第5章 6 培优专题6：圆的切线的性质-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第五章圆 ☑ 培优专题6：圆的切线的性质 数 1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过 2.已知AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的 素 养 点C作⊙O的切线CM,过点A作AD⊥CM 弦，OE是⊙O的半径，OE⊥AC,垂足为H, 于点D,交BC的延长线于点E. 连接BE (1)求证：AB=AE. (1)如图①，若∠BOE=128°，求∠BAC和 （2)若AB=10,c0sB=子，求CD的长 ∠CBE的大小 象能 (2)如图②，过点B作⊙O的切线，与AC的延 长线交于点D,若ECAB,求∠DBE的大小 运算能 B 九问直观 ① ② 推理能力 。 据观念·模型观念·应用意识·创新意识 做神龙题得好成绩 31 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 3.如图，AB为⊙O的直径，AP为⊙O的切线， 4.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD与AB交 学 F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于 于点P,∠ADC=25°. C,D两点，与AB交于点E,连接AD,AC, (1)如图①，若∠DPB=55°，求∠ACD的 AC=CE. 度数 (1)求证：AC=CF. (2)如图②，过点C作⊙O的切线与BA的延 (2)若AC=5 AD=4,求BE的长 长线交于点Q,若PQ=CQ,求∠CAD的 抽象能力·运算能力 度数 B C ① ③ 几何直观·空间观念·推理能力·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 32 做神龙题得好成绩圆半径为4，∴.A(一2,0)，B(6,0).设抛物线的解析式为 ∠AFC=90°.，AB=AC,.∠BAE=∠CAE(三线合 y=a(x十2)(x-6),把D(0,-6)代入得-6=a×(0十 -).,OA=OE,∠OEA=∠OAE,∴.∠BAE= 2)×(0-6),解得a=名，∴抛物线的解析式为y=2女 1 ∠OEA,.AB∥OE..ED⊥AB,.ED⊥OE,即∠OED =90°.，OE为半径，∴.DE是⊙O的切线.(2)解：设AF +2)ú-60，即y=合-2z-6,设经过点D的“蛋形” =a,则AB=AC=4a,可得BF=5a.在Rt△AFC中，CF 切线的解析式为y=x一6，根据题意，得方程组 =I6a-a=V5a.在R△BFC中，ianB- FC y--2- 只有一组解，一元二次方程 2x2 5a- y=kx-6 5a 5 2x一6=x一6有两个相等的实数根，整理得 2x2-(k 7.证明：(1)如图，连接OD,OE.AB=AC,∴∠B=∠C. 又.OE=OC,∴∠C=∠OEC,∴.∠B=∠OEC,.OE∥ 1 +2)x=0,4=[-(k+2)]2-4×2×0=0,解得k= AB.EF⊥AB,OE⊥EF.,OE是半径，.EF是⊙O 一2，.经过点D的“蛋形”切线的解析式为y=一2x一6. 的切线.(2)：OE∥AB,∴∠A=∠COE,∠DOE= 第3课时圆的切线的判定 ∠ODA.又：OA=OD,∴.∠A=∠ADO,.∠DOE= ∠COE,∴DE=EC,即点E是CD的中点. 1.B2.B A 3.证明：，BC平分∠ABD,∠OBC=∠DBC.:OB=OC, .∠OBC=∠OCB,∴.∠OCB=∠DBC,.OC∥BD. ,BD⊥CD,.OC⊥CD,.CD为⊙O的切线. 4.证明：连接OD,OA,作OF⊥AC于点F.,△ABC为等腰 E 三角形，O是底边BC的中点，∴.AO⊥BC,AO平分 8.(1)证明：连接OD..OA=OD,.∠OAD=∠ADO. ∠BAC.:AB与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AB,而OF⊥ ,AD平分∠CAB,.∠DAE=∠OAD,∴.∠ADO= AC,.OF=OD,∴点F在⊙O上，AC是⊙O的切线. ∠DAE,∴.OD∥AE.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°.DE/BC,∠E=∠ACB=90°，∠ODE=180°- ∠E=90°，∴.DE是⊙O的切线.(2)解：AB是⊙O的 直径，∴∠ADB=90°.OF=1,BF=2,.OB=3,.AF =4,BA=6.DF⊥AB,∴.∠DFB=90°，∠ADB= 5.(1)证明：连接OB,如图所示.：AB=AC,∠ABC= ∠DFB.又：∠DBF=∠ABD,.△DBFD△ABD, ∠ACB.,∠ACB=∠OCD,∴.∠ABC=∠OCD.,'OD⊥ ÷盼那BD2-BF·BA-2X6-12,BD-25 AO,∠COD=90°，∴.∠D+∠OCD=90°..OB=OD, 9.(1)证明：连接OC.AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∴.∠OBD=∠D,∴.∠OBD+∠ABC=90°，即∠ABO= CE⊥AB,∠CEB=90,∠ECB+∠ABC=∠ABC 90°，AB⊥OB.:点B在⊙O上，.直线AB与⊙O相 +∠CAB=90°，.∠A=∠ECB.:∠BCE=∠BCD, 2号 ∴.∠A=∠BCD.:OC=OA,∴.∠A=∠ACO,∴.∠ACO =∠BCD,.∠BCO+∠ACO=∠BCO+∠BCD=90°， ∴∠DCO=90°，∴.CD是⊙O的切线.(2)解：∠A= ∠BCcE,amA-8%=am∠BCE-8器=子：∠D ∠D,∠D=∠A,△CBDD△ACD,g-0 6.(1)证明：连接AE,OE,CF.AC为直径，∴.∠AEC= :AD=8,CD=4 培优专题6：圆的切线的性质 =√52-4=3.，∠CAE=∠CEA,∠FAB=∠ACB= 1.(1)证明：如图，连接OC.,CD是⊙0的切线，OC为⊙0 90,△ACB△EAF,AC:AE=AB:EF,即号：3 的半径，∴.OC⊥CD.又AD⊥CM,.OC∥AE,∴∠OCB =∠E.OB=OC,∴∠OCB=∠B,∠E=∠B,∴.AB =AB:5AB=答BE=AB-AE-答-3=舌 7 =AE.(2)解：如图，连接AC.:AB为⊙0的直径， .∠ACB=∠ACE=90°.在Rt△ACB中，AB=10,osB =号CB=6AC=V0-6-8:∠DCE+∠E= ∠DCE+∠ACD=90°，∴.∠E=∠ACD,∴.cos∠ACD= cosE=sB=子.又AC=8,CD-24 5 D 4.解：(1)如图①，连接BC.∠ADC=25°，∴.∠B=∠ADC =25°.AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，∠BAC 65°.∠DPB=55°，∴.∠DAB=∠DPB-∠ADC=55° 25°=30°，∴∠ACD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAC= 180°-25°-30°-65°=60°.(2)如图②，连接BC,OC. 2.(解：(1)∠BOE=128°，∴∠AOE=180°-∠B0E=52° :∠ADC=25°，.∠B=∠ADC=25°，∠QOC=2∠ADC 又OE⊥AC,∴.∠BAC=90°-∠AOE=38°.AB是 =50°.AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°，.∠BAC= ⊙O的直径，∴.∠ACB=90°，∴.∠ABC=90°-∠BAC= 65°.CQ是⊙0的切线，∴.∠QC0=90°，∠Q=40°. 52.又“∠ABE=合∠A0E=26,∠CBE=52- :Qp=Qc∠QPC=∠Qcp=2×180-40)=70, ∠ABE=26°.(2)如图，连接OC.由(1)知∠ACB=90°， ∴.∠DAP=∠QPC-∠ADC=70°-25°=45°，∴.∠CAD 又OE⊥AC,.∠ACB=∠OHA=90°，∴.BC∥OE.又 =∠BAC+∠DAP=65°+45°=110°. ,EC∥AB,∴.四边形OECB是平行四边形.，OB=OE, ∴.四边形OECB是菱形，则OB=OC=BC,∴.∠ABC= 60.:OE1AC,AE=CE,∠ABE=∠CBE= A ∠ABC=30BD切⊙0于点B,AB⊥BD, ∴.∠DBE=90°-∠ABE=60°. ① ② 培优专题7：切线的证明方法 1.解：(1)EF是⊙O的切线.证明：连接OD.OA=OD, ∠OAD=∠ODA.AD平分∠EAF,.∠DAE= 3.(1)证明：AP为⊙O的切线，.PA⊥AB,∴∠FAE= ∠DAO,∴.∠DAE=∠ADO,.OD∥AE.AE⊥EF, 90°.AC=CE,∠CAE=∠CEA.∠CAE+∠CAF .OD⊥EF,EF是⊙O的切线.(2)在Rt△ODF中， =90°，∠CEA+∠CFA=90°，∴.∠CAF=∠CFA,.AC OD=2,DF=4√2，∴.OF=√OD2+DF=6.:OD∥ =CF.(2)解：如图，连接CB.AB为⊙O的直径， AE,..OD_OF_DF ∴.∠ACB=90°，.∠CAB+∠ABC=90°.，∠FAC+ 器器-器是-音0A ∠CAB=90°，.∠FAC=∠ABC.:∠CAF=∠CFA, 号，ED-EAD-号 AE 2 ∠D=∠ABC,∴.∠D=∠CFA,.AF=AD=4.,AC= 2.(1)解：：AC=BC,AC=BC.:AB是⊙0的直径， 号EF=2AC=5在R△FAE中，AE=VEF-AP .∠ACB=90°，∴.∠CAB=∠ABC=45°.设∠ABD=x. 同行学案学练测·13·