AE.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°.DE/BC,∠E=∠ACB=90°，∠ODE=180°- ∠E=90°，∴.DE是⊙O的切线.(2)解：AB是⊙O的 直径，∴∠ADB=90°.OF=1,BF=2,.OB=3,.AF =4,BA=6.DF⊥AB,∴.∠DFB=90°，∠ADB= 5.(1)证明：连接OB,如图所示.：AB=AC,∠ABC= ∠DFB.又：∠DBF=∠ABD,.△DBFD△ABD, ∠ACB.,∠ACB=∠OCD,∴.∠ABC=∠OCD.,'OD⊥ ÷盼那BD2-BF·BA-2X6-12,BD-25 AO,∠COD=90°，∴.∠D+∠OCD=90°..OB=OD, 9.(1)证明：连接OC.AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∴.∠OBD=∠D,∴.∠OBD+∠ABC=90°，即∠ABO= CE⊥AB,∠CEB=90,∠ECB+∠ABC=∠ABC 90°，AB⊥OB.:点B在⊙O上，.直线AB与⊙O相 +∠CAB=90°，.∠A=∠ECB.:∠BCE=∠BCD, 2号 ∴.∠A=∠BCD.:OC=OA,∴.∠A=∠ACO,∴.∠ACO =∠BCD,.∠BCO+∠ACO=∠BCO+∠BCD=90°， ∴∠DCO=90°，∴.CD是⊙O的切线.(2)解：∠A= ∠BCcE,amA-8%=am∠BCE-8器=子：∠D ∠D,∠D=∠A,△CBDD△ACD,g-0 6.(1)证明：连接AE,OE,CF.AC为直径，∴.∠AEC= :AD=8,CD=4 培优专题6：圆的切线的性质 =√52-4=3.，∠CAE=∠CEA,∠FAB=∠ACB= 1.(1)证明：如图，连接OC.,CD是⊙0的切线，OC为⊙0 90,△ACB△EAF,AC:AE=AB:EF,即号：3 的半径，∴.OC⊥CD.又AD⊥CM,.OC∥AE,∴∠OCB =∠E.OB=OC,∴∠OCB=∠B,∠E=∠B,∴.AB =AB:5AB=答BE=AB-AE-答-3=舌 7 =AE.(2)解：如图，连接AC.:AB为⊙0的直径， .∠ACB=∠ACE=90°.在Rt△ACB中，AB=10,osB =号CB=6AC=V0-6-8:∠DCE+∠E= ∠DCE+∠ACD=90°，∴.∠E=∠ACD,∴.cos∠ACD= cosE=sB=子.又AC=8,CD-24 5 D 4.解：(1)如图①，连接BC.∠ADC=25°，∴.∠B=∠ADC =25°.AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，∠BAC 65°.∠DPB=55°，∴.∠DAB=∠DPB-∠ADC=55° 25°=30°，∴∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC= 180°-25°-30°-65°=60°.(2)如图②，连接BC,OC. 2.(解：(1)∠BOE=128°，∴∠AOE=180°-∠B0E=52° :∠ADC=25°，.∠B=∠ADC=25°，∠QOC=2∠ADC 又OE⊥AC,∴.∠BAC=90°-∠AOE=38°.AB是 =50°.AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°，.∠BAC= ⊙O的直径，∴.∠ACB=90°，∴.∠ABC=90°-∠BAC= 65°.CQ是⊙0的切线，∴.∠QC0=90°，∠Q=40°. 52.又“∠ABE=合∠A0E=26,∠CBE=52- :Qp=Qc∠QPC=∠Qcp=2×180-40)=70, ∠ABE=26°.(2)如图，连接OC.由(1)知∠ACB=90°， ∴.∠DAP=∠QPC-∠ADC=70°-25°=45°，∴.∠CAD 又OE⊥AC,.∠ACB=∠OHA=90°，∴.BC∥OE.又 =∠BAC+∠DAP=65°+45°=110°. ,EC∥AB,∴.四边形OECB是平行四边形.，OB=OE, ∴.四边形OECB是菱形，则OB=OC=BC,∴.∠ABC= 60.:OE1AC,AE=CE,∠ABE=∠CBE= A ∠ABC=30BD切⊙0于点B,AB⊥BD, ∴.∠DBE=90°-∠ABE=60°. ① ② 培优专题7：切线的证明方法 1.解：(1)EF是⊙O的切线.证明：连接OD.OA=OD, ∠OAD=∠ODA.AD平分∠EAF,.∠DAE= 3.(1)证明：AP为⊙O的切线，.PA⊥AB,∴∠FAE= ∠DAO,∴.∠DAE=∠ADO,.OD∥AE.AE⊥EF, 90°.AC=CE,∠CAE=∠CEA.∠CAE+∠CAF .OD⊥EF,EF是⊙O的切线.(2)在Rt△ODF中， =90°，∠CEA+∠CFA=90°，∴.∠CAF=∠CFA,.AC OD=2,DF=4√2，∴.OF=√OD2+DF=6.:OD∥ =CF.(2)解：如图，连接CB.AB为⊙O的直径， AE,..OD_OF_DF ∴.∠ACB=90°，.∠CAB+∠ABC=90°.，∠FAC+ 器器-器是-音0A ∠CAB=90°，.∠FAC=∠ABC.:∠CAF=∠CFA, 号，ED-EAD-号 AE 2 ∠D=∠ABC,∴.∠D=∠CFA,.AF=AD=4.,AC= 2.(1)解：：AC=BC,AC=BC.:AB是⊙0的直径， 号EF=2AC=5在R△FAE中，AE=VEF-AP .∠ACB=90°，∴.∠CAB=∠ABC=45°.设∠ABD=x. 同行学案学练测·13· ,BD=AB,AD=AE,∴.∠DAB=∠ADB=∠AED= △ABC内切圆的圆心，连接OA,OB,OC,设其内切圆半径 号180-.“∠ABD=45+2,i45+x=2180 1 为rcm.,AB=60cm,BC=80cm,∴.AC=√AB2+BC x),解得x=30°，即∠ABD=30°.(2)证明：如图，连接 -10em:Sa=5ae+5m+520e,d号×60X OC,作DH⊥AB于点H..AC=BC,OA=OB,.OC⊥ 80=乞·60+7·80+号·10，r=20,4这个圆的最 AB.在R△BDH中，DH=BD=AB,∴DH=OC, 大直径是40cm. 易证四边形DHOC为矩形，∴.OC⊥CD,∴.直线l是⊙O 的切线。 D 8.A 9.B[解析]如图，过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于 点N,OQ⊥AC于点Q,连接OK,OD,OF,OE,由垂径定 3.证明：如图，过点C作CHLAB于点H.:tanB=BC C 理，得DM=2DE,KQ=2KH,FN=rG.:DE FG=HK,∴.DM=KQ=FN.,OD=OK=OF,∴.由勾 .BC-2AC-2/5 AB -ACFB- 股定理，得OM=OQ=ON,即点O到三角形ABC三边的 距离相等，∴.O是△ABC的内心，∴.∠OBC+∠OCB= V5r+e5=5.:2CH·AB=合Ac·Bc, 合×as0-80)=65∠B0C=15 :CH=-ACBC=5X25=2.:oC的半径为2， AB 6 .CH为⊙C的半径，而CH⊥AB,∴AB为⊙C的切线。 B 10.4[解析]如图，作点B关于x轴的对称点B',连接 4.(1)证明：如图，连接EO,作ON⊥BC于点N.,O是菱形 MB',交⊙M于点N,交x轴于点P,过点M作MQ⊥x ABCD对角线BD上的一点，以O为圆心，OD为半径的 轴，交x轴于点E,过点B'作B'Q⊥MQ.,点B与点B ⊙O与AB相切于点E,∴.∠ABD=∠CBD,∠OEB= 关于x轴对称，∴.PB十PN=PB'+PN,当N,P,B在 90°，∴.OE=ON(角平分线上的点到角的两边的距离相 同一直线上且经过点M时取最小值.由题可知AC=5, 等)，.BC与⊙O相切.(2)解：，∠A=60°，AD=AB, ⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r,∴.SAAc ∴.△ABD是等边三角形，.AB=BD=2,∠ABD=60°. 名(8十红十5)=合×3X4,解得7=1，ME=MN 设E0=,则B0=2-云，在R△0EB中，s60品 =1,.QB'=4-1=3,QM=3+1=4,.MB'=5,.PB1 x3 +PN=5-1=4,即PB+PN的最小值为4. 2—x=,解得x=43-6,即⊙0的半径为43-6. M tN 0 E P 第4课时三角形的内切圆 1.A2.(1)B(2)D3.D4.65°5.A6.< 7.解：剪下的部分应是这个三角形的内切圆.如图，设点O为 B ·14·同行学案学练测 1.专[解析]：点E,F分别是AD,BC的中点，四边形 △DBA,∴.AD:DB=DE·DA,即AD:9= 4:AD,∴.AD=6,.DI=6,∴.BI=BD-DI=9-6=3. ABCD是矩形，∴.EF∥AB.P在EF上，AB=8,BC= 1 6,SAFAB=2X8X3=12.设△PAB内切圆半径是r. Ss=吉(AP+BP+AB)·7=12AP+BP最小 时，r有最大值.如图，F是BC的中点，∴点B关于EF 的对称点是点C,连接CA与EF交于点P',连接PC. 培优专题8：教材深挖一与三角形 AP+BP=AP+CP≥CA,.CA即为AP+BP的最 内切圆有关的公式 小值.AB=8,AD=6,∴AC=√62+82=10，∴.AP+ 1.解：如图，由题意得AB=√6+8=10(m).设点O到三 B即的最小值为10号×10+8)=12，解得r=亭 条支路的距离为m,则SAM心=合X(6+8+10)XA号 即△PAB内切圆半径的最大值是专： ×6×8,解得h=2,.O到三条支路的管道总长为3X2= 6(m). 12.2√13[解析]如图，在AB取点F,使BF=BE=2,连 2.解：如图，设内切圆的圆心为O,连接OE,OD,则四边形 接PF,CF,过点F作FH⊥BC于点H.,I是△ABC的 EODC为正方形，∴.OE=OD=3.易得OE= 内心，.BI平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD.又BP= AC+BC-AB,:.AC+BC-AB=6,.AC+BC-AB+ BP,∴.△BFP≌△BEP(SAS),∴.PF=PE,∴.PE+PC 6,.(AC+BC)2=(AB+6)2,∴.BC2+AC2+2BC·AC =PF+PC≥CF.当C,P,F三点共线时，PE+PC最 =AB2+12AB+36,而BC2+AC2=AB2,∴.2BC·AC= 小，最小值为CF的长.FH⊥BC,∠ABC=60°， 12AB十36.，小正方形的面积为49，∴.(BC-AC)2=49, ∴∠BFH=30,BH=号BF=1,FH= ∴.BC2+AC2-2BC·AC=49,.AB2-12AB-85=0, √BF2-BH=√3，CH=BC-BH=7,∴.CF= ∴.(AB-17)(AB+5)=0,∴.AB=17(负值舍去)，.大正 方形的面积为289 √CH+FH=2√13，∴.PE+PC的最小值为2√13. A 9 BHE C 13.(1)证明：如图，：点1是△ABC的内心，∠2=∠7 3.解：(1)如下表所示 2∠ABC.:DG平分∠ADF,∠1=合∠ADF. 1 AC BC AB ∠ADF=∠ABC,∴∠1=∠2.：∠3=∠2，∠1= 图① 2.02.02.00.66.01.7 ∠3，.DG∥CA.(2)证明：：点I是△ABC的内心， 图②3.04.05.01.012.06.0 ∴.∠5=∠6.∠2=∠3，∠2=∠7，∠3=∠7，∴∠4= ∠7+∠5=∠3+∠6，即∠4=∠DAI,∴.AD=ID (2)由表中信息猜测，得r= ,并且此关系对一般三角 2S (3)解：'∠3=∠7，∠ADE=∠BDA,∴△DAE∽ 形都成立.证明：如图，在任意△ABC中，⊙O是△ABC